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第 07 讲 章节复习专题：相交线与平行线
目录
【考点一 对顶角的定义】........................................................................................................................................3
【考点二 利用对顶角相等求角】............................................................................................................................5
【考点三 求一个角的余角、补角】........................................................................................................................7
【考点四 垂线的定义的理解与应用】....................................................................................................................8
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】..............................................................................................................10
【考点六 点到直线的距离与垂线段最短】..........................................................................................................15
【考点七 同位角、内错角、同旁内角的辨别】..................................................................................................19
【考点八 添加一条件使两条直线平行】..............................................................................................................21
【考点九 平行线的判定和性质多结论题】..........................................................................................................23
【考点十 平行线的性质在生活中的应用】..........................................................................................................28
【考点十一 平行线的判定和性质综合问题】......................................................................................................31
【考点十二 根据平行线的判定与性质探究角的关系】......................................................................................34
【考点十三 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】..................................................................................38
【考点十四 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】...........................................................................43
【知识点1】对顶角、余角、补角
1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个
角叫做对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
3.互补与互余的概念
互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那
么称这两个角互为余角，也称互余.
4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.
【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离
（1）垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.
特别提醒：
要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指
这两条线段所在的直线垂直.
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学科网（北京）股份有限公司（2）垂线的性质：
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).
垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
（3）点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离
是垂线段PO的长.
特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.
【知识点3】同位角、内错角与同旁内角
角的名称 位置特征 图形结构特征
同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋
转）
内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋
被截线“错开” 转）
同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋
转）
【知识点4】平行线
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
2.平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.
3.平行线的公理
（1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行.
（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【知识点5】平行线的判定和性质
1.平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两条直 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直
线平行 截，如果同位角相等，那 截，如果同位内角相等，那 线所截，如果同旁内
的判定 么这两条直线平行，即同 么这两条直线平行，即内错 角互补，那么这两条
位角相等，两直线平行 角相等，两直线平行 直线平行，即同旁内
角互补，两直线平行
符号语 那么∠1=∠2 那么∠1=∠2 那 么
言 ∠1+∠2=180°
那么AB//CD 那么AB//CD
那么AB//CD
2.平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
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学科网（北京）股份有限公司性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【考点一 对顶角的定义】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中， 与 互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】根据对顶角的定义判断解答即可．
本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得是对顶角的是：
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角的概念．根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长
线，从而可判定满足条件的选项．
【详解】解：A. 与 不是对顶角；
B. 与 不是对顶角；
C. 与 不是对顶角；
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学科网（北京）股份有限公司D. 与 是对顶角．
故选：D．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在下列图形中， 和 是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的定义，有公共顶点的两个角，且两角的两条边分别为另一角的反
向延长线，这样的两个角互为对顶角，据此进行求解即可．
【详解】解：A、不是对顶角，不符合题意；
B、不是对顶角，不符合题意；
C、不是对顶角，不符合题意；
D、是对顶角，符合题意；
故选D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中， 与 互为对顶角的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分
别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可．
【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意，
故选：C．
【考点二 利用对顶角相等求角】
例题：（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发
现表示 的点在直线a上，表示 的点在直线b上，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】80
【知识点】对顶角相等
【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键．
先计算 的度数，后利用对顶角相等确定即可．
【详解】解：如图，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：80．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线 、 相交， ，则 .
【答案】 /40度
【知识点】对顶角相等
【分析】本题考查了对顶角相等，掌握其性质，角度的计算是解题的关键．
根据图示可得 ，结合 ，即可求解．
【详解】解：根据题意可得 ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，直线 ， ， 两两相交， ， ，则
．
【答案】 /25度
【知识点】对顶角相等
【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等得出 ，根据 ，求出 ，
根据对顶角相等得出 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， ， ，
，则 ， ．
【答案】 /25度 /65度
【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等
【分析】本题主要考查对顶角以及余角，找到角之间的等量关系是解题的关键．根据对顶角相等即可求出
，再根据补角求出 即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
．
故答案为： ， ．
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学科网（北京）股份有限公司【考点三 求一个角的余角、补角】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知 ．
（1） 的余角 ；
（2） 的补角 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题考查了余角和补角的定义，根据互为余角的两角的和等于90°，互为补角的两角的和等于
即可求解，正确理解余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角 ，
的补角 ，
故答案为： ， ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）若 ，则 的余角等于 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键；
若两个角的和为 ，则这两个角互余，据此即可求解．
【详解】解：因为， ，
所以， 的余角 ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·江西宜春·期末）已知 ，若 与 互余，则 ．
【答案】
【知识点】求一个角的余角、角的单位与角度制
【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于 ，则
这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．
根据余角的定义即可直接得出答案．
【详解】解： ， 与 互余，
，
故答案为： ．
3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知 ，则 的补角是 ．
【答案】
【知识点】求一个角的补角
【分析】此题考查了补角的定义，根据补角的定义求解即可，解题的关键是掌握补角的定义，和为 的
两个角互为补角．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ 的补角 ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级上·广西贺州·期末）已知 是 的补角． 是 的补角，若 ，
，则 为 ．
【答案】150
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、求一个角的补角
【分析】该题主要考查了补角的计算，解一元一次方程等知识点，解题的关键是列出方程．
根据 是 的补角， 是 的补角，得出 ， ，结合 ，
，列出方程即可求解．
【详解】解：∵ 是 的补角， 是 的补角，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：150．
【考点四 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【详解】解：A、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过P可画直线垂直于 ，正确，不合题意；
B、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过Q可画直线 的垂线，正确，不合题意；
C、连接 不能保证 ，故错误，符合题意；
D、 为 外一点， 可以过Q可画直线与 垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
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学科网（北京）股份有限公司由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面
内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为 ， ，
所以直线 与 重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
【答案】A
【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解
答此题的关键．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴点B到 的垂线段是线段 ，故本选项错误，符合题意；
B、∵ ，
∴CD和AB互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 与 互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
D、∵ ，
∴线段 的长度是点A到 的距离，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图， 是直线 上一点， ， 平分 ，
过点 作 垂直 ．
(1)求 的度数；
(2) 是否平分 ？并说明理由．
【答案】(1)
(2) 平分 ，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义．
（1）根据角平分线的定义可求出 ，再由垂线的定义得到 ，进而根据
即可求解；
（2）根据角的和差求得 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ 垂直 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 平分 ，理由如下：
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，直线 与 相交于点O， ， 分别是 ，
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学科网（北京）股份有限公司的平分线．
(1)图中 的补角有 个；
(2)试判断 和 的位置关系，并说明理由；
(3)若 ，求 的度数．
【答案】(1)3
(2) ，理由见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查了补角、与角平分线有关的计算、垂直，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
（1）先根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，
，再根据平角可得 ，由此即可得出答案；
（2）先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据角的和差可得
，由此即可得；
（3）先根据角平分线的定义可得 ，再根据 求解即可得．
【详解】（1）解：∵直线 与 相交于点 ，
∴ ， ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴图中 的补角有 ， ， ，共3个，
故答案为：3．
（2）解： ，理由如下：
∵直线 与 相交于点 ，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
（3）解：∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
由（2）已得： ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点 为直线AB上一点， ， ，
平分 ， ．
(1)求 的度数；
(2)试说明： 平分 ；
(3)若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立？若成
立，请说明理由；若不成立，请用 表示 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)（2）中的结论依然成立，理由见解答过程
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度
【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；
（1）先根据邻补角定义求出 ，再根据 可得 的度数；
（2）先根据 及角平分线定义得 ，进而得 ，则 ，
由此即可得出结论；
（3）根据邻补角定义得 ，根据 得 ，再根据角
平分线定义得 ，进而得 ，则 ，由
此即可得出结论．
【详解】（1）解： 点 为直线AB上一点， ，
，
，
，
；
（2） ， 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
由（1）可知： ，
，
，
，
，
平分 ；
（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：
点 为直线AB上一点 ，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
平分 ．
3．（24-25七年级上·全国·期末）已知 是直线 上一点， 是直角， 平分 ．
(1)如图1，当 ，求 的度数；
(2)如图2， 平分 ，求 的度数；
(3)当 时， 绕点 以每秒 沿逆时针方向旋转 秒 ，旋转过程中 始终平分
，请直接写出 和 之间的数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3) ，
【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，
（1）由补角及直角的定义可求得 的度数，结合角平分线的定义可求解 的度数；
（2）由角平分线的定义可得 ，即可得解；
（3）可分两种情况：① 时，② 时，分别计算可求解；
利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ；
（3）解：①当 时，由题意得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
∴ ；
综上所述， ， ．
【考点六 点到直线的距离与垂线段最短】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点， ，
， ，则点P到直线m的距离为（ ）
A． B． C．小于 D．不大于
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最
短”是解题的关键．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，
可得答案．
【详解】解∶当 时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为 ，
当 不垂直m时，点P到直线m的距离小于 的长，即点P到直线m的距离小于 ，
综上所述：点P到直线m的距离不大于 ，
故选∶D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图， 四点在直线 上，点 在直线 外， ，若
，则点 到直线 的距离是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合
条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短， ，
∴点M到直线l的距离是垂线段 的长度，为 ，
故选：A．
2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是测量学生跳远成绩的示意图，即 的长为某同学的跳远成绩，
其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳
远比赛的规则．
由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：A．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线 上，点B，C，D在直线 上， 于点
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学科网（北京）股份有限公司B， 于点A， 于点E，下列线段的长度是点A到直线 的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【分析】根据点到直线的距离的定义即可得出，本题主要考查点到直线的距离的定义．
【详解】根据点到直线的距离的定义得：
线段的长度是点A到直线 的距离，
故选：B．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道 的同侧有 ， 两个小区，某市计划从主管道
引一条支管道连接 ， 两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短
【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可
解题．
【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项，
故答案为：B．
5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点
称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
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学科网（北京）股份有限公司(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)两点之间线段最短
【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是
解题的关键．
（1）连接 画出线段 ，连接并延长 画出射线 即可；
（2）根据 可得点 到直线 的距离为线段 的长度；
（3）根据两点之间线段最短，可得 的最小值为 的长，得点 到 、 、 、 四个点的距离
之和最小值为 ．
【详解】（1）连接 ，连接并延长 ，即得．
（2）点 到直线 的距离为线段 的长度
故答案为：
（3）连接 ，交BD于点 ，
则 ，
当点O运动到 上时， ， 最小，
则 ，最小．
故答案为：两点之间线段最短．
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学科网（北京）股份有限公司【考点七 同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习） 和 是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同
侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 和 不是同位角，故该选项不符合题意；
B、 和 是同位角，故该选项符合题意；
C、 和 不是同位角，故该选项不符合题意；
D、 和 不是同位角，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是( )
A． 与 是同旁内角 B． 与 是内错角
C． 与 是同旁内角 D． 与 是同位角
【答案】C
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即
可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 与 是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、 与 是内错角，故此选项不符合题意；
C、 与 不是同旁内角，故此选项符合题意；
D、 与 是同位角，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中， 与 是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的
八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
根据内错角的定义可知，内错角是成“ ”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．
【详解】解：A.、 与 是内错角，符合题意；
B、 与 不是内错角，不符合题意；
C、 与 不是内错角，不符合题意；
D、 与 不是内错角，不符合题意；
故选：A．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，给出下列说法：① 和 是同位角；② 和 是对顶角；
③ 和 是内错角；④ 和 是同旁内角．其中说法错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义
【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可．
【详解】 和 是同位角，①说法正确；
和 不是对顶角，②说法错误；
和 是内错角，③说法正确；
和 不是同旁内角，④说法错误．
故说法错误的有②，④，共2个．
故选B．
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学科网（北京）股份有限公司【考点八 添加一条件使两条直线平行】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：① ；② ；③ ；④
．其中能得到 的是 ．（请填写序号）
【答案】 /
【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行
②③ ③②
【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，
两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：① ，
；
② ，
；
③ ，
；
④ ，
，
能够得到 的条件是②③，
故答案为：②③．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ，要使 ，还需添加一个条件，你想添
加的条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加： ，再加
上条件 可得 ，再根据同位角相等两直线平行可得 ．
【详解】解：添加： ，
21 / 48
学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一）．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线 分别与直线 ， 相交于点E，C，若要使
，则可添加的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】同位角相等两直线平行
【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件
即可．
【详解】解：可以添加 ，可根据同位角相等，两直线平行得到 ，
故答案为： （答案不唯一）．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【答案】
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案
不唯一）．
【详解】解：若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ；
故答案为 或 或 或 ．（答案不唯一）
【考点九 平行线的判定和性质多结论题】
例题：（24-25七年级上·四川内江·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中 ，
， ， ，给出下列结论：①若 ，则 ；②若 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ；③ ；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题等知识点，掌握相关结论即可．
若 ，则 ，可推出 ， ，即可判断①；若
，则 ，即可判断②；由 ，得 ，即
，即可判断③；若 ，由③得 ，由①得： ，即可
判断④；
【详解】解：若 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故①正确；
若 ，则 ；
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，故③正确；
若 ，由③得 ，
由①得： ，
∴ ，故④正确；
故选：D
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，在四边形 中，过点D作 交 于点A，连接
，若 ．以下四个结论：① ；② ；③ 平分 ；
④ ．其中结论正确的个数是（ ）
23 / 48
学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】先由平行线的性质得到 ， ，进而得到 ，则
，即可推出 ，进而得到 ，则 ，进一步得到
，则 ，根据现有条件无法证明 平分 ，由此可得答案．本题
主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键是掌握平行线的性质和判断．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，故④正确；
根据现有条件无法证明 平分 ，故③错误；
故选：C．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，
关于下列结论：① ，② ，③ 平分 ，④ ，正确的有（
）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据 ，
， ，可得 ，即可判断③正确；再证明 ，
24 / 48
学科网（北京）股份有限公司即可判断①正确；根据 不一定是等腰直角三角形，可判断②错误；由①得： ，即有
，结合 平分 ，即可得 ，问题得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
若 ，则 是等腰直角三角形，
而 不一定是等腰直角三角形，故②错误；
由①得： ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．故④正确．
故选：D．
3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图， ， 平分 ， ， ，
，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④
．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解
【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的
25 / 48
学科网（北京）股份有限公司关键．
由 可得 ，由 平分 可得 可判定①；根据垂直的定
义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明 ，而
不一定成立即可判定④．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，即①正确；
∵ 平分 ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ , ，即③正确；
∴
∴ 平分 ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而题目中不能得到 ，故④错误．
故选：B．
4．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图， ， 为 上一点， ，过点 作
于点 ，且 ，且 平分 ，则下列结论：① ；② ；③
平分 ；④ 平分 ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，先根据平行线的性质可得 ，从而可得
，再根据平行线的性质可得 ，代入计算即可判断①；根据平行线的性质
可得 ，由此即可判断②；根据平行线的性质可得 ，但题
26 / 48
学科网（北京）股份有限公司干未知 的大小，由此即可判断③和④．
【详解】解：∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，则结论①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，则结论②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
但 不一定等于 ，也不一定等于 ，
所以 平分 ， 平分 都不一定正确，则结论③和④都错误；
综上，正确的是①②，
故选：A．
【考点十 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知 ，
， ， ， ，则运动员两腿之间的夹角 的度数为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的性质，过点B作 ，先由平行线的性质推出 ， ，
再由平行线的性质推出 ， ，再由 可得答案．
【详解】解：如图，过点B作 ．
27 / 48
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱 与桌面
DE交于点 ，灯管 与桌面CE平行，若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】 #100度
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过 作 ，由平行公理推论得 ，
最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
28 / 48
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国
家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小
聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知 ， ，则 的度数是 ．
【答案】 /23度
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作 ，得到 ，再结合 ，得到
，求出 ，最后根据 代入计算即可．
【详解】解：如图所示：作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯
29 / 48
学科网（北京）股份有限公司灯碗，从 上一点O照射到灯碗上的光线 ， 经反射后都沿着与 平行的方向射出．若
，则 °．
【答案】60
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得 ，那么
，再根据两直线平行，内错角相等可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：60．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上
一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重
力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架 ，AB可以绕着点 自由旋转，当点 旋转到
如图所示的位置时， ，此时 为 ．
【答案】 /44度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点十一 平行线的判定和性质综合问题】
30 / 48
学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线 上，点G在线段 上， 与
交于点H， ．
(1)猜想 与 是否平行，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ；理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．熟练掌握对顶角相等，平行线的判定与性质是解
题的关键．
（1）由题意知， ，可证 ，则 ， ，进而可证
；
（2）由（1）可知， ，由 ，可得 ，根据
，计算求解即可．
【详解】（1）解： ；理由如下：
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
【变式训练】
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段 上，连接 ，过点F
作 分别交 于点H、G， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据平行线的性质和已知条件证明 ，据此可证明 ；
（2）先由平行线的性质得到 ，再由角平分线的定义求出 的
度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图， 交 于点F，点C在 的延长线上， ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)详见解析
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
（1）结合平行线判定和性质和角的关系求得 ， ，从而求解；
（2）根据平行线的性质和判定进行推理论证．
【详解】（1）解： ，
，
．
，
，即 ．
（2）证明：由（1），可知 ，
．
又 ，
，
3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在四边形 中， 平分 ，交 于点G，交 的延
长线于点E，F为 延长线上一点， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与
定义是解题的关键．
（1）根据 ，可得 ，即可求证；
（2）根据平行线的性质可得 ， ，再由 平分 ，可得
，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
33 / 48
学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【考点十二 根据平行线的判定与性质探究角的关系】
例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线 ，连接 ，点P是射线 上的一个
动点（与点A不重合）， 平分 交 于点C、 平分 交 于点D．
(1)若 ，求 的度数；
(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线 上的什么位置， 与 之间的数量关系都保持
不变，请你写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义；
（1）先证明 ，证明 ， ，再利用角的和差运算可得结论；
（2）先证明 ， ， ，再进一步可得结论.
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点C、 平分 交 于点D，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵BD平分 ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点 是直线 上一动点，连接 ，过点 作
交直线 于点 ．(图2，图3为备用图)
(1)如图1，当点 在线段 上时，
①依题意，在图1中补全图形；
②若 ，则 __________(填度数)．
(2)当点 在线段 的延长线上时，请写出 的数量关系，并证明．
(3)当点 在直线 上时，请直接写出 的数量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)当点D在 上时， ；当D点在 的延长线上时， ；
当D点在 的延长线上时，
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两
直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）①根据几何语言画出对应的几何图形；
②根据平行线的性质得到 ， ，所以 ；
（2）当D点在 的延长线上时， ；根据平行线的性质分别进行证明即可；
（3）分三种情况进行讨论：当点D在线段 上时，当点D在线段 延长线上时，当点D在线段 的
延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：当D点在 的延长线上时，如图2， ；
35 / 48
学科网（北京）股份有限公司理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：当点D在 上时， ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
当D点在 的延长线上时，根据解析（2）可知， ；
当D点在 的延长线上时，如图3， ；
理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】
如图，线段 的端点M、N分别在直线 ， 上，E为 ， 之间一点，连接NE，过点E作
，交 于点F， ．
36 / 48
学科网（北京）股份有限公司【问题探究】
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点P，若 平分 ， 交 于点Q．
①若 ，求 的度数；
②判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性
质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得 ，推得 ，根据平行线的判定即可证明；
（2）①根据角平分线的性质可得 ，根据平行线的性质和 可得 ，
，即可求得 ．② 根据角平分线的性质
可得， ，根据平行线的性质可得 ，推得 根
据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①∵ ， ，
∴ ．
∵NM平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
② ． 理由如下：
∵ ， ，
37 / 48
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【考点十三 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜 放置在水平桌面
上，激光笔 与水平天花板 的夹角 为 ，激光笔发出的入射光线 射到 上后，反射光
线 与 形成 ．由光的反射定律可知， 、 与 的垂线 所形成的夹角始终相等，即
．
(1) 的度数为_____．
(2)如图2，点 固定不动，调节支架平面镜 ，调节角为 ．
①若 ，求 的度数；
②若反射光线 恰好与 平行，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等；
（1）由垂直的定义得 ， ，由余角的性质即可求解；
（2）①过点 作 ，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得
，由平行线的性质得 ，求出 后，即可求解；②由平行线的性质
得 ，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质，即可求解；
掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
38 / 48
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
故答案： ；
（2）解：①过点 作 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案： ；
②如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案： ．
【变式训练】
39 / 48
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践
台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合
于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平
面示意图，底座MN位于水平位置，支架 、 为固定支撑杆，支架 可绕点 旋转，从而调节灯光
照射方向．已知灯体顶角 ， 的平分线 始终与 垂直．
(1)求 的度数：
(2)如图2，当支架 旋转至水平位置时， 恰好与 平行，求支架 与水平方向夹角 的度数；
(3)若（2）中支架 与水平方向的夹角 的度数保持不变，将 绕点 旋转到如图3的位置，旋转后
，求此时 与水平方向 的夹角 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键．
（1）由角平分线定义求得 ，再根据垂直定义可得 ，即可由
求解；
（2）根据平行线的性质可求解；
（3）过点 、 作 ， ，根据平行线的性质可求解．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由题可知 ，
∴
∴
由题可知 ，
．
40 / 48
学科网（北京）股份有限公司（3）解：如图所示，分别过点 、 作 ，
， ， ，
，
，
，
，
由（1）可知 ，
，
．
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射
镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直， ， 代表两块平面镜摆
放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线． 是进入潜望镜的光线，它与入射镜
筒壁平行，与直管壁垂直， 是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的
原理，如： ， ．设 ， ．
(1)如图1，当 时，
①求证： ；
②若光线 与直管壁平行，则 的度数为________；
(2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁 处时，若在 处放置一块平面镜，使光线经平
面镜上的点C处反射到平面镜 上的点D处，并调整平面镜 的位置，使 ．则此时 与 满
足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，理由见解析
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）①根据平行线的性质得出 ，进而得出 ，则
，即可求证 ；②根据光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，得出
，即可解答；
（2）根据题意推出 ，过点C作 ，则 ，推出
，易得 ，则 ，根据直角三角
形连锐角互补即可解答．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
②∵光线 与直管壁平行， 是与入射镜筒壁平行，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶ ．
（2）解：∵ 是与入射镜筒壁平行， ，
∴ ，
∴ ，
过点C作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
整理得： ．
【考点十四 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】
例题：（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
【实践操作】
(1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在 上，且 ，求 的度数；
(2)如图2，小红将一个三角板 放在一组直线 与 之间，并使顶点A在直线 上，顶点C在直
线 上，现测得 ， ，请判断直线 ， 是否平行，并说明理由；
(3)现将三角板 按图3方式摆放，使顶点C在直线 上，顶点A在直线 上，若 ，请求出
与 之间的关系式．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点B作 ，根据平行线的性质及角的和差求出 ，即可判定 ，根据平
行公理推论即可推出 ；
（3）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解∶ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
；
（2）解∶ ，理由如下：
如图2，过点B作 ，
则 ，
，
，
，
，
又 ，
；
（3）解∶ ，理由如下：
，
，
， ，
，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中
， ， ），将三角形 固定不动，三角形 绕点 逆时
针旋转，旋转角为 ．
(1)如图2，若 ，则 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图3，若 于点 ，则 与 平行吗？请说明理由．
(3)如图4，若 ，则图中有哪两条线平行？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)平行，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】三角板中角度计算问题、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】（1）先求出 ，再求出 ；
（2）先证明 ，根据内错角相等即可证明 ；
（3）先求出 ，进而可证 ，然后可证 ．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ．
理由： ， ，
，
，
．
，
，
．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线 ，一副三角尺（
）按如图①放置，其中点E在直线
上，点B，C均在直线 上，且 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数．
(2)如图②，若将三角形 绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），
设旋转时间为t（s）（ ）．
①在旋转过程中，若边 ，求t的值．
②若在三角形 绕点B旋转的同时，三角形 绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的
对应点为H，K）．请直接写出当边 时t的值．
【答案】(1)
(2)①在旋转过程中，若边 ，t的值为 ；②满足条件的t的值为 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题；
（2）①首先证明 ，由此构建方程即可解决问题；
②分两种情形：当 时，延长 交 于 ．根据 构建方程即可解决问题；当
时，延长 交 于 ．根据 构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
（2）解：①如图②中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴在旋转过程中，若边 的值为 ．
②如图③中，当 时，延长 交 于 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
如图③﹣1中，当 时，延长 交 于R．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
综上，当边 时， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题
及利用参数构建方程是解题的关键．
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