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专题突破卷 19 传统方法求夹角及距离
1.求异面直线的夹角
1．在三棱锥 中， ， 的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与
BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 中点 ，连接 ， ，易得 ，要求 与 所成角的余弦，只要求出
即可.
【详解】如图，取 中点 ，连接 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是 中点， ， ，
则 是PC与BD所成角的平面角（或补角），
在 中， ， ，
由余弦定理， ，
在 中， ，
，同理， ，
在 中，由余弦定理可得， ，
异面直线 与 所成角的余弦为 .
故选：C.
2．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上， ， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出异面直线 与 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.
【详解】连接 ，设 ，则 是 的中点，
设 是 的中点，连接 ，则 ，
则 是异面直线 与 所成角或其补角.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ， ，
所以 ，由于 ，
而 是圆柱底面圆的直径，则 ，
所以 ，则 ，
，而 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
故选：B
3．如图，在棱长为1的正方体 中，点 在对角线 上移动，设异面直线 与 所
成角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】异面直线 与 所成角为 转化为平面角 ，注意到 为直角三角形，进一步结合
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】锐角三角函数的定义即可求解.
【详解】如图所示：
因为 ，所以 为异面直线 与 所成角 ，又 平面 ， 与 不重合时，
为直角三角形，
当 越大时其正弦值也越大，当 与 重合时 最大，
此时在 中，有 ， ，
因此 .
故选：C.
4．四面体 中， 是边长为12的等边三角形， ， ， 为 的中点，
为 的中点， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，易得 ，则 或其补角即为异面直线 与 所成角，利用勾股定
理求出 ，再解 即可.
【详解】如图，连接 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，且 ，
则 或其补角即为异面直线 与 所成角，
因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，则 ，
，
则 ，所以 ，
故 ，
即异面直线 与 所成角的正切值是 .
故答案为： .
5．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上， ， ， ，若球 的体积为
，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】作出图形，分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 、 ，利用中位线
的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线 与 所成的角为 或其补角，并计算出
各边边长，利用余弦定理计算出 ，即可得出答案．
【详解】设球 的半径为 ，则 ，解得 ．
如下图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 、 ，
∵ 为球 的直径，A，B在球 上，
， 平面
平面 ，
平面 ， ，
， ，
为 的中点，则 ，
、 分别为 、 的中点，则 ，且 ，
同理可得 ，且 ，
所以，异面直线 与 所成的角为 或其补角，且 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ．
因此，异面直线 与 所成成的余弦值为 ．
故答案为： ．
6．已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为 的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于
.
【答案】
【分析】通过作平行线作出异面直线EO与CD所成的角，结合余弦定理解三角形即可求得答案.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设正四面体ABCD的棱长为 ，
连接 ，O为 的中心，故 平面 ，
连接OD， 平面 ，故 ，
点E为棱AD的中点，故 ，
连接 并延长交CD于H，H即为 的中点，则 ，
过点O作 ，交 于F，交 于G，则 ，
则 ；
则 与 所成角即为异面直线EO与CD所成的角或其补角；
连接 ，则 ，
同理求得 ，即 ,而点E为棱AD的中点，
则 ，故 ，
在 中， ，则 ，
因为异面直线EO与CD所成的角范围为大于 小于等于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故异面直线EO与CD所成的角为 ，
故答案为：
2.求直线与平面的夹角
7．如图，在四棱台 中， 底面 ，M是 中点.底面 为直角梯形，且
， ， .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证 ，可知 四点共面，进而可得 ，结合线面平
行的判定定理分析证明；
（2）过点 作 于点 ，连 ，根据垂直关系分析可得 为 与平面 所成角，运
算求解即可.
【详解】（1）连接 ，
因为 是 中点，且 ， ，则 ，
又因为 ，则 ，可知 四点共面，
由 ， ，可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则四边形 是平行四边形，故 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 底面 ， 底面 ，则 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
由（1）可知： ，则 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，
过点 作 于点 ，连 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成角，
因为 ，则 ，可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .
8．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接 ，证得 ，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，利用面面垂直的性质，证得 平面 ，得到 ，结合
，进而证得 平面 ；
（3）连接 ，由 平面 ，得到 是直线 与平面 所成的角，在直角 中，结
合 ，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ，根据题意可得 ，可得 为 的中点，
又由 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：取棱 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 且 平面 ，所以 平面 .
（3）解：连接 ，由 平面 ，可得 是直线 与平面 所成的角，
因为 为等边三角形， ，且 为 的中点，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，在直角 中， ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
9．如图，已知正四棱柱 的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱 、 的中点．
(1)求过 ， ， 的平面与该正四棱柱所截得的多面体 的体积；
(2)求直线 与平面 所成的角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用棱柱以及棱锥的体积公式结合割补法即可求得答案；
（2）证明 ，即可找到直线 与平面 所成的角，解三角形即可求得答案.
【详解】（1）正四棱柱 的底面边长是3，体积是45，
即有 ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以三棱锥 的体积为 ，
所以多面体 的体积为正四棱柱 体积减去三棱锥 的体积，
即为 ；
（2）因为M，N分别是棱 、 的中点，故 ，
所以直线MN与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角；
连接BD、AC，交于点O，则 ；
又 平面 平面 ，故 ，
平面 ，故 平面 ，
则 平面 ，所以 是直线 与平面 所成的角；
又 平面 ，故 ，
又 ，故 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ．
10．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且
，若圆柱的底面积与 ABE的面积之比等于 ．
△
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；
（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.
【详解】（1）根据圆柱性质， 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 是圆柱底面的直径，点 在圆周上，
所以 ，又 平面 ，故 平面 ．
因为 平面DAE，所以 ．
又 ，且 平面 ，故 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
（2）因为平面 平面 ，所以过 作 ，
由平面 平面 平面ABE，则 平面 ，
即 为 与平面 所成角，
设圆柱的底半径为 ，因为圆柱的轴截面 是正方形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的面积为 ．圆柱的底面积 ，
因为圆柱的底面积与 的面积之比等于 ，所以 ，
解得 ，所以点 为圆柱底面圆的圆心，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正切值 ．
11．如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边三角形， ， ，
.
(1)求 的长度；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ，由线面垂直判定可知 平面 ，由此可知 ，根据长度关系可
得结果；
（2）作 交 于点 ， ，由面面垂直的判定与性质、线面角的定义可知 为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所求线面角，由长度关系可得结果.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
是等边三角形， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ，
为等边三角形， .
（2） 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
作 ，垂足为 ，则 平面 ， ，连接 ，
为直线 与平面 所成的角，
由题意知： ，又 ，
，
， ，
， ， ， ，
直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
12．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°， ，CD⊥DE，
AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）分析可知二面角 的平面角为 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，证
明出 平面 ，可得出直线 与平面 所成角为 ，计算出 、 的长，即可求得
的正弦值，即为所求.
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴ ，
又∵ 平面ADE， 平面ADE，∴ 平面ADE，
∵ ， 平面ADE， 平面ADE，∴ 平面ADE，
又∵ ，BC， 平面BCF，∴平面 平面ADE，
而 平面BCF，∴ 平面ADE；
（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE，
∴∠ADE即为二面角A－CD－F的平面角，∴∠ADE＝60°，
又∵AD∩DE＝D， 平面ADE， 平面ADE，∴CD⊥平面ADE，
又∵ 平面CDEF，∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，连接CO，
∵平面CDEF⊥平面ADE，平面CDEF∩平面ADE＝DE， 平面ADE，
则AO⊥平面CDEF，所以直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，
可知 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
因此，直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为 ．
3.求平面与平面的夹角
13．如图，在三棱柱 中，已知 平面 ，且 .
(1)求 的长；
(2)若 为线段 的中点，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意可得 平面 ，进而分析可知 正方形，即可得结果；
（2）根据题意利用补形法分析可得二面角 的平面角为 ，利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
因为 为平行四边形，且 ，则 为矩形，
所以 正方形，可得 .
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱 ，
取 的中点 ，连接 ，则 三点共线，且 // ，
因为 // ，可得 // ，
所以平面 即为平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理平面 即为平面 ，
因为 // ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ，则 ，
所以二面角 的平面角为 ，
可得 ，
在 中，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
.
14．在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， ， 底面
， ，点 在棱 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)证明：
(3)求二面角 的余弦值
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证明 平面 ，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）先证明PD⊥平面 ，即可根据线面垂直的性质定理证明结论；
（3）说明 为二面角 的平面角，解三角形即可求得答案.
【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵在菱形 中， ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面ACE，∴平面 平面 ，
即平面 平面 ；
（2）连接 ，则平面 平面 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，
则 ，
又∵ ， 平面 ，
∴PD⊥平面 ， 平面 ，
∴ ，即 ．
（3）由于 平面 ， 平面 ，
则 ，又 ，
且平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
故 为二面角 的平面角；
在菱形 中， ， ，则△ABC是等边三角形，
而O为AC，BD的中点，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，∴ ，
故 ，
∴ ，
即二面角 的余弦值为 ．
15．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点， 为 上的
点，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若三棱柱所有棱长都为 ，求二面角 的平面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得三棱柱 为直三棱柱，则 平面 ，即可得到 ，再
由 ，即可得到 平面 ，从而得证；
（2）依题意可得 为 的中点，过点 作 垂线，垂足为 ，连接 ，即可得到 是二面角
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）在三棱柱 中， 平面 ，则三棱柱 为直三棱柱，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ；
（2）因为三棱柱所有棱长都为 ，则 为等边三角形， 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 为 的中点，过点 作 垂线，垂足为 ，连接 ，
， ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
平面 ， 平面 ，所以 ，
， ， ，
故二面角 的平面角的正切值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．如图， 是直角梯形 底边 的中点， ，将 沿 折起形成四棱锥
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 为60°，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直角梯形性质以及边长可知 ， ，利用线面垂直的判定定理即可证明
平面 ；
（2）由（1）可知 ，作出二面角 的平面角并利用勾股定理即可求得边长，进而求出
二面角 的余弦值为 .
【详解】（1）在直角梯形 中，
易知 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ， ， 是 的中点，
所以四边形 是正方形，
从而 ，
也即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此，在四棱锥 中， ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知， 即二面角 的平面角，故 ，
又 ，可得 为等边三角形；
设 的中点为F， 的中点为G，连接 ，
从而 ， ，
于是 ， ，
， 平面 ，
从而 平面 ， 平面 ，
因此 ；
所以 即所求二面角 的平面角.
由（1）中 平面 ，且 ，从而 平面 ， 平面
所以 ，
设原直角梯形中， ，则折叠后四棱锥中 ， ，
从而
于是在 中， ；
即二面角 的余弦值为 .
17．如图所示，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 、 分别为 、 的中点， 交 于
点 ，将 沿 折起到 的位置.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ：
(2)若 ， ， ，求二面角 的大小
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的几何性质、中位线定理以及等腰三角形的“三线合一”性质，结合线面垂直判
定定理与性质定理，可得答案；
（2）根据二面角的平面角定义，作图，根据图中的几何性质，结合线面垂直定理定理，利用锐角三角函
数，可得答案.
【详解】（1）在菱形ABCD中， ， ，又点E，F分别为AD，CD的中点，
所以 ，则 ，易知 ，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
于是 ，所以 ．
由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，
因为 ，所以二面角 的大小为 .
18．如图，在棱长为3的正方体 中， ， 为棱 的两个三等分点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，根据条件中的分点，构造中位线，证明线线平行；
（2）根据 平面 ，可得 为所求角，求解三边，利用余弦定理求解.
【详解】（1）如图，连接 交 于点 ，连接 ．
在 中， 为 的中点， 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）连接 ， ， ．
在正方体中， ， ， ， 平面
所以 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ， 均在平面 内，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角．
因为正方体的棱长为3，所以 ， ， ，
由勾股定理得 ， ， ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
4.已知夹角求距离
19．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，点Q
是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面 所成的角为 ？若存在，求出AF的长，
若不存在，请说明理由？
【答案】存在；
【分析】假设点F存在，直线 与平面 所成的角为 时，利用线面角的定义，求 的长，检验点
F是否在线段 上.
【详解】假设线段 上存在点F，使直线 与平面 所成的角为 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又底面 是矩形，则 ，
又 平面 ， ，则 平面 ，即 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 就是直线 与平面 所成的角，
又 平面 ， 平面 ，则 ，
则 ，故 ，
故当 时，在线段 上是存在点F，使直线 与平面 所成的角为 ；
综上，存在F点，使直线 与平面 所成的角为 ， ．
20．如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，沿 将
折起，使得点 到点 的位置，且 ， 为 的中点， 是 上的动点（与点 、 不
重合）．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得二面角 的正切值为 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 为 上靠近 的四等分点
【分析】（1）证明出 平面 ，可得出 ，结合 可得出 平面 ，可得出
，推导出 ，可证得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）过 作在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，分析可知 为二面角 的平面角，设 ，则 ，在
中，设 ，由 以及二面角 的正切值求出 的值，即可得出
结论.
【详解】（1）证明：翻折前，因为 ， ， 为 的中点，
所以， 且 ，
又因为 ，则四边形 为正方形，所以， ，
翻折后，则 ， ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：假设存在点 满足题意，如图，过 作在平面 内作 ，垂足为点 ，
在平面 内，因为 ， ，所以 ，
由（1）知， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，
因为 ， ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
不妨设 ，则 ，在 中，设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ,
所以， ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，解得 ，
即此时 为线段 上靠近点 的四等分点．
综上，存在点 ，使得二面角 的正切值为 ，此时 为线段 上靠近 的四等分点．
21．如图，在正四棱锥 中， ，点O为底面 的中心，点P在棱 上，且 的
面积为1．
(1)若点P是 的中点，求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点P使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，
说明强由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，P为棱SD靠近端点S的三等分点.
【分析】(1)根据给定条件计算SO，SA，SC，证明SD⊥AP，SD⊥CP即可推理证得平面SCD⊥平面PAC.
(2)假定存在符合条件的点P，设出DP长并作出二面角P-AC-D的平面角，计算该角的余弦值即可判断作答.
【详解】（1）在四棱锥S-ABCD中，正方形ABCD的边长是 ，则AC=2，
因点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，即SO⊥底面ABCD，而AC 底面ABCD，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】SO⊥AC，
又 SAC的面积为1，即 ，解得 ，于是得 ，则 ，
△
因点P是SD的中点，则有SD⊥AP，SD⊥CP，而 ， 平面PAC，
从而得SD⊥平面PAC，又 平面SCD，
所以平面SCD⊥平面PAC.
（2）假定在棱SD上存在一点P使得平面PAC和平面ACD夹角的余弦值为 ，连OP，OD，如图，
由(1)知，SO⊥AC，而DO⊥AC， ， 平面SOD，则有AC⊥平面SOD，
又 平面SOD，从而有PO⊥AC，因此， 是二面角P-AC-D的平面角，
令PD=a，由(1)知，SO⊥DO，SO=DO=1，则 ，且 ，
过P作PM//SO交DO于M，则PM⊥DO， ， ，
因 ，则 ，而 ，即有 ， ，
解得： ，即有 ，
所以在棱SD上存在一点P使得二面角 的余弦值为 ，P为棱SD靠近端点S的三等分点.
22．如图1，在平行四边形ABCD中， ， ， ，将 ABD沿BD折起，使得平面
平面 ，如图2． △
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： 平面BCD；
(2)在线段 上是否存在点M，使得二面角 的大小为45°？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M， ；
【分析】（1）在 中，易证 ，作 于点 ，根据平面 平面
，得到 ，再由 ，得到 平面 ，进而得到 ，然后由 ，
得到 平面 即可.
（2）存在点M，当M是 的中点，二面角 的大小为45°，由（1）知 平面 ，取
BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，证明 是二面角 的平面角即可.
【详解】（1）在 中，因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以
如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
又由 ，
所以 平面 .
（2）如图所示：
存在点M，当M是 的中点，二面角 的大小为45°.
证明如下：由（1）知 平面 ，
且 ，
，又因为 是 的中点，
同理可得：BM= ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，
因为 ，
所以 是二面角 的平面角，
又因为 ，
.此时 .
23．如图，在四棱锥中 ， 平面 ， ， ，且 ，
，
(1)求证： ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，如果存在，请说明 点的位置，
如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)存在， 为线段 中点，证明见解析.
【分析】（1）利用勾股定理证明 ，再利用线面垂直的性质得到 ，利用线面垂直的判定
定理得到 平面 ，最后利用线面垂直的性质定理即可证明 ；
（2）作出二面角 的平面角，根据点 的位置即可证明二面角 为 .
【详解】（1）
过点 作 ∥ 交 于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ∥ ， ∥ ， ，所以四边形 为矩形，
又因为 ， ，所以四边形 为正方形，
所以 ， ， ，
在 中， ，所以 ，
在三角形 中， ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）
存在点 ， 为线段 中点，
取 中点 ，连接 ，过 作 于 ，连接 ,
因为 、 为 、 中点， ，
所以 ∥ ， ，
又因为四边形 为正方形， ，所以 ，
因为 平面 ， ∥ ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ,
又因为 ， ，所以 平面 ,
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，且平面 平面 ，所以 为二面角 的平面角，
所以 ， ，
综上所述，当点 为线段 中点，二面角 为 .
24．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ，平面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ，点F为棱 的中点.
(1)在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角.
【答案】(1)在棱 上存在点E，使得 平面 ，点E为棱 的中点
(2)60°
【分析】（1）取棱 的中点E，取 的中点Q，连接 ， ，证明 ，根据线面平行的判定
定理证明；
（2）过B作 于H，过H作 于G，根据三垂线定理可得 就是二面角
的平面角，由已知二面角 的余弦值为 求得 ，
设 ，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得 平面 .
连接 ，则 就是直线 与平面 所成的角，求解即可.
【详解】（1）在棱 上存在点E，使得 ∥平面 ，
证明如下：取棱 的中点E，取 的中点Q，连接 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ， ，且
∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴. ∥平面 .
（2）设 ，∵ ，∴ .∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，∴ 平面 .
连接 ，则 就是直线 与平面 所成的角.
由题意得， 为等边三角形.
过B作 于H，则H为 的中点， 平面 ，∴ ，又 ，∴
平面 .
过H作 于G，连接 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，∴ 就是二面角
的平面角.
∵ ，∴ ，
易得 ，∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴ ，即直线 与平面 所成的角为60°.
5.求几何体的体积
25．如图，梯形 中， ， 为 中点，且 ， ，将 沿 翻折到
，使得 ．连接 ．
(1)求证： ；
(2) 为线段 上一点，若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得 平面 ，从而得到平面 平面 ，取 中点 ，连接
，证得 平面 ，从而证得 平面 ，结合线面垂直的性质，即可证得 ．
（2）由 ，得到 ，结合棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 且 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ,所以平面 平面 ，
在梯形 中， ，所以 ，所以在四棱锥 中， ，
又因为 ，所以 为正三角形，
取 中点 ，连接 ，可得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ，且 ，可得 平面 ，
又因为 ， ， ，
所以四边形OBCE为正方形，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ,
又因为 平面 ，所以 ．
（2）解：由题意得，点 为线段 上一点，且 ，即 ，
所以 ，
又由（1）知 平面 ，所以 为三棱锥 的高，
由 为正三角形，且 ，可得 ，
所以 ．
26．如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形， ， ，且侧面 面
ABCD，O是AD的中点， ．当 时，在棱PC上是否存在一点M，使得三
棱锥 的体积为 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先假设存在符合题意的 点，然后利用 求得 .
【详解】由于 ， 是 的中点，所以 ，
由于侧面 面ABCD且交线为 ， 平面 ，
所以 平面 .
假设在棱 上是否存在一点 满足题意，
当 时，则 ，因为 为 中点，则 ，
则 ，
则 ，
， ，
设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ，
则 .
27．如图1，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，如图2，将 沿
折起，使得 至 处，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为4，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）由已知易得 ，即可证明线面垂直；
（2）取 中点 ，连接 ，根据线面垂直的性质与判定可得 为四棱锥 的高，再根据四
棱锥体积求解即可.
【详解】（1）由题意得 ，则 ， ，
因为 ，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，连接 ，由正方形 可得 .
又 平面 ，由（1）可得 .
又 ， 平面 ，则 平面 .
即 为四棱锥 的高.
设 ，则 ， ， .
由（1）可得底面 为直角三角形，故 ，
解得 ，即 .
28．如图，在四棱雉 中，底面 是正方形， ， ，点 ， 分别
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为线段 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理，可得答案；
（2）根据勾股定理以及线面垂直判定定理，结合三角形中位线定理，明确三棱锥的高，利用正方形的性
质，求得底面三角形的面积，再利用三棱锥体积公式，可得答案.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
在 中，因为 分别为 的中点，所以 ，且 ，
在正方形 中，因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中，由 ， ，则 ，所以 ，
同理可得： ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中，因为 分别为 的中点，所以 且 ，
则 平面 ，故 为三棱锥 以平面 为底面上的高，
在正方形 中， 为 的中点，则 ，
所以三棱锥 的体积 .
29．如图，四棱锥 的底面是菱形，平面 底面 ， ， 分别是 ， 的中点，
， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理直接证明；
（2）利用直线与平面垂直证明直线与直线垂直；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）求出四棱锥的高与底面积，从而利用体积公式求出体积.
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以
，
又因为底面 是菱形， 是 的中点，所以 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：取 中点 ，连接 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
又因为平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，
所以 底面 ，又 底面 ，所以 ，
因为底面 是菱形，所以 ，
又因为 分别是 的中点，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（3）解：由（2）知 底面 ，所以 是四棱锥 的高，
因为 ， ， 为 中点，所以 ，
因为底面 是菱形， ， ，所以 ，
所以四棱锥 的体积 .
30．已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， ，
为 上一点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)平面 平面 ，证明： ．
(2)当直线 与平面 的夹角为 时，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，所以 平面 ，由题意可求得直线 与平面 的夹角
为 ，可得点 为 中点，由等体积法求解即可.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为平面 平面 ，所以 ．
（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 与平面 的夹角为 ，
又 ，设 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以M为CD中点，E为PC中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
故
6.利用等体积法求点到面的距离
31．如图，在正四棱台 中， .
(1)证明： .
(2)若正四棱台 的高为3，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ， （ ， 分别为正四棱台上、下底面的中心），根据面线垂直的判定
定理证明 平面 即可；
（2）连接 ， ，可求得侧面 的斜高为 ，再由 求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）证明：连接 ， ，
设正四棱台上、下底面的中心分别为 ， ，连接 ，
则 ， 分别为 ， 的中点，
因为 是正四棱台，所以 平面 .
又 平面 ，则 ，
因为 为正方形，所以 ，
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
（2）解：连接 ， ，
因为正四棱台 的高为3，
所以 ，
且侧面 的斜高为 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
32．如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且
.点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)设 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质及圆直径所对圆周角为直角，由线面垂直的判定定理得证；
（2）利用等体积法求棱锥的高即可.
【详解】（1）连接 ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 知，点 为 的中点，
又∵ 为圆 的直径，∴ ，
由 知， ，
∴ 为等边三角形，从而 ．
∵点 在圆 所在平面上的正投影为点 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 ， ，
∴ ．
又 ， ， ，
∴ 为等腰三角形，则 ．
设点 到平面 的距离为 ，
由 得， ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
33．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上， ，F为垂足．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： ．
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明 ，可得 ，进而证明 ，根据线面垂直的性质定
理可证明结论.
（2）由 为直线DE与平面ABE所成角，求得 ，设B到平面CDE的距离为h，则有
，由等体积法可求h.
【详解】（1）∵AB为圆的直径， ，
又 平面AEB， 平面AEB， ，
又 ， 平面ADE， 平面ADE，
而 平面AEB， ，
又 ，且 ， 平面BDE，
平面BDE，
又 平面BDE， ；
（2）由题意可知， 平面ABE，
为直线DE与平面ABE所成角，
， ，
设B到平面CDE的距离为h，则有 ，
因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
故 ，
由点 向直线 作垂线，垂足为 ，
平面AEB， 平面AEB，所以 ，
平面 ，所以 平面 ，
且 ，
，解得 ，
∴B到平面CDE的距离为 ．
34．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面
分别是 中点，点 在棱 上移动.
(1)证明：无论点 在 上如何移动，都有平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理来证得平面 平面 .
（2）利用等体积法来求得点 到平面 的距离.
【详解】（1）连接 ， 底面 为菱形， ， 为正三角形，
是 的中点， ，又 ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
（2）连接 ， ，
.
设 到平面 的距离为 ， ，
由于 平面 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 .
35．如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点．在
线段 （含端点）上是否存在点 ，使点 到平面 的距离为 ？若存在，请指出点 的位置，
并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】存在， 与点 重合时，满足题意，证明见解析．
【分析】通过等体积法，利用点 到平面 的距离利用方程，由此判断出 点的位置.
【详解】当点 与点 重合时，点 到平面 的距离为 ，证明如下：
取 中点 ，连接 ,则 ，
所以 四点共面，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， , 平面 ，
所以 平面 ，
设点 到平面 的距离为 ，
又 ,即 ,
即 ,
所以 ，
解得 .
故在线段 存在点 （端点 处），使点 到平面 的距离为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】36．如图所示，圆锥的高 ，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点
A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.
(1)证明：平面PDE⊥平面POD；
(2)点E到平面PAD的距离为d，求d 的值.
1 1
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可证明CE⊥平面POD，即可证明面面垂直；（2）分别求 和 的面积，
利用等体积转化为点到平面的距离.
【详解】（1）证明：由题设，PO⊥平面ABD，又D是切线CE与圆O的切点，
所以CE 平面ABD，则PO⊥CE，且OD⊥CE，
又PO∩O⊂D＝O，PO，OD 平面POD，
所以CE⊥平面POD， ⊂
又CE 平面PDE，
所以平⊂面PDE⊥平面POD.
（2）因为OD⊥CE，OD＝1，OC＝2，
所以 ， ，
又AE⊥AC，CA＝3，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
所以 ， ， 为等边三角形，
所以 ，且△ADE的面积为 ，
因为 ， , ，
所以PA＝PD＝2，
所以△PAD为等腰三角形，其底边AD上的高为 ，
所以△PAD的面积为 ，
因为 ，
，
所以 ，
所以
1．如图，三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，利用面面垂直的性质可得 平面 ，进而求体积的最大
值即可；
（2）解法一：过 作 于 ，连接 ，由线面垂直的判定定理和性质定理结合二面角的概念可
得 为二面角 的平面角，再结合三角函数的概念即可求解；解法二：以 为坐标原点，向
量 ， 为 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以三棱锥 的体积为
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故三棱锥 的体积的最大值为 .
（2）解法一：由（1）可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
过 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2.
此时 取得最小值 ，
故二面角 的正弦值的最小值为 .
解法二：由（1）可知 平面 ，
以 为坐标原点，向量 ， 为 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，取 ，则 ，
又取平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，整理可得 ，
所以 ，解得 ，
所以当 ，即 ， 时， 取得最大值 ，此时 取得最小值 ，
故二面角 的正弦值的最小值为 .
2．已知平面四边形 ， ， ， ，现将 沿 边折起，使得
平面 平面 ，此时 ，点 为线段 的中点，点 在线段 上．
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意得 ，取 的中点 ，则 ，因为平面 平面 ，所以
平面 ， ，又 ，所以 平面 ，从而 ，利用线面垂直的判定定
理可得结论；
（2）由 平面 ，故 为 与平面 所成的角，可求得 ，由题意可得 为线段
的中点，取 的中点为 ，则 ，所以 平面 ，则 ，过点 作 ，垂足
为 ，则 ，所以 为二面角 的平面角，求解即可．
【详解】（1）因为 ， ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ．
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）由（1）知， 平面 ，故 为 与平面 所成的角，
∴ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
， ，∴ ，
∴ ，即 为线段 的中点．
取 的中点为 ，连接 ，因为 为线段 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
又 平面 ，所以 平面 ， 平面 ．
所以 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
， ， 平面 ，所以 平面 ．
平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角．
在等边三角形 中， ，
由（1）知， 平面 ， 平面 ．所以 ，
在 中， ，
由 ，即 ，解得 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，
即二面角 的平面角的余弦值为 ．
3．如图，已知四棱锥 的底面 是平行四边形， 分别是棱 的中点， 是棱
上一点，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，证明 四点共面， ，结合线面平行判定定理证明结论；
（2）连接 交于点 ，根据线面垂直判定定理证明 平面 ，利用等体积法求点 到平面
的距离，根据线面角的定义求直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，
所以 ，又 ，所以 ，
故 四点共面，
由题意知 分别为 的中点，故 ，
又 平面 平面 ，
因此 平面 ；
（2）连接 交于点 ，则 为平行四边形 的中心，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则等腰 中，根据三线合一，有 ，
又 ，故 平面 ，
设 ，则 ，
，
，
相加并整理得 ，①
在 ， 中，有 ，
即 ，②， ，③
解方程组①②③得， ，
故 ，
于是 ，
在 中， 是 中点，
故 ，
于是 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，
故 ，
故所求线面角 的正弦值 ．
4．如图三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，二面角 的余
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】弦值为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，根据题意分析可知：二面角 的平面角为
，进而可得 ，利用勾股定理结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）方法一：建系，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点 到平面 的距离为 ，
进而可得结果；方法三：过 作 ，连接 ，分析可知 与平面 所成角 ，运算
求解即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得二面角 的平面角为 ，即 ，
在 中，则 ，
因为 ，即 ，
可得 ， ，即 ， ，
且 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）方法一：由（1）可知： ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
可得平面 平面 ，
若过 作平面 的垂线，可知垂线在平面 内，
如图，以O为坐标原点， 分别为 轴建系，
则 ， ， ， ，
设点 在平面 的投影为 ，由面面垂直可知： ，连接 ，
在 中，由等面积法可得 ，解得 ，
则 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
所以
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
方法二：由（1）可知： ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
又因为 ∥ ，所以 ，则 ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
则 ，解得
所以 与平面 所成角的正弦值为 ；
方法三：由（1）可知： ， ， ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
又因为 ∥ ，所以 ，则 ，
过 作 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 与平面 所成角 ，
在 中，由等面积法可得 ，解得 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
5．如图：已知直三棱柱 中， 交 于点O， ， .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正切值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证 平面 ，进而可得 ，结合 证明 平面
，即可得结果；
（2）可知二面角 即为二面角 ，根据题意结合三垂线法可得二面角 的平面
角为 ，运算求解即可.
【详解】（1）因为 平面ABC， 平面ABC，可得 ，
由题意可知： ，即 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，则 是正方形，可得 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，所以 .
（2）连接 ，可知平面 即为平面 ，则二面角 即为二面角 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 ，且 为 的中点，则 ，
又因为 平面ABC， 平面ABC，可得 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的平面角为 ，
在 中， ，可得 ，
所以二面角 的正切值为 .
6．四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ，E为
的中点，F为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线平行证线面平行即可；
（2）由二面角定义构造垂直解三角形即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）
如图所示，取 中点G，连接 ，
由中位线的性质易知： 且 ，
又因为底面 是菱形，E为 的中点，所以 ， ，
即四边形 是平行四边形，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）
如图所示，作 ，垂足为I，作 交PC于J，连接AJ，
易知 即二面角 ，
在菱形 中，由于 ， ， 平面 ，
易得 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即二面角 的正弦值为 .
7．如图（1），在 中， ， ， 、 、 分别为边 、 、 的中点，
以 为折痕把 折起，使点 到达点 位置（如图（2））．当四棱锥 的体积最大时，分
别求下列问题：
(1)设平面 与平面 的交线为 ，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的长；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 或
【分析】（1）先判断出当 平面 时，四棱锥 的体积取最大值；然后结合线面垂直的判
定定理以及线面平行的性质定理证得 平面 .
（2）判断出 与平面 所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得 .
【详解】（1）过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
， ， ，则 平面 ，
平面 ， ，
， ， 平面 ，
平面 ，则 ，
故当 平面 时，四棱锥 的体积取最大值，
， ， ， 平面 ，
因为 ， ， 为 的中点，所以， 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ， ，因此， 平面 .
（2）因为 平面 ， 与平面 所成角为 ，
因为 平面 ， ，
所以， ，解得 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，解得 或 .
因此，在棱 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 或 .
8．直四棱柱 ， ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角 大小的正切值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）要证直线与平面平行，可以先证平面与平面平行，进而可证结论；
（2）先由棱柱体积求出侧棱长，然后作出二面角的平面角，再通过解三角形即可得解.
【详解】（1）因为 是直四棱柱，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 .
（2）因为直四棱柱体积 ，
所以 ，解得 ，
在平面 内过A点作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 是直四棱柱，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
故 即为二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，
由 得 ，
故 ，
即二面角 大小的正切值为 .
9．如图，长方体 中， ，P为棱 中点，E棱 中点．线段 上
是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先假设存在符合题意的 点，设 ，利用等体积法列方程，求得 ，从而求得 .
【详解】假设线段 上存在点 ，使得它到平面 的距离为 ，
设 ，则 ，
设 是 的中点，连接 ，
由于 是 的中点，所以 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
在直角三角形POE中， ，
在直角三角形DOE中， ，
所以 ，
由 ，即 ，
解得 ，
所以存在点 满足题意，此时 ．
10．如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ， ， 是
的中点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，结合 ，推出 平面 ，得到
，证明 平面 ，即可证明 ．
（2）利用 ，转化求解即可．
【详解】（1）证明：因为底面 是边长为2的正方形， ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
（2）设点 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 是 的中点， 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
11．如图，在四棱锥 中， 平面 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取 中点 ，利用平行公理，线面平行的判定推理作答.
（2）转化成求点 到平面 的距离，再利用等体积法求解作答.
【详解】（1）在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，如图，
由 ，得四边形 是菱形，且 ，
因为 分别为 的中点，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是四边形 是平行四边形，有 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）知， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
于是点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，而 ，
则 ， 底边 上的高 ，
于是 的面积 ，而 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离是 .
12．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，平面 平面 ， ，
， ，点 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据平面 平面 得到 平面 ，进而得到 ，结合 可
得 平面 ，进而得到 ，进而结合 可得 平面 ，进而求证；
（2）作 于点 ，利用面积公式可得 ，由点 为 的中点，可得点 到平面 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】距离等于点 到平面 的距离，可得 ，进而结合体积公式求解即可.
【详解】（1）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ， ，且 平面
，
平面 ，又 平面 ，
.
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，则 .
在 中， ， 为 的中点，
，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（2）作 于点 ，在 中， ，
则 ，
点 为 的中点，
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
即 .
又点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半，
即 ， ，
所以 ，
所以三棱锥 的体积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．如图，在三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ，
， ， ， ．
(1)求证：B，D，E， 四点共面；
(2)求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题设 ， ，进而有 ，易得四边形 为平行四边形，再结
合 ，即可证结论；
（2）根据面面垂直性质定理证明线面垂直，最后根据体积公式计算即可.
【详解】（1）在三棱柱 中， ， ，
因为 ， ，即 ， ，所以 ，
则四边形 为平行四边形，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，故B，D，E， 四点共面．
（2）连接 ，取AC的中点O，连接 ，BO，如图所示．
在三棱柱 中，四边形 为平行四边形， ，
则 ，又 ，所以 为等边三角形．
又O为AC的中点，所以 ．
又平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC．
又 ，O为AC的中点，所以 ．
因为 ， ，所以 ， ， ．
又因为 ， ，
所以四棱锥 的体积为 ．
14．如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，且 为线段 上的动点， ，
， ， ．记直线 与平面 所成角为 ，平面 与平面
的夹角为 ，是否存在点 使得 ?若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】存在，
【分析】先假设存在符合题意的点 ，根据线面角和面面角的知识判断出此时 ，由
列方程来求得 .
【详解】假设存在点 ，使得 ，延长 与 交于点 ，连接 ，
则平面 平面 ，
设 平面 ，垂足为 ，连接 ， 是直线 与平面 所成的角，
因为 且 ，所以，点 为 的中点，则 ，
过点 作 垂直于 ，垂足为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
是平面 与平面 的夹角的平面角（或补角），
所以 ， ，
由 ，得 ，所以 、 重合，由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，
即 ，整理可得 ，
解得 或 （舍），
所以存在点 ，当 ，有 成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
15．在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，点 为线段 上的一点.将
沿 翻折到 的位置，使得 .
(1)求证： ∥平面 ；
(2)若二面角 为 ，判断 所在的位置；
(3)在 上是否存在一点 ，使 .若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点 为 中点
(3)存在， 为 中点，证明见解析
【分析】（1）在直角梯形 中，由已知可得 ∥ ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由题意得 即为二面角 的平面角，即 = ，在直角三角形 中可求得结
果，
（3）存在 为 中点时，使 ， 取 的中点 ，连接 ，由线面垂直和线线平
行可得结论.
【详解】（1）∵在直角梯形 中， ， ∥ ， ，∴ ∥ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ∥平面 ；
（2）∵ ，∴ 即为二面角 的平面角，即 = ，
∴在直角三角形 中， ，∴
∵ ，∴点 为 中点.
（3）存在 为 中点时，使 ，
取 的中点 ，连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 为 中点， 为 的中点，∴ ∥ ，
∵ ∥ ，∴ ∥ ，∴点 在平面 上，
∴ 平面 ，∴ .
16．如图，在直三棱柱 中，D为棱AB的中点，E为侧棱 的动点，且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)是否存在实数 ，使得 ∥平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)设 ， ， ，求DE与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)存在；
(2)
【分析】（1）解法一：连接 ， ，设 ， ，则利用平行关系和比例关系
可证得 ∥ ，然后由线面平行的判定定理可证得结论；解法二：连接 交 于点 ，连接GD，
利用三角形中位线定理和平行四边形性质可证得四边形 为平行四边形，则 ∥ ，然后由线面
平行的判定定理可证得结论；
（2）过点 作 ∥ 交 于点 ，由已知先证得 平面 ，再可得 平面 ，则
为DE与平面 所成角，然后在 中求解即可.
【详解】（1）解法一：存在实数 ，使得 ∥平面 ．
理由如下：
如图，连接 ， ，设 ， ，
因为 ， ∥ ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ∥ ，所以 ，
因为 为AB的中点， ∥ ， ，
所以 ， ∥ ，所以 ，
所以 ，所以 ∥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ；
解法二：存在实数 ，使得 ∥平面 ．理由如下：
如图，连接 交 于点 ，连接GD，在直三棱柱 中，四边形 为矩形，所以点
为 的中点，
因为 为棱AB的中点，所以 ∥ ， ，
又因为 ∥ ， ，
所以 ∥ ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
过点 作 ∥ 交 于点 ，则 ，，
又因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为DE与平面 所成角，
设 ，在 中， ，
所以 ，
即DE与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ．
17．如图，在多面体 中，菱形 的边长为2， ，四边形 是矩形，平面
平面 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)在线段 上确定一点 ，使得平面 平面 ；
(2)设 是线段 的中点，在（1）的条件下，求二面角 — — 的大小．
【答案】(1)H为线段FC的中点
(2)
【分析】（1）证明 ， 即可得；
（2）证明 平面 ，则 为二面角 的平面角，由此计算平面角的大小即可．
【详解】（1） 为线段 的中点．证明如下：在菱形 中，连接 与 交于点 ，
于是 为 中点，在 中， 为中位线，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为四边形 是矩形， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 ．
（2）分别取EF，HG，OC中点M，N，P，连接MO，MA，MC，NP，NO，NA，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是，N为线段MC中点，易知，在矩形BDEF中 ，菱形ABCD中 ，
且 ，MO， 平面AMC，所以 平面AMC．
又GH为 的中位线，故 ，且 ，所以 ．
所以 平面AMC．又AN， 平面AMC，所以 ， ．
所以∠ANO为二面角 的平面角．
由已知，平面 平面ABCD，平面 平面ABCD＝BD， 平面BDEF，
且 ，可得 ．
又NP为 的中位线，所以 ，且 ，
所以 平面ABCD，进而 ．
在菱形ABCD中， ， ， ．
在直角 中， ，所以 ．
在直角 中， ，所以 ，
所以， ．即二面角 的大小为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
