文档内容
第 04 讲 平行线的性质
课程标准 学习目标
①平行线的性质 1. 掌握平行线的性质，并利用平行线的性质求解。
②平行线的判定和性质 2. 掌握平行线的判定和性质并应用。
知识点01 平行线的性质
(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；
②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；
(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，
则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；
②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；
③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).
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学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程：
如图，在 中， 于点D，点E在 上， 于点F，过点D作直线 交 于点
G，交 的延长线于点H， ，求 的度数．
解： ，（已知）
．（______）
．（______）
，（已知）
______．（同角的补角相等）
．（______）
．（______）
，（已知）
．（等量代换）
，（已知）
．（______）
，（平角定义）
．（等式性质）
，（已证）
______°．（______）
【即学即练2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若 平分 ，若 ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司题型01 利用平行线的性质求角度
例题：（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若 ， ， 和 互余，则
， ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 与 ，若 ， ，若 的
补角比 的余角的2倍大 ，则 的度数为 ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ， 平分 ，若 ，则
．
题型02 利用平行线的性质求生活中的应用
例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向
空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，
则 的度数为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时
，若此时 平行地面 ，则 度．
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 的一边 为平面镜， ，一束与水平
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学科网（北京）股份有限公司线 平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在 上的点E处（反射
光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则 的度数是 ， 的度数为
．
题型03 根据平行线的判定与性质求角度
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知： ， ， ，求
的度数.
解： ，
________（________）
又 ，
________
________（________）
________ ，（________）
，
________.
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段 上，连接
交于点H，连接 并延长到点M， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图， ， ， 的平分线 交 的延长
线于点 ， 的平分线 交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
题型04 根据平行线的判定与性质证明
例题：（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知：如图， 于点G， 于点H， ．
求证： ．
证明：∵ 于点G， 于点H （已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∵ （已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴ （ ）．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林·期末）完成下面的推理填空：
已知：如图， 、 分别在 和 上， ， 与 互余， 于 ．
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明： ，（已知）
．（垂直的定义）
，（已知）
_____ _____．（_____）
，（_____）
又 ，
_____ ．
又 与 互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ， 、 分别平分 、 ，且
．
求证：
(1) ；
(2) ．
题型05 根据平行线的判定与性质探究角的关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点（与点
不重合），CE，CF分别平分 和 交射线 于点E，F．
(1)求 的度数，若 ，请直接用含 的式子表示 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)随着点 的运动，设 ， ， 与 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此
数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当 时，请直接写出 的度数．
【变式训练】
1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若 ， ，则 _______；
(2)如图2，试说明， ；
(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说明理
由．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，
平分 交直线 于点 ， ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合）， 平分 交直线 于点 ，过点 作
交直线 于点 ．设 ， ．
①如图2，当点 在点 的左侧，且 时，求 的值；
②当点 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
题型06 求平行线间的距离问题
例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，点 到直线 的距离是 ，到直线 的距离
是 ，那么直线 和直线 之间的距离为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 在直线 上，点 在直线 上，
， ， ， ，则图中 与 之间的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图 ， ， 平分 ， 平分 ，
．
(1)问： 与 平行吗？试说明理由．
(2)过点 作 于点 ，如图 若 ， ， ，求 ， 所在的直线之间的距
离．
题型07 利用平行线间距离解决问题
例题：（23-24七年级下·上海松江·期末）如图， ，AC、BD交于点E， 的面积等于10，
的面积等于6，那么 的面积等于 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， AD ， 的面积等于 ， ， ，则
的面积是 .
2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形 中， ， 与BD相交于点 ，下列说
法：①三角形 与三角形 周长相等；②三角形 与三角形 面积相等；③三角形 与三
角形 面积相等；④AD与 之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号）
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（2024·江苏南京·中考真题）如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出
了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中 ， ，经使用发现，
当 时，台灯光线最佳．则此时 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）两个直角三角板 和 如图所示摆放，点F恰好在 上，其
中 ， ， ， ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直
线 与表示水底的直线 平行，光线 从空气射入水中，改变方向后射到水底G处， 是 的延
长线，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·广西柳州·期末）如图，已知 ，点P是射线 上一动点（与点A
不重合）， 分别平分 和 ，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①
；② ；③当 时， ；④当点P运动时，
的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图， ，直线l分别与 ， 相交，若 ，则
的度数为 ．
7．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，某人沿路线A→B→C→D行走， 与 方向相同，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ．
8．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知 于点 ，CB的延长线与 交于点 ，
若 ，则 的度数为 ．
9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符
构成旋律，如图， 和 是五线谱上的两条线段，点E在 之间的一条平行线上，若
，则 的度数是 ．
10．（24-25七年级上·吉林·期末）如图， ， 平分 ， 平分 ，点 、 、 在
一条直线上，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）如图， ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，（已知）
∴______ ______．（______）
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．（______）
∵ ，（已知）
∴ ______．
∴ ，（______）．
∴______（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，
∴ ______．
12．（23-24八年级上·四川达州·期末）将下面的推理过程及依据补充完整：
如图，已知： 平分 ， ，求证： 平分 （证明注明理由）
证明：∵ （已知），
∴ （ ），即 ，
∵ ，
∴ （ ）；
∵ （已知），
∴ （ ）；
∴ （ ），
∴ （ ）；
∵ 平分 （已知），
∴ （ ），
∴ （等量代换），
∴ 平分 （角平分线的定义）．
13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图， ， 平分 ， 平分 ．
(1)求证： ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的度数．
14．（2023·河北秦皇岛·一模）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为 ， ， ， ， ， ， ，然
后将 ， ， ， ， ， ， 顺次首尾连接（如图所示），设 恰好经过点 ，且 ， ， 在一
条直线上．已知 ， ， ．
（1） 的度数为 ；
（2）连接 ，若 ，则 的度数为 ；
15．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知 ， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，且 ，求 的度数．
16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
17．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若 、 是同旁内角，并且 ， 满足
，则称 是 的内联角．
(1)如图1，已知 是 的内联角．
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学科网（北京）股份有限公司①当 时， ________°；
②当直线 时，求 的度数．
(2)如图2，已知 是 的内联角，点O是线段 上一定点． 是 的内联角吗？请说明理
由．
18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板
的直角顶点E落在 上， ，且 ，则 的大小为 度．
（2）【探究】如图②，将图①一个三角板 放在一组直线 与 之间（其中 ），
并使直角顶点A在直线 上，顶点C在直线 上，现测得 ，试说明
．
（3）【拓展】现将图①的三角板 按图③方式摆放（其中 ），使顶点C在直线
上，直角顶点A在直线 上．若 ，直接写出 与 之间的关系式．
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