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专题突破卷 19 传统方法求夹角及距离
1.求异面直线的夹角
1．在三棱锥 中， ， 的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与
BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上， ， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．3．如图，在棱长为1的正方体 中，点 在对角线 上移动，设异面直线 与 所
成角为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．四面体 中， 是边长为12的等边三角形， ， ， 为 的中点，
为 的中点， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值是_____．
5．已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上， ， ， ，若球 的体积为
，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____．
6．已知正四面体ABCD，点E为棱AD的中点，O为 的中心，则异面直线EO与CD所成的角等于
_____.
2.求直线与平面的夹角
7．如图，在四棱台 中， 底面 ，M是 中点.底面 为直角梯形，且
， ， .
(1)求证：直线 平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
8．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， .
(1)设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．如图，已知正四棱柱 的底面边长是3，体积是45，M，N分别是棱 、 的中点．(1)求过 ， ， 的平面与该正四棱柱所截得的多面体 的体积；
(2)求直线 与平面 所成的角．
10．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且
，若圆柱的底面积与 ABE的面积之比等于 ．
△
(1)求证： ；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．11．如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边三角形， ， ，
.
(1)求 的长度；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
12．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A－CD－F为60°， ，CD⊥DE，
AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．
(1)求证： 平面ADE；
(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值3.求平面与平面的夹角
13．如图，在三棱柱 中，已知 平面 ，且 .
(1)求 的长；
(2)若 为线段 的中点，求二面角 的余弦值.
14．在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， ， 底面
， ，点 在棱 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)证明：
(3)求二面角 的余弦值15．如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点， 为 上的
点，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若三棱柱所有棱长都为 ，求二面角 的平面角的正切值.
16．如图， 是直角梯形 底边 的中点， ，将 沿 折起形成四棱锥
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 为60°，求二面角 的余弦值.17．如图所示，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 、 分别为 、 的中点， 交 于
点 ，将 沿 折起到 的位置.
(1)证明： ：
(2)若 ， ， ，求二面角 的大小
18．如图，在棱长为3的正方体 中， ， 为棱 的两个三等分点．
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值．
4.已知夹角求距离
19．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，点Q
是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面 所成的角为 ？若存在，求出AF的长，
若不存在，请说明理由？
20．如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，沿 将
折起，使得点 到点 的位置，且 ， 为 的中点， 是 上的动点（与点 、 不
重合）．(1)证明：平面 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得二面角 的正切值为 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说
明理由．
21．如图，在正四棱锥 中， ，点O为底面 的中心，点P在棱 上，且 的
面积为1．
(1)若点P是 的中点，求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点P使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，
说明强由．
22．如图1，在平行四边形ABCD中， ， ， ，将 ABD沿BD折起，使得平面
平面 ，如图2． △(1)证明： 平面BCD；
(2)在线段 上是否存在点M，使得二面角 的大小为45°？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
23．如图，在四棱锥中 ， 平面 ， ， ，且 ，
，
(1)求证： ；
(2)在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，如果存在，请说明 点的位置，
如果不存在，请说明理由．24．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， ，平面
平面 ，点F为棱 的中点.
(1)在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角.
5.求几何体的体积
25．如图，梯形 中， ， 为 中点，且 ， ，将 沿 翻折到
，使得 ．连接 ．(1)求证： ；
(2) 为线段 上一点，若 ，求三棱锥 的体积．
26．如图，四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形， ， ，且侧面 面
ABCD，O是AD的中点， ．当 时，在棱PC上是否存在一点M，使得三
棱锥 的体积为 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
27．如图1，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，如图2，将 沿
折起，使得 至 处，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为4，求 的长.
28．如图，在四棱雉 中，底面 是正方形， ， ，点 ， 分别
为线段 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.29．如图，四棱锥 的底面是菱形，平面 底面 ， ， 分别是 ， 的中点，
， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求四棱锥 的体积.
30．已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， ，
为 上一点．
(1)平面 平面 ，证明： ．
(2)当直线 与平面 的夹角为 时，求三棱锥 的体积．6.利用等体积法求点到面的距离
31．如图，在正四棱台 中， .
(1)证明： .
(2)若正四棱台 的高为3，求点 到平面 的距离.
32．如图所示，已知 为圆 的直径，点 为线段 上一点，且 ，点 为圆 上一点，且
.点 在圆 所在平面上的正投影为点 ， .
(1)求证： 平面 ；(2)设 ，求点 到平面 的距离.
33．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点E在底面圆周上， ，F为垂足．
(1)求证： ．
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，求点B到平面CDE的距离．
34．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面
分别是 中点，点 在棱 上移动.(1)证明：无论点 在 上如何移动，都有平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
35．如图，三棱柱 的所有棱长都是2， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点．在
线段 （含端点）上是否存在点 ，使点 到平面 的距离为 ？若存在，请指出点 的位置，
并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
36．如图所示，圆锥的高 ，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得BC＝1，分别过点
A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.(1)证明：平面PDE⊥平面POD；
(2)点E到平面PAD的距离为d，求d 的值.
1 1
1．如图，三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 .
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)求二面角 的正弦值的最小值.
2．已知平面四边形 ， ， ， ，现将 沿 边折起，使得
平面 平面 ，此时 ，点 为线段 的中点，点 在线段 上．(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
3．如图，已知四棱锥 的底面 是平行四边形， 分别是棱 的中点， 是棱
上一点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．4．如图三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，二面角 的余
弦值为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
5．如图：已知直三棱柱 中， 交 于点O， ， .(1)求证： ；
(2)求二面角 的正切值.
6．四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， ，E为
的中点，F为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．7．如图（1），在 中， ， ， 、 、 分别为边 、 、 的中点，
以 为折痕把 折起，使点 到达点 位置（如图（2））．当四棱锥 的体积最大时，分
别求下列问题：
(1)设平面 与平面 的交线为 ，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的长；若不
存在，请说明理由．
8．直四棱柱 ， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；(2)若四棱柱体积为36，求二面角 大小的正切值
9．如图，长方体 中， ，P为棱 中点，E棱 中点．线段 上
是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ， ， 是
的中点．(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
11．如图，在四棱锥 中， 平面 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离．
12．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，平面 平面 ， ，， ，点 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
13．如图，在三棱柱 中，平面 平面ABC， ， ，
， ， ， ．
(1)求证：B，D，E， 四点共面；
(2)求四棱锥 的体积．14．如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，且 为线段 上的动点， ，
， ， ．记直线 与平面 所成角为 ，平面 与平面
的夹角为 ，是否存在点 使得 ?若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
15．在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，点 为线段 上的一点.将
沿 翻折到 的位置，使得 .
(1)求证： ∥平面 ；(2)若二面角 为 ，判断 所在的位置；
(3)在 上是否存在一点 ，使 .若存在，指出位置并证明，若不存在，说明理由.
16．如图，在直三棱柱 中，D为棱AB的中点，E为侧棱 的动点，且 ．
(1)是否存在实数 ，使得 ∥平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)设 ， ， ，求DE与平面 所成角的正弦值的取值范围．
17．如图，在多面体 中，菱形 的边长为2， ，四边形 是矩形，平面
平面 ， ．(1)在线段 上确定一点 ，使得平面 平面 ；
(2)设 是线段 的中点，在（1）的条件下，求二面角 — — 的大小．
