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人教A版数学--概率专题十一
知识点一 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,由频率分布直方
图估计平均数,指定区间的概率
典例1、为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.
每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如
下频率分布直方图.
（1）指标数不在 和 之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数 服从正态分布 ，其中 近
似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算 值，并
计算产品指标数落在 内的概率.
参考数据： ，则 ， .随堂练习：2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，
某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100
人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 （同一组中的数
据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查
看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1
人成绩在 内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布 ，已知样本数据的方差为121，用平均分 作
为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分
及以上为及格）．
参考数据： ， ，
．典例2、2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区
张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植
工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、
大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度
（单位： ）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中
点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度 （ ）服从正态分布 ，
其中 近似为样本平均数 ．记 为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求 ；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活
率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移
植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若 ，则 ， ．
随堂练习：某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．
某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根
据测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布 ，
若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算 ，并计算测量数据落在内的概率；
（3）设生产成本为y元，质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系
假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫
苗的平均成本．
参考数据： ，则 ， ．
20-5（提升） 为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康
发展的意见》，某校组织学生加强100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取 100名男
生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每
组区间包含左端点，不包含右端点）．1、若规定男生短跑成绩小于13.5秒为优秀，求样本中男生短跑成绩优秀的概率．
2、估计样本中男生短跑成绩的平均数．（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
3、根据统计分析，该校男生的短跑成绩X服从正态分布 ，以（2）中所求的
样本平均数作为 的估计值．若从该校男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在
以外的人数为Y，
求 ．
附：若 ，则 ． ．随堂练习：《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印
发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行
动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基
本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线 某制造企业根据长期检测
结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 ，并把质量差
在 内的产品为优等品，质量差在 内的产品为一等品，其余范围
内的产品作为废品处理 优等品与一等品统称为正品 现分别从该企业生产的正品中随机
抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数
作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概
率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则： ，
， ].
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每
次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 ，求
的分布列以及期望值.知识点二 求回归直线方程,卡方的计算,独立性检验解决实际问题
典例4、近年来，随着网络时代的发展，线上销售成为了一种热门的发展趋势.为了了
解产品A的线上销售对象对该产品的满意程度，研究人员随机抽取了部分客户作出调查，
得到的数据如下表：
表示满意 表示不满意
男性 60 45
女性 30 45
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关？
（2）根据以往数据，产品A的部分销售年份 和线上销售总额 之间呈现
线性相关，数据统计如图所示，其中 ， ，求 关于 的回归
直线方程 .附： ， ， ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻．复兴中学一年一度的
校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力．小
智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会
“参与”数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考．
附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运
动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字 表示小智
同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；
统计表（一）
年份数 1 2 3 4 5
“参与”人数（ 千人） 1.9 2.3 2.0 2.5 2.8
统计表（二）
高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：
男生 女生 小计
参加（人数） 26 50不参加（人数） 20
小计 44 100
1、请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数 关于年份
数 的线性回归方程 ，并预估今年的校运会的“参与”人数；
2、根据统计表（二），请问：你能否有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性
别”有关？
参考公式和数据一： ， ， ，
参考公式二： ，其中 ．
参考数据：
典例5、某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天食品
的日销售量 （单位：千克）与该地当日最低气温 （单位： ）的数据，如下表：
2 5 8 9 11
12 10 8 8 7
（1）求 关于 的线性回归方程；查看当天天气预报知道，第二天气温可能降至 左右，为第二天准备食品 多少千克比较恰当？（精确到个位数）
（2）填写下列2×2列联表，并判断是否有 的把握认为气温是否超过 对销售量
是否低于9千克具有影响？
销量低于 销量不低于 合计
气温高于
气温不高于
合计
附：参考公式与数据：①回归方程 中， ，
.
② .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随堂练习：为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加
“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下
表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：
月份 1 2 3 4 5
“健走先锋”职工数 120 105 100 95 80
（1）请利用所给数据求“健走先锋”职工数y与月份x之间的回归直线方程 ，
并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；
（2）为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70
人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：
健走先锋 健走之星
男员工 24 16
女员工 16 14
能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？
参考公式： ， ．
（其中 ）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
典例6、棉花是我国主要经济作物､纺织工业原料､重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中
和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，
随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4
年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度 2018 2019 2020 2021
年度代码x 1 2 3 4
种植面积y 306 347 390 420
（1）请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程 ，并
估计该地区2022年棉花的种植面积；
（2）针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯､黄萎病等问题，某科研小组
随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数
据：
亩产 亩产
未按时足量施用硼肥 20 10
按时足量施用硼肥 58 12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
参考公试：线性回归方程： ，其中 ，
，其中 .
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635随堂练习：某校高一（1）班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7
位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间（单位：h）及他们的政治原始
成绩（单位：分）如下表：
复习时间 2 3 5 6 8 12 16
考试分数 60 69 78 81 85 90 92
甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以
用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这
个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本
数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增
的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数 具有类似特征中，因
此，甲同学作 变换，得到新的数据 ，重新画出散点图，发现 与 之
间有很强的线性相关，并根据以上数据建立 与 之间的线性经验回归方程 .
政治成绩
考前一周复习投入时间（单位：h） 合计
优秀 不优秀
≥6h
<6h
合计 50
（1）预测当 时该班学生政治学科成绩（精确到小数点后1位）；
（2）经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投
入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周
复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的 列联表，依据小概率值 的 独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.
附： ， ， ， ， ，
， .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
人教A版数学--概率专题十一答案
典例1、答案： （1） （2） ，0.9544
解：（1）由 ，解得 ，
样本中指标数不在 和 之间的频率为 ，
所以产品为次等品的概率估计值为 .
（2）依题意 .
所以 ，
所以 .
随堂练习：答案： （1） ；平均分为71分；（2） ；（3） ．
解：（1）由频率分布直方图可得， ， 解得 ．
这组样本数据的平均数为： ．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；（2）自频率分布直方图可知，成绩在 ， 内的频率分别为0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，
成绩在 内的有5人，成绩在 内的有2人．
记事件 这3人至少有1人成绩在 内 则 ；
（3）由题意知，样本方差 ，故 ， 所以竞赛成绩
该校竞赛的及格率 ．
典例2、答案：（1） ；（2） ；（3） ．
解:（1）抽取树木高度为 的频率为 ，
所以样本均值： ．
（2）由第一问估计 ，
，
一棵树的高度位于区间 的概率为0.1359，
依题意知 ，所以 ．
（3）记移植五棵树中成活了 棵． ．
随堂练习：答案： （1） ；（2） ； ；（3） 元．
解：（1）由 解得 ．（2）依题意，
故 所以
故测量数据落在 内的概率约为
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为 ．
典例3、答案： （1） （2） （3）
解：（1）由频率分布直方图可得 ， 解得 ，
所以样本中男生短跑成绩优秀的概率为 ．
（2）估计样本中男生短跑成绩的平均数为：
．
（3）由（2）知 ，所以 ，
所以该校男生短跑成绩在 以外的概率为：
根据题意 ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1）70 （2）0.8186 （3）分布列见解析
解：（1）由频率分布直方图可知，.
（2）由题意可知，样本方差 ，故 ，所以 ，
该厂生产的产品为正品的概率：
.
（3）X所有可能值为0，1，2，3.
， ， ，
.
所以 的分布列为
数学期望 .
典例4、答案： （1）能； （2） .
解：（1）根据统计数据，可得 列联表如下表：
表示满意 表示不满意 总计
男性 60 45 105
女性 30 45 75
总计 90 90 180则 ，
故能够在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关.
（2）由题意得， ， ， 则 ，
，
∴ 关于 的回归直线方程为 .
随堂练习：答案： （1） ；2.9千人.
（2）没有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
解：（1）由题意得 ， ，
所以 ， ∴
∴线性回归方程为 ， ∴预计今年的“参与“人数为：
（千人）．
由题意可确定列联表如下：
男生 女生 小计
参加（人数） 26 24 50
不参加（人数） 30 20 50
小计 56 44 100
（2）则，
所以没有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.
典例5、答案：（1） ， ；（2）表格见解析，有．
解:（1） ， ，
，
， ，
，
所以，所求回归方程是 ， 将 代入回归方程得 千
克，
所以依据第二天气温可能降至 天气预报，为第二天准备该商品 左右较
合适；
（2）根据已知条件构造分类变量列联表：
销量低于 销量不低于 合计
气温高于 3 0 3
气温不高于 0 2 2
合计 3 2 5
计算随机变量 的观测值：
， ，.
所以，具有 的把握认为气温是否超过 对销售量是否低于 具有影响．
随堂练习：答案： （1） ；约为37人；
（2）没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关.
解：（1）由表中的数据可知， ， ，
所以 ，故 ．
所以所求的回归直线方程为 ；
当 时， ，
所以该单位10月份的“健走先锋”职工人数约为37人．
（2）由表中数据可得， .
因为 ,
所以没有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关．
典例6、答案： （1） ，面积为462百亩
（2）有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关
解：（1）根据题意得到 ,
因为 ，所以，
所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程 ,
（2）当 时， ，
所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩.
结合已知数据得到 列联表如下表所示：
亩产 亩产 合计
未按时足量施用硼肥 20 10 30
按时足量施用硼肥 58 12 70
合计 78 22 100
，
所以有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关.
随堂练习：答案： （1）51.9分；
（2）表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超
过0.001.
解：（1） ，
，
所以 ，且 ,
所以预测当 时, ,
即该班学生政治学科成绩约为51.9分.（2） 列联表：
政治成绩
考前一周复习投入时间（单位：h） 合计
优秀 不优秀
≥6h 23 7 30
<6h 2 18 20
合计 25 25 50
零假设为 ：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，
，
依据 的独立性检验，推断 不成立，
即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
