文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题
目录
【考点一 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】............................................................................................................1
【考点二 铅笔头模型】..........................................................................................................................................11
【考点三 牛角模型】..............................................................................................................................................19
【考点四 羊角模型】..............................................................................................................................................25
【考点五 蛇形模型（“5”字模型）】................................................................................................................35
【考点一 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P=∠A+∠B+∠P
1 3 2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P+∠P+...+∠P =∠A+∠B+∠P+...+∠P
1 3 2n+1 2 2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
故答案为：∠A+∠B+∠P ＝∠P +∠P ，
2 1 3
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P +…+P ＝∠P +∠P +∠P +…+∠P
2 2n 1 3 5 2n+1
例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线 ，连接 ，可以发
现 ．
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学科网（北京）股份有限公司请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作 ，
（已知）， （辅助线的作法），
（________________________________________）．
．（_______________________________）．
，
（同理）．
___________．
即 ．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明： ．
（3）解决问题：如图③， 是 与 之间的点，直接写出 ， ， ， ，
之间的数量关系______________________．
【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）见解析
（3）
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差．
（1）过点 作 ，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点 作 ，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点 作 ，过点 作 ，过点 作 ，根据平行线的判定及性质，角的和差
求解即可．
【详解】解：（1）证明：过点E作 ，
（已知）， （辅助线的作法），
（平行于同一直线的两直线平行）．
．（两直线平行，内错角相等）．
，
（同理）．
．
即 ．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）∵过点 作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）过点 作 ，过点 作 ，过点 作 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴
．
巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图， ， ， ，
，求 ．
【答案】
【知识点】两直线平行内错角相等、平行公理推论的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平
行线的性质．
先作 ，则 ，根据平行线的性质即可得 、 ，又
，据此列一元一次方程即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，作 交 于点 ，
，
，
， ，
又 ，
，
即 ，
解得 ．
2．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①， ，试问 、 、 有什么关系．下面
给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作 ，
∴ （ ）．
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ ，
即 ；
应用：如图②，直线 ， ，垂足为O， 与 相交于点E，若 ，求 的度数；
拓展：如图③， ， 于点C， ， ，则 ．
【答案】探究：两直线平行，内错角相等； ；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平
行，内错角相等； 应用： 拓展：
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键．
探究：过点C作 ，可以得到 ，然后得到 ， 即可解题；
应用：根据垂直的定义得到 ，然后根据对顶角相等得到 ，然后利用探究结论
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学科网（北京）股份有限公司解题；
拓展：过点 作 ，过点 作 ，得到 ， ，
，然后根据角的和差解题即可．
【详解】探究：解：如图①，过点C作 ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
又∵ ， ，
∴ （同平行于一条直线的两条直线互相平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ，
即 ；
应用：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
根据探究结论可得： ；
拓展：如图，过点 作 ，过点 作 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知 ，求证： ；小明想到
了以下方法，请帮助他完成证明过程：
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学科网（北京）股份有限公司证明：
(1)如图1，过点 作 ，则 ___________．（ ）
，
__________（ ）
____________（ ）
又 ，
．
(2)如图2， ，请写出 的和并说明理由；
(3)如图3， ，请直接写出图3中 的和．
【答案】(1) ；两直线平行，内错角相等；CD；平行于同一直线的两条直线平行； ；两直线平行，
内错角相等
(2) ，理由见解析
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键．
（1）如图1，过点 作 ，则 ，证明 ，可得 ，再结合角的和差运
算可得答案；
（2）过点 作 ，证明 ，可得 ，结合
，从而可得答案；
（3）过点 分别作 ，可得
，再利用角的和差关系可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，过点 作 ，则 （两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两条直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
又 ，
；
故答案为： ；两直线平行，内错角相等；CD；平行于同一直线的两条直线平行； ；两直线平行，
内错角相等；
（2）解： ，
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学科网（北京）股份有限公司理由如下：
过点 作 ，
，
（平行于同一直线的两直线互相平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又 ，
；
（3）解：如图：过点 分别作 ，而 ，
，
，
．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①， ，试问 与 的关系是什么？并说明
理由；
（2）如图②， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论；
（3）如图③， ，试问 与 的关系是什么？请直接写出结论．
【答案】（1） ，见解析；（2） ；（3）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）过点 作 ，从而推出 ，根据两直线平行，内错角相等，可知 ，
，从而推出 与 的关系；
（2）分别过点 ， ， ，作 ， ， ，从而推出 ，
根据两直线平行，内错角相等，可推出 与 的关系；
（3）分别过点 ， ， ， ， ，作 ， ， ， ， ，从而
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学科网（北京）股份有限公司知道 ，根据两直线平行，内错角相等，可推出 与
的关系．
【详解】解：（1） ，理由如下：
如图，过点 作 ，
， ，
，
， ，
；
（2）同理（1）得： ，理由如下：
分别过点 ， ， ，作 ， ， ，
， ， ，
（3）同理（1）得： ．
理由如下：分别过点 ， ， ， ， ，作 ， ， ， ， ，
，
，
， ， ， ， ， ，
．
5．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想
继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：
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学科网（北京）股份有限公司【分析问题】如图，已知直线 ，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，
且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设 ， ，
．
【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索 ， ， 之间数量的关系，
并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作 ……”请你用直尺和铅笔在图1中作出
这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；
【类比探究】（2）问题二：当点P在线段 外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学
们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．
①如图2，当动点P在线段 之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时， ， ， 满足什么
数量关系？请给出证明；
②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段 之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图
形，并仿照图1，图2，标出图3中的 ， ， ，此时 ， ， 之间有何数量关系，请直接写出
结论，不必说明理由．
【应用拓展】
（3）问题三：如图4所示 ，请直接写出图4中 ， ， ， 之间的数量关系，不必说明
理由．
【答案】（1） ，见解析， （2）① 不成立，新的结论为 ②
不成立，结论为: （3）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.
过点 作 利用两直线平行内错角相等得到 ，根据 得到 ，再利用两直线
平行内错角相等，根据 ，等量代换即可得证；
①过点 作 ，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证；
②过点 作 ，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证；
（ ）过点 作 ，点 作 ，得到 ， ， ，然后根
据 等量代换即可．
【详解】（1） ，理由如下：
过点 作 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
；
（2）① 不成立，新的结论为 理由为：
过 作 ，
，
，
，
，
，
；
② 不成立，如图③所示， 结论为： ；
过 作 ，
，
，
，
，
，
；
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学科网（北京）股份有限公司（3） ，
过点 作 ，点 作 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
即 ，
∴ ．
【考点二 铅笔头模型】
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P 作AM的平行线PC，过点P 作AM的平行线PD，
1 1 2 2
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学科网（北京）股份有限公司∵AM∥BN，∴AM∥PC∥PD∥BN，
1 2
∴∠1+∠APC＝180°，∠PPC+∠PPD＝180°，∠BPD+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
1 2 1 1 2 2
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形 为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ 、 、 ），则
__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ 、 、 、 ），则
__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ 、 、 、 、 ），则
___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是
____________°．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，
总结规律求解是本题的难点．
（1）过点过 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于 的 倍；
（2）分别过 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于 的
三倍；
（3）分别过 、 、 分别作 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于
的四倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度．
【详解】（1）解：过 作 （如图②）．
原四边形 是长方形，
，
12 / 38
学科网（北京）股份有限公司又 ，
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
又 ，
，
故答案为： ；
（2）分别过 、 分别作 、 ，如图③所示，
原四边形 是长方形，
，
又 ，
．
， ， ，
，
， ，
，
故答案为： ；
（3）分别过 、 、 分别作 、 、 ，如图④所示，
13 / 38
学科网（北京）股份有限公司原四边形 是长方形，
，
又 ， ， ，
．
， ， ， ，
，
， ， ，
，
故答案为： ；
（4）由此可得一般规律：剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是 度，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①， ，则 ________；
如图②， ，则 ________，请你说明理由；
（2）如图③， ，则 ________；
（3）利用上述结论解决问题：如图④， ， 和 的平分线相交于点F， ，
求 的度数．
【答案】（1） ， ，见解析；（2） ；（3）
【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义；
（1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点 作 ，证明 ，
再利用平行线的性质可得图②的答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图，过点 作 ，证明 ，再结合（1）的结论可得答案；
（3）过 作 ．证明 ，可得 ．求解
，再结合角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1） ，理由如下：
理由：∵ ，
∴ ．
如图，过点 作 ．
，
，
，
．
（2）如图，过点 作 ．
，
，
∴ ，
结合（1）的结论可得： ，
∴ ；
（3）如图，过 作 ．
，
，
．
，
．
15 / 38
学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分 ，
，
2．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1， ，求 的度数．
解：过点E作 ．
（已作），
（ ）．
又 （已知），
_______ _______（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 _______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中， ，则 _______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中 ，猜想： _______；
（4）如图4， ，在B，D两点的同一侧有 共n个折点，则
的度数为_______（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ；（4）
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同
旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键．
（1）根据平行公理的推论可得 ，再根据根据平行线的性质可得 、
，即可求得 ；
（2）过点C作 ，过点D作 ，根据平行公理的推论可得 ，再根据
根据平行线的性质可得 ， ， ，即可求得
；
（3）由（1）和（2）总结规律即可求解；
（4）根据所得规律可直接求解．
【详解】（1）解：过点E作 ．
（已作），
16 / 38
学科网（北京）股份有限公司（两直线平行，同旁内角互补）．
又 （已知），
（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 ；
（2）如图，过点C作 ，过点D作 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其 ；
由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其 ；
因为B，F两点的同一侧有3个折点，
所以 ；
（4）由（3）可知 ．
3．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1） ，P为平行线内一点，请猜测 、 、
的关系并说明理由．
（2）若内部有两个点 ， ，那么 ， 和 ， 又有怎样的数量关系（直接写出结果）
（3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
17 / 38
学科网（北京）股份有限公司（4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
；（4）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及规律的探索，解题的关键是掌握平行线的性质，正确作出辅
助线，注意：两直线平行，同旁内角互补．
（1）过点P作 ，利用平行线的性质得到 ， ，进而求解即可；
（2）过点 作 ，过点 作 ，根据平行线的性质得到 ，
， ，进而求解即可；
（3）利用（1）（2）中的结论，找出规律，求解即可；
（4）利用（1）（2）中的方法求出 和 之间有一个点和2个点时 和 ， 的关系，进而找
到规律求解即可．
【详解】如图所示，过点P作 ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ；
（2）如图所示，过点 作 ，过点 作 ，
18 / 38
学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ；
（3）由（1）（2）可得，
当 和 之间有一个点P时， ；
当 和 之间有两个点 ， 时， ；
∴当 和 之间有n个点时，
；
（4）当 和 之间有一个点P时，如图所示，
同（1）可得， ；
和 之间有两个点 ， 时，如图所示，
同（2）可得， ；
∴若内部有n个点时，
．
【考点三 牛角模型】
【模型解读】
19 / 38
学科网（北京）股份有限公司E
1 2
A
B
3
D
C
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ， ， ，则
的度数为 °．
【答案】40
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点C作 ，则 ，由 ， ，得到 ，从而
，进而根据角的和差即可解答．
【详解】解：过点C作 ，
20 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40
巩固训练
1.（23-24七年级下·全国·期末）直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；
（2）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，则 ，设
，则 ，得出
，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右 ，
∵ ，
21 / 38
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点P向右 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，
∵ ，
∴ ，
与（2）同理，得 ，
依题意，设 ，
则 ．
∴ ，
∴ ．
2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
22 / 38
学科网（北京）股份有限公司例如：如图1， ，点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 ， 之间．设
， ，求证： ．
证明：如图2，过点 作 ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【类比应用】
（1）如图3， ， ， ，求 的度数．
（2）如图4， ，点 在直线 上，点 在直线 的上方，连接 ， ．设 ，
，则 ， 与 之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5， ，点 在直线 上，点 在直线 的上方，连接 ， ． 的平分线与
的平分线所在的直线交于点 ，请直接写出 的度数．（不要求写过程）
【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3） ．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平
行线的性质是解题关键．
（1）过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公理推论可得
，根据平行线的性质可得 ，然后根据角的和差即可得；
（2）过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公理推论可得
，根据平行线的性质可得 ，然后根据角的和差即可得；
（3）设 ， ，先根据角平分线的定义可得 ，
，再根据（2）的结论可得 ，根据材料的结论可得 ，
23 / 38
学科网（北京）股份有限公司然后代入计算即可得．
【详解】解：（1）如图3，过点 作 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ．
理由：如图4，过点 作 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（3） ．
设 ， ．
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
由（2）可知， ．
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学科网（北京）股份有限公司由材料的结论可知， ，
∴ ．
【考点四 羊角模型】
【模型解读】
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ =∠FCD，∵∠ =∠FCD-∠FCB，∴∠ =∠ -∠ .
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ +∠FCD=180°，∵∠FCD=∠ +∠FCB，∴∠ +∠ +∠ -∠=180°.
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图 ， ，猜想 与 、 的关系，并说明理
由．
(1)填空：
解：猜想 ．理由：过点 作 ，如图 所示，所以
(①___________)．因为 ， ，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么
②___________)，所以 (③___________)，所以
④___________，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)依照上面的解题方法，观察图 ，已知 ，猜想图中的 与 、 的关系，并说明理由；
(3)观察图 和图 ，已知 ，猜想图中的 与 、 的关系，不需要说明理由．
【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；
④
(2) ，见解析
(3)图 中 ，图 中
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质补充完整即可；
（2）过点P作 ，根据平行线的性质求解即可；
（3）过点P作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：猜想 ．
理由：过点 作 ，如图 所示，
所以 (①两直线平行，同旁内角互补)．
因为 ， ，
所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)，
所以 (③两直线平行，同旁内角互补)，
所以 ④，即 ．
故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④
（2）解：猜想 ．
理由：过点P作 ，如图所示，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：图 中 ，图 中 ．
如图 ，过 作 ，
，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
∴ ；
如图 ，过 作 ，
，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
∴ ．
巩固训练
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作 ，则 ，由平行线的性
质可得 ， ，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
．
2．（22-23七年级下·广东揭阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知： ， 和 都不经过点P，直接写出 与 的关系 ；
(2)在图2中， ，若 ，则 的度数为 ；
(3)在图3中， ，若 ，则 的度数为 ；
(4)在图4中， ，探索 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) ，见解析
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）过 作 ，因为 ，所以 ，可得 ， ，所
以 ；
（2）过点 作 ，因为 ，所以 ，可得 ， ，
已知 ， ，可得 的度数，即得 的度数；
（3）过点 作 ，因为 ，所以 ，可得 ， ，已知
， ，因为 ，可得 的度数；
（4）过点 作 ，因为 ，所以 ，可得 ， ，
因为 ，可得 ．
本题考查了平行线的性质，平行公理，关键是掌握平行线的性质．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：过 作 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：过点 作 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（3）解：过点 作 ，
，
，
，
，
，
29 / 38
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ；
（4）解：过点 作 ，
，即 ，
，
，
，即 ，
，
．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知
(1)如图1，求证：
(2)如图2， 的平分线 的反向延长线交 的平分线 于 ，若 ， ，求
的度数
(3)如图3，若 平分 ， 平分 ， 的反向延长线和 的反向延长线交于点 ，且
，求 的度数
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）过E作 ，根据平行线的性质可求 ， ，进而可证明结论；
（2）先求出 ，根据（1）的结论可求解 ，根据角平分线的定义可得
，过点F作 ，结合平行线的性质利用 可求解；
（3）设 ， ，由（1）知 ，过M作 ，由
平行线的性质得出 ， ，求出 ，即可得
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学科网（北京）股份有限公司出答案．
【详解】（1）证明：如图，过 作 ，
，
，
， ，
，
即： ；
（2）解： ，
，
平分 ，
，
由（1）得： ，
平分 ，
，
过点 作 ，如图：
，
，
， ，
；
（3）解： ， 分别平分 ， ，
，
设 ，
由（1）知： ，
即 ，
过 作 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
则 ， ，
，
，
．
4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图 图 中， ，点 ，点 ，点 与 ，
在同一平面内．
(1)探究与表达请直接写出：
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系：
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， 的数量关系；
图 中 ， ， ， ， 的数量关系；
(2)推导与应用如图 ，将长方形纸片沿 折叠，已知 ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ； ； ；
； ； ；
(2) ．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理推论的应用
【分析】（ ）根据平行线的判定与性质即可求解；
（ ）利用（ ）中的结论即可求解；
本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1） 如图 ，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，过 作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如图 ，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，同理 ，
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学科网（北京）股份有限公司同 理： ；
（2）由上可知： ，
∵ ， ，
∴ ．
【考点五 蛇形模型（“5”字模型）】
【模型解读】
如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论： .
如图2，已知：AB∥DE，结论： .
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠ ＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ +∠FCD=180°，∵∠ =∠FCD+∠FCB，∴∠ +∠ =∠ +180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠ +∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ =∠FCD，∵∠ =∠FCD+∠FCB，∴∠ +∠ =∠ +180°
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒
的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题：
在图2中， ， ， ， ，求 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点 向左作 ，过点 向右作 ，由平行线的
判定方法得 ，由平行线的性质得 ， ，由角的和差得
，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 向左作 ，过点 向右作 ，
则 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
巩固训练
1．（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，请探索 ， ， 三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，若 和 的平分线交于点 ，请直接写出 与 的数量关系．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)① ；②
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】（1）过点 作 ，结合 ，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可．
（2）①过点 作 ，结合 ，得到 ，利用平行线的性质，结合（1）的结论
变形计算即可．
②过 作 ，而 ，则 ，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ， 三个角之间的数量关系是： ．
理由如下：
过点 作 ，
，
，
， ，
，
即： ．
（2）解：①过点 作 ，
，
，
，
，
由（1）得： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
即： ，
， ，
．
②解： 与 的数量关系是： ．
理由如下：
为 的平分线， 为 的平分线，
， ，
过 作 ，而 ，
，
则
设 ，
则 ，
故 ，
故 ．
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学科网（北京）股份有限公司
