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第 04 讲 平行线的性质
课程标准 学习目标
①平行线的性质 1. 掌握平行线的性质，并利用平行线的性质求解。
②平行线的判定和性质 2. 掌握平行线的判定和性质并应用。
知识点01 平行线的性质
(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；
②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；
(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，
则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；
②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；
③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).
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学科网（北京）股份有限公司【即学即练1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程：
如图，在 中， 于点D，点E在 上， 于点F，过点D作直线 交 于点
G，交 的延长线于点H， ，求 的度数．
解： ，（已知）
．（______）
．（______）
，（已知）
______．（同角的补角相等）
．（______）
．（______）
，（已知）
．（等量代换）
，（已知）
．（______）
，（平角定义）
．（等式性质）
，（已证）
______°．（______）
【答案】垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补； ；内错角相等、两直线平行；
两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与
性质成为解题的关键．
根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答．
【详解】解： ，（已知）
．（垂直于同一直线的两直线平行）
．（两直线平行、同旁内角互补）
，（已知）
．（同角的补角相等）
．（内错角相等、两直线平行）
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学科网（北京）股份有限公司．（两直线平行、内错角相等）
，（已知）
．（等量代换）
，（已知）
．（垂直的定义）
，（平角定义）
．（等式性质）
（已证），
．（两直线平行、同位角相等）．
故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补； ；内错角相等、两直线平
行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．
【即学即练2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若 平分 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义；
（1）根据 可得 ，从而证明 ，根据平行线的判定即可证明结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可．
【详解】（1）解： ．
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ．
题型01 利用平行线的性质求角度
例题：（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若 ， ， 和 互余，则
， ．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】由平行线的性质可知 ，根据 和 互余可求得 ，最后根据平行线的性质可求得
．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ 和 互余，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ； ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知 与 ，若 ， ，若 的
补角比 的余角的2倍大 ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据
， ，得出 ，再设 ，则 ，根据题意列式
得 求解即可．
【详解】如图， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
且 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
则 的补角为 ，
的余角为 ，
∴ ，
解得 ，
的度数为 ，
故答案为： ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ， 平分 ，若 ，则
．
【答案】 /25度
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解
题的关键．根据邻补角的定义可求 ，利用平行线的性质结合角平分线的定义，得出
，进而得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
题型02 利用平行线的性质求生活中的应用
例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向
空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ，
则 的度数为 ．
【答案】 /122度
【知识点】平行线的性质在生活中的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出 ，再由两直线平行同旁内角
互补即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵水中的两条光线平行， ，
∴ ，
∵水面和杯底互相平行，
∴ ，
∵ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时
，若此时 平行地面 ，则 度．
【答案】150
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作
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学科网（北京）股份有限公司，可得 ，进而得到 ，由 即可得出答案．
【详解】解：过点B作 ，如图，
∵ 平行地面 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：150．
2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图， 的一边 为平面镜， ，一束与水平
线 平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在 上的点E处（反射
光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则 的度数是 ， 的度数为
．
【答案】 /36度 72°/72度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由 ， 得
到 ， ，得到 ，又由 得到
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ， ．
题型03 根据平行线的判定与性质求角度
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知： ， ， ，求
的度数.
解： ，
________（________）
又 ，
________
________（________）
________ ，（________）
，
________.
【答案】 ，两直线平行，同位角相等； ； ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平行，
同旁内角互补；
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；
根据平行线性质推出 ，根据平行线判定推出 ，根据平行线判定推出
，求出即可．
【详解】解： ，
（两直线平行，同位角相等）
又 ，
，
（内错角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，两直线平行，同位角相等； ； ，内错角相等，两直线平行； ，两直线平行，
同旁内角互补；
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段 上，连接
交于点H，连接 并延长到点M， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解
【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得 ，从而得到 ，可求得 ，
即可判定 ；
（2）结合（1）可得 ， ，从而可求 的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
．
由（1）可得： ， ，
， ，
．
2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图， ， ， 的平分线 交 的延长
线于点 ， 的平分线 交 的延长线于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）由平行线的性质得出 ，再结合 得出 ，即可得证；
（2）由平行线的性质得出 ，结合角平分线的定义得出 ，推出 ，
即可得解．
【详解】（1）证明： ，
，
∴ ；
（2）解： ，
平分 ， 平分
，
，
，
．
题型04 根据平行线的判定与性质证明
例题：（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知：如图， 于点G， 于点H， ．
求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵ 于点G， 于点H （已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∵ （已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴ （ ）．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
先证明 ，得到 ，然后证明出 ，然后由平行线的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵ 于点G， 于点H （已知），
∴ （垂直的定义）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ （已知），
∴ （等量代换）．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，内错角相等）．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林·期末）完成下面的推理填空：
已知：如图， 、 分别在 和 上， ， 与 互余， 于 ．
求证： ．
证明： ，（已知）
．（垂直的定义）
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学科网（北京）股份有限公司，（已知）
_____ _____．（_____）
，（_____）
又 ，
_____ ．
又 与 互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（_____）
【答案】 ， ，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等， ，内错角相等，两直线平
行；
【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．
【详解】证明： ，（已知）
．（垂直的定义）
，（已知）
．（同位角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同位角相等）
又 ，
．
又 与 互余，（已知）
．（同角的余角相等）
．（内错角相等，两直线平行）
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图， ， 、 分别平分 、 ，且
．
求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质．掌握内错角相等，两直线平行；两直线
平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由角平分线的定义得 ，由 得 ，结合条件得
，从而得出结论；
（2）根据平行线的性质得 ，由 可得结论．
【详解】（1）证明：因为 分别平分 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）证明：因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
题型05 根据平行线的判定与性质探究角的关系
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ．点 是射线 上一动点（与点
不重合），CE，CF分别平分 和 交射线 于点E，F．
(1)求 的度数，若 ，请直接用含 的式子表示 ；
(2)随着点 的运动，设 ， ， 与 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此
数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当 时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ，
(2)不改变，恒为 ，理由见解析
(3)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等
是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出 ，再根据 分别平分 和 ，即可得出
的度数；同理：当 ，用含 的式子表示 即可；
（2）根据平行线的性质得出 ，再根据 平分 ，即可得到
进而得出 ，进而完成解答；
（3）根据 ，得出 ，进而得 ，根据
，进而求得 的度数．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
∴
∴ ；
若 ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不变．恒为 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
当 时，则有 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图， ，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若 ， ，则 _______；
(2)如图2，试说明， ；
(3)如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说明理
由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ，理由见解析．
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、根据
平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间
的关系．
（1）过点E作直线 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可得到
；
（2）过点E作 ，利用平行线的性质证明 ， ，即可证明
，即 ；
（3）由（1）可得 ，再证明 ，由（2）可知，
，即可证明 ．
【详解】（1）解：过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，过点E作 ，
，
，
， ，
，
即 ．
（3）解：① ，理由如下：
由（1）可得 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
由（2）可知， ，
．
2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，
平分 交直线 于点 ， ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)点 是射线 上的一个动点（不与点 ， 重合）， 平分 交直线 于点 ，过点 作
交直线 于点 ．设 ， ．
①如图2，当点 在点 的左侧，且 时，求 的值；
②当点 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)① ；②当点 在点 的左侧时， ；当点 在点 的右侧时，
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）由角平分线的定义结合题意得出 ，即可得出结论；
（2）①由角平分线的定义得出 ， ，由平行线的性质得出
，从而求出 ，再由平行线的性质即可得出答案；②分两
种情况：当点 在点 的左侧时；当点 在点 的右侧时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②如图，当点 在点 的左侧时，
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司如图，当点 在点 的右侧时，
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
综上所述，当点 在点 的左侧时， ；当点 在点 的右侧时， ．
题型06 求平行线间的距离问题
例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线 ，点 到直线 的距离是 ，到直线 的距离
是 ，那么直线 和直线 之间的距离为 ．
【答案】 或
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（ ）当 在
和 的同侧时，（ ）当 在 之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是
解题的关键．
【详解】解：当 在 和 的同侧时，距离为 ；
当 在 之间时，距离为 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图， ，点 ， 在直线 上，点 在直线 上，
， ， ， ，则图中 与 之间的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】求平行线间的距离
【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离
的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式
即可得到结论．
【详解】解：设 与 之间的距离为 ，
则 ，
， ， ，
，
设 与 之间的距离为 ，
故答案为： ．
2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图 ， ， 平分 ， 平分 ，
．
(1)问： 与 平行吗？试说明理由．
(2)过点 作 于点 ，如图 若 ， ， ，求 ， 所在的直线之间的距
离．
【答案】(1)平行，见解析
(2)8
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、求平行线间的距离
【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离：
（1） ，得到 ，角平分线推出 ，进而得到 ，即可
得证；
（2）先证明四边形 是平行四边形，设 ， 所在的直线之间的距离为 ，等积法求出 的值即
可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
设 ， 所在的直线之间的距离为 ，
，
即 ，
，
即 ， 所在的直线之间的距离为 ．
题型07 利用平行线间距离解决问题
例题：（23-24七年级下·上海松江·期末）如图， ，AC、BD交于点E， 的面积等于10，
的面积等于6，那么 的面积等于 ．
【答案】4
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得 ，再根据
计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：4．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， AD ， 的面积等于 ， ， ，则
的面积是 .
【答案】10
【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过 作 于点 ，过 作 于点
，根据平行线间的距离相等得出 ，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是
熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等．
【详解】如图，过 作 于点 ，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 的面积等于 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形 中， ， 与BD相交于点 ，下列说
法：①三角形 与三角形 周长相等；②三角形 与三角形 面积相等；③三角形 与三
角形 面积相等；④AD与 之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号）
【答案】②③④
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】利用平行线间距离解决问题
【分析】本题考查了平行线间的距离，根据 ，得出 间的距离相等，进而根据三角形的面
积公式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 间的距离相等，
①三角形 与三角形 周长不一定相等，故①不正确
②三角形 与三角形 面积相等，故②正确；
③∵
∴
即三角形 与三角形 面积相等，故③正确；
④AD与 之间的公垂线段相等，故④正确．
故答案为：②③④．
一、单选题
1．（2024·江苏南京·中考真题）如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同
旁内角互补．
根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．
【详解】解： ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
故选：D．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出
了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中 ， ，经使用发现，
当 时，台灯光线最佳．则此时 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质．过 作 ，得到 ，由 ，推出 ，由垂
直的定义得到 ，由平行线的性质得出 ，即可求出结果．
【详解】解：过 作 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
∵ ，
，
，
故选：C．
3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）两个直角三角板 和 如图所示摆放，点F恰好在 上，其
中 ， ， ， ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质知识．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由 ，可得
，即 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故选：C．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直
线 与表示水底的直线 平行，光线 从空气射入水中，改变方向后射到水底G处， 是 的延
长线，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据 ，
得出 ，从而得出 ，即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：A．
5．（23-24七年级下·广西柳州·期末）如图，已知 ，点P是射线 上一动点（与点A
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学科网（北京）股份有限公司不重合）， 分别平分 和 ，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①
；② ；③当 时， ；④当点P运动时，
的数量关系不变．其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的
关键．
直接利用平行线的性质判断①；先求出 的度数，然后利用角平分线的定义可得
，即可判断②；利用平行线的性质和 可证 ，
然后结合角平分线定义可得 ，即可判断③；利用平行线的性质
可得 ， ，结合 可得 ，即可判断④．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故③正确；
∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故④正确．
故选：D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图， ，直线l分别与 ， 相交，若 ，则
的度数为 ．
【答案】 /130度
【知识点】两直线平行同位角相等
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
根据两直线平行，同位角相等即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，某人沿路线A→B→C→D行走， 与 方向相同，
，则 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
故答案为：150．
8．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知 于点 ，CB的延长线与 交于点 ，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作 ，则 ，由
平行线的性质得到 ，再由垂线的定义得到 ，则
，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符
构成旋律，如图， 和 是五线谱上的两条线段，点E在 之间的一条平行线上，若
，则 的度数是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】90°/90度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到
， ，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
10．（24-25七年级上·吉林·期末）如图， ， 平分 ， 平分 ，点 、 、 在
一条直线上，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，则下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据
角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出 ，
，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，①正确；
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，③正确；
∵ ，
∴ ，④错误；
综上所述：正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）如图， ， ， ，求 的度数．
解：∵ ，（已知）
∴______ ______．（______）
∴ ．（______）
∵ ，（已知）
∴ ______．
∴ ，（______）．
∴______（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，
∴ ______．
【答案】 ，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ，内错角相等，两直
线平行； ，
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先由同旁内角互补，两直线平行证明 ，由两直线平行，
同位角相等得到 ，由已知 得到 ，根据内错角相等，两直线平行得到
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学科网（北京）股份有限公司，根据两直线平行，同旁内角互补得到 ，即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，（已知）
∴ ．（同旁内角互补，两直线平行）
∴ ．（两直线平行，同位角相等）
∵ ，（已知）
∴ ．
∴ ，（内错角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，
∴ ．
故答案为： ，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等； ，内错角相等，两
直线平行； ，
12．（23-24八年级上·四川达州·期末）将下面的推理过程及依据补充完整：
如图，已知： 平分 ， ，求证： 平分 （证明注明理由）
证明：∵ （已知），
∴ （ ），即 ，
∵ ，
∴ （ ）；
∵ （已知），
∴ （ ）；
∴ （ ），
∴ （ ）；
∵ 平分 （已知），
∴ （ ），
∴ （等量代换），
∴ 平分 （角平分线的定义）．
【答案】见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活运用相关平行线的性质成为解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
要证明 平分 ，即证 ，由平行线的性质 ，只需证明 ，据
此进行分析即可解答．
【详解】证明：∵ （已知），
∴ （两直线平行，同位角相等），即 ，
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）；
∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）；
∴ （等量代换），
∴ （等式性质）；
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义），
∴ （等量代换），
∴ 平分 （角平分线的定义）．
13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图， ， 平分 ， 平分 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．
（1）由平行线的性质得到 ，由角平分线的定义得到
，据此求解即可证明 ；
（2）设 ，则 ，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到 ，据此计算即可
求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
14．（2023·河北秦皇岛·一模）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为 ， ， ， ， ， ， ，然
后将 ， ， ， ， ， ， 顺次首尾连接（如图所示），设 恰好经过点 ，且 ， ， 在一
条直线上．已知 ， ， ．
（1） 的度数为 ；
（2）连接 ，若 ，则 的度数为 ；
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线．添加平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．
（1）过点C作 ，可得 ，从而求出 ，再根据
即可求解；
（2）先根据 ，求出 ，再相加即可．
【详解】解：⑴过点C作
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∵
∴
∴
（2）
∵ ，
∴
∵
∴
15．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知 ， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，且 ，求 的度数．
【答案】(1) ；理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，两直线平行的性质、判定，往往要相互转化，交替运用，注意
在实际解题中多加体会．
（1）根据对顶角相等及已知条件证得 ，即可得到结论；
（2）根据对顶角相等和平行线的判定推出 ，得到 ，根据 ，
求出 ，得到 ，再利用 ，得到 ．
【详解】（1）解： ；理由如下：
因为 与 是对顶角，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 与 是对顶角，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
16．（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解
【分析】（1）根据 可判定 ，得到 ，结合 ，得到
，证明 可证 ；
（2）根据平行线的性质，垂直的意义，计算解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，垂直的意义，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
17．（23-24七年级下·四川达州·期末）定义：若 、 是同旁内角，并且 ， 满足
，则称 是 的内联角．
(1)如图1，已知 是 的内联角．
①当 时， ________°；
②当直线 时，求 的度数．
(2)如图2，已知 是 的内联角，点O是线段 上一定点． 是 的内联角吗？请说明理
由．
【答案】(1)①80；②
(2)是，理由见解析
【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的性质，同旁内角等知识点，握平行线的性质及同旁内角是解决本题的关键．
（1）①已知 ， ；②因为 ， 、 是同旁内角，所以
，则 ，可得 的度数．
（2）因为 ， ， ，可得 ，即
是 的内联角．
【详解】（1）解：① 是 的内联角，
，
，
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故答案为：80．
② 是 的内联角，
，
，
，
，
，
．
（2）解：是，理由如下：
是 的内联角，
，
， ，
，
，
又 是同旁内角，
是 的内联角．
18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板
的直角顶点E落在 上， ，且 ，则 的大小为 度．
（2）【探究】如图②，将图①一个三角板 放在一组直线 与 之间（其中 ），
并使直角顶点A在直线 上，顶点C在直线 上，现测得 ，试说明
．
（3）【拓展】现将图①的三角板 按图③方式摆放（其中 ），使顶点C在直线
上，直角顶点A在直线 上．若 ，直接写出 与 之间的关系式．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题
的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据平行线的性质可得 ，所以可得 ，进一步可求得答案；
（2）由已知可求得 ，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论；
（3）根据平行线的性质可得 ，进一步可得 ，再根据
，即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
，
；
故答案为：75；
（2） ，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（3） ，理由如下：
，
，
，
，
，
，
．
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