文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题
目录
【考点一 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】............................................................................................................1
【考点二 铅笔头模型】..........................................................................................................................................11
【考点三 牛角模型】..............................................................................................................................................19
【考点四 羊角模型】..............................................................................................................................................25
【考点五 蛇形模型（“5”字模型）】................................................................................................................35
【考点一 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
故答案为：∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线 ，连接 ，可以发
现 ．
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学科网（北京）股份有限公司请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作 ，
（已知）， （辅助线的作法），
（________________________________________）．
．（_______________________________）．
，
（同理）．
___________．
即 ．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明： ．
（3）解决问题：如图③， 是 与 之间的点，直接写出 ， ， ， ，
之间的数量关系______________________．
巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图， ， ， ，
，求 ．
2．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①， ，试问 、 、 有什么关系．下面
给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作 ，
∴ （ ）．
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ ，
即 ；
应用：如图②，直线 ， ，垂足为O， 与 相交于点E，若 ，求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司拓展：如图③， ， 于点C， ， ，则 ．
3．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知 ，求证： ；小明想到
了以下方法，请帮助他完成证明过程：
证明：
(1)如图1，过点 作 ，则 ___________．（ ）
，
__________（ ）
____________（ ）
又 ，
．
(2)如图2， ，请写出 的和并说明理由；
(3)如图3， ，请直接写出图3中 的和．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①， ，试问 与 的关系是什么？并说明
理由；
（2）如图②， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论；
（3）如图③， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论．
5．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想
继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：
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学科网（北京）股份有限公司【分析问题】如图，已知直线 ，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，
且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设 ， ，
．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索 ， ， 之间数量的关系，
并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作 ……”请你用直尺和铅笔在图1中作出
这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段 外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学
们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段 之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时， ， ， 满足什么
数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段 之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图
形，并仿照图1，图2，标出图3中的 ， ， ，此时 ， ， 之间有何数量关系，请直接写出
结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示 ，请直接写出图4中 ， ， ， 之间的数量关系，不必说明
理由．
【考点二 铅笔头模型】
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
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学科网（北京）股份有限公司∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P 作AM的平行线PC，过点P 作AM的平行线PD，
1 1 2 2
∵AM∥BN，∴AM∥PC∥PD∥BN，
1 2
∴∠1+∠APC＝180°，∠PPC+∠PPD＝180°，∠BPD+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
1 2 1 1 2 2
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形 为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则
__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则
__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ），则
___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
____________°．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①， ，则 ________；
如图②， ，则 ________，请你说明理由；
（2）如图③， ，则 ________；
（3）利用上述结论解决问题：如图④， ， 和 的平分线相交于点F， ，
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学科网（北京）股份有限公司求 的度数．
2．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1， ，求 的度数．
解：过点E作 ．
（已作），
（ ）．
又 （已知），
_______ _______（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 _______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中， ，则 _______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中 ，猜想： _______；
（4）如图4， ，在B，D两点的同一侧有 共n个折点，则
的度数为_______（用含n的代数式表示）．
3．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1） ，P为平行线内一点，请猜测 、 、
的关系并说明理由．
（2）若内部有两个点 ， ，那么 ， 和 ， 又有怎样的数量关系（直接写出结果）
（3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
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学科网（北京）股份有限公司（4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
【考点三 牛角模型】
【模型解读】
E
1 2
A
B
3
D
C
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ， ， ，则
的度数为 °．
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学科网（北京）股份有限公司巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·期末）直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1， ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 ， 之间．设
， ，求证： ．
证明：如图2，过点 作 ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【类比应用】
（1）如图3， ， ， ，求 的度数．
（2）如图4， ，点 在直线 上，点 在直线 的上方，连接 ， ．设 ，
，则 ， 与 之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5， ，点 在直线 上，点 在直线 的上方，连接 ， ． 的平分线与
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学科网（北京）股份有限公司的平分线所在的直线交于点 ，请直接写出 的度数．（不要求写过程）
【考点四 羊角模型】
【模型解读】
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ =∠FCD，∵∠ =∠FCD-∠FCB，∴∠ =∠ -∠ .
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ +∠FCD=180°，∵∠FCD=∠ +∠FCB，∴∠ +∠ +∠ -∠=180°.
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图 ， ，猜想 与 、 的关系，并说明理
由．
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学科网（北京）股份有限公司(1)填空：
解：猜想 ．理由：过点 作 ，如图 所示，所以
(①___________)．因为 ， ，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么
②___________)，所以 (③___________)，所以
④___________，即 ；
(2)依照上面的解题方法，观察图 ，已知 ，猜想图中的 与 、 的关系，并说明理由；
(3)观察图 和图 ，已知 ，猜想图中的 与 、 的关系，不需要说明理由．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
2．（22-23七年级下·广东揭阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知： ， 和 都不经过点P，直接写出 与 的关系 ；
(2)在图2中， ，若 ，则 的度数为 ；
(3)在图3中， ，若 ，则 的度数为 ；
(4)在图4中， ，探索 与 的数量关系，并说明理由．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知
(1)如图1，求证：
(2)如图2， 的平分线 的反向延长线交 的平分线 于 ，若 ， ，求
的度数
(3)如图3，若 平分 ， 平分 ， 的反向延长线和 的反向延长线交于点 ，且
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学科网（北京）股份有限公司，求 的度数
4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图 图 中， ，点 ，点 ，点 与 ，
在同一平面内．
(1)探究与表达请直接写出：
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系：
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， ， ， 的数量关系；
(2)推导与应用如图 ，将长方形纸片沿 折叠，已知 ，求 的度数．
【考点五 蛇形模型（“5”字模型）】
【模型解读】
如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
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学科网（北京）股份有限公司如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ +∠FCD=180°，∵∠ =∠FCD+∠FCB，∴∠ +∠ =∠ +180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠ +∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ =∠FCD，∵∠ =∠FCD+∠FCB，∴∠ +∠ =∠ +180°
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒
的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：
在图2中， ， ， ， ，求 的度数．
巩固训练
1．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图， ．
(1)如图1，请探索 ， ， 三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，若 和 的平分线交于点 ，请直接写出 与 的数量关系．
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学科网（北京）股份有限公司
