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第 03 讲 平行线的判定
课程标准 学习目标
1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；
①同位角、内错角、同旁内角
2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行
②平行线的判定
的条件。
知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念
1.同位角、内错角和同旁内角：
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学科网（北京）股份有限公司填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种
位置关系的一对角是同位角.
(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.
(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.
(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.
(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.
【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
知识点02 平行线的定义及表示
(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.
(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.
1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行 (2)相交
2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.
【注意】平行线的画法四字诀
1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；
2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；
3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；
4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.
【即学即练1】（23-24七年级上·河南周口·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行
【即学即练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，
画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c
也平行，这就说明了（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．平行于同一条直线的两直线平行
B．同旁内角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
知识点03 平行公理及推论
(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么 b ∥ c .
【注意】平行公理
(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.
(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.
【即学即练1】（23-24七年级下·广西防城港·期末）已知直线 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行
C．直线a与c相交 D．直线a与b相交
知识点04 平行线的判定方法
平行线的判定方法1：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角
相等，两直线平行.
(2)几何语言：
∵∠1= ∠ 5(或者∠2= ∠ 6，∠4= ∠ 8，∠3= ∠ 7)，
∴AB∥CD.
平行线的判定方法2：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角
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学科网（北京）股份有限公司相等，两直线平行.
(2)几何语言：
∵∠2= ∠ 8(或者∠3= ∠ 5)，
∴AB∥CD.
平行线的判定方法3：
(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内
角互补，两直线平行.
(2)几何语言：
∵∠2+ ∠ 5=180°(或者∠3+ ∠ 8=180°)，
∴AB∥CD.
平行线的其他判定方法：
(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【总结】判定两直线平行的方法
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.
方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
方法三：同位角相等，两直线平行.
方法四：内错角相等，两直线平行.
方法五：同旁内角互补，两直线平行.
方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
【即学即练1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点 ， ， 在一条直线上，要根据“同旁内角
互补，两直线平行”判定 ，需添加的一个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线 和 被直线 所截．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图①，若 平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
(2)如图②，若 平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
(3)如图③，若EG平分 ， 平分 ，则 与 满足什么条件时， ？为什么？
题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若 ，则 的同位角的大小是 ，
的内错角的大小是 ， 的同旁内角的大小是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 上有一点 和 是直线 被直线
所截形成的 角； 和 是直线 和 被直线 所截形成的 角； 和
是直线 和 被直线 所截形成的 角．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．
(1) 与 、 与 ， 与 各有什么特殊的位置关系？
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学科网（北京）股份有限公司(2) 与 是内错角吗？为什么？
(3)如果 ，那么 等于 吗？ 和 互补吗？为什么？
题型02 平面内两直线的位置关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线 ，若 ，则a与b的
位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习） 、 、 为同一平面内的三条直线，若 与 不平行， 与 不
平行，那么 与 （ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
题型03 平行公理及推论应用
例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一
条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不
相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线 ， ，则 ；②在
同一平面内，若直线 ，直线 与 相交，则直线 与 相交；③若直线 与直线 相交，直线 与直线
相交，则直线 与直线 相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是
．（填序号）
题型04 同位角相等，两直线平行
例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线AB，CD被直线 所截， 为CD与 的交点， 于点 ， ， ，
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵ （已知），
∴ （ ）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （ ）（____________）．
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （____________）．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图： ， 平分 ， 平分 ，
，试说明： ．请完成下面的解题过程．
解：∵ 平分 ， 平分 （已知），
____________， _________（角平分线的定义），
又 （已知）
________ ________．
又 （已知）
________，
（________）．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形 中， ，点 分别在边 的
延长线上，作射线 ，如果 平分 ，那么 与 平行吗？为什么？
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学科网（北京）股份有限公司题型05 内错角相等，两直线平行
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面证明：
如图， 平分 ， ．求证 ．
证明：∵ 平分
∴ （ ）
∵ ．
∴ ．（ ）
∴ （ ）．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在 上，已知 ， 平分 ，
平分 ，请说明 的理由．
解： （已知），
（_______）
（_______）．
∵ 平分 ，
_______（_______）．
平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司_______，
得 （_______），
（_______）．
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线 上， 平分 平分 是
上一点，连接 ．
(1)判断 与 是否垂直，并说明理由；
(2)若 与 互余，判断 与 是否平行，并说明理由．
题型06 同旁内角互补，两直线平行
例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知
．将下列推理过程补充
完整．
∵ （已知），
∴ ________（________________）
∵ （已知）
∴ ________（________________）
∵ （已知），
∴________ _________（________________）．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）完成下面的证明．
已知：如图， ．
求证： ．
证明： ，
______ ________（_______）．
，
______ ________．
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学科网（北京）股份有限公司（_______）．
2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：
如图， 平分 ， 平分 ，且 ，求证 ．
证明：∵ 平分 （已知），
∴ （ ）
∵ 平分 （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
∵ （已知），
∴ _________（ ）
∴ （ ）
题型07 添加一条件使两直线平行
例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，点
为 内一点，连接 ， ，不添加辅助线，请添加一个条件使得 ，则可添加为 ．
（写出一个即可）
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段 的延长线上一点，添加一个条件，使 ，
则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题 如图，已知 ，请你
添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断 ，你添加的条件是 ．
题型08 垂直于同一条直线的两条直线平行
例题：（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知 ， ，试探究 与 的位置关
系，并说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图， ， ，垂足分别是 ， ， ．
(1)判断 与 的位置关系；（不需要证明）
(2)求证： ．
题型09 平行线的判定去判断两线的位置关系
例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点 在 上， 平分 ， 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)试说明： ；
(2)若 ， ，则 与 平行吗？为什么？
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中，点E在 的延长线上，点F在 的延
长线上，连接 相交于点O， ， 平分 ， ．
(1)试说明 ；
(2) 与 的位置关系如何？为什么？
2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点 在 上，过 作 于 ，点 是 上一点，
过点 作 于 ．
(1)求证： ；
(2)点 在 上，若 ，则试判断 与 的位置关系，并说明理由．
一、单选题
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·山西大同·二模）若 ，则下列图形一定能推出 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（ ）
A． 与 是同位角 B． 与 是内错角
C． 与 是同旁内角 D． 与 是同旁内角
4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若 ， ，则 ；②若 与 相交，
与 相交，则 与 相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有
（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，给出四个条件：① ；② ；③
；④ ，其中能判定 的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、填空题
6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明按如图所示的方法画出了两条平行线，依据是 ．
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学科网（北京）股份有限公司7．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到 ，则需要条件 （填一个你认为正确的
条件即可），理由是 ．
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空：
（1）若直线 ， 被直线 所截，则 和 是同位角；
（2）若直线 ， 被直线 所截，则 和 是内错角；
（3） 和 是直线 ， 被直线 所截构成的 角；
9．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题：
（1）与线段 平行的线段是 ；
（2） 与 所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在
内，两条不相交的直线才是平行线．
10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， 三根木棒钉在一起，交点分别为
．现将木棒 分别绕点 顺时针旋转，同时开始，速度分别为 和 ，
当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒 平行．
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题
11．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知 ， 交 于点D， 平分 ，
，求证： ．
12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在 的方格纸中，每个小正方形的边长为1， 、 、
均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点 作 的平行线．
(2)过点 作 的平行线，与（1）中的平行线交于点 ．
13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整：
如图，已知直线 ， 被直线 所截， 为 与 的交点， 于点 ， ，
．求证： ．
证明： （已知），
（______）．
又 （已知），
（______） ．
（______）．
又 （已知），
，
（______）．
14．（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．
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学科网（北京）股份有限公司(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线 ，之后摆放三角板，得到 ．依据是______．
(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到 ．依据是______．
(3)李老师将一副直角三角板（ ， ）按如图3所示的方式放置，若 ，则可得
到 ．请说明理由．
15．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知点 、 、 、 在一条直线上，
， 平分 ， ．
（1） 与 平行吗？请说明理由；
（2） 与 的位置关系如何？请说明理由．
解：（1） ，理由如下：
（ ），
（已知），
．
（ ）．
（2） 与 的位置关系是：（ ）．
请完成说理过程：
16．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点 、 、 都是方格纸中的格点（图中每1个小方格
都是边长为1的正方形），请用直尺画图．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在网格中找一个格点 ，连结 ，使 ；
(2)在网格中找一个格点 ，作直线 ，使 ；
(3)连接 ， ，则 的面积为________．
17．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，点O在直线 上，F是 上一点，连接 ， 平分 ，
平分 交 于点D．
(1)试说明 ；
(2)若 与 互余，试说明 ．
18．（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，直线 分别交 于G，H两点， 平分 ，
于点H，且 ， ．
(1)求 的大小．
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
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