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2025新教材数学高考第一轮复习
3.8 函数零点与方程的根
五年高考
考点 函数的零点
6
1.(2014北京文,6,5分,易)已知函数f(x)= -log x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 (
2
x
)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
2.(2019课标Ⅲ文,5,5分,易)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分,中)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (
)
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
4.(2018课标Ⅰ理,9,5分,中)已知函数f(x)={ex,x≤0, g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则
lnx,x>0,
a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
{2√x,0≤x≤1,
5.(2019天津文,8,5分,难)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-1x+a(a∈R)恰
1
,x>1. 4
x
有两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( )
A.[5 9] (5 9]
, B. ,
4 4 4 4
C.(5 9]∪{1} D.[5 9]∪{1}
, ,
4 4 4 4
6.(2018课标Ⅲ理,15,5分,易)函数f(x)=cos( π) 在[0,π]的零点个数为 .
3x+
6
7.(2021北京,15,5分,中)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
8.(2019江苏,14,5分,难)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的
{k(x+2),00.
√1−(x−1) 2 1
− ,1y,例如:2*3=22=4,3*2=3×2=6.若函
x2,x≤ y,数f(x)=x*(2-x)-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
4.(2023天津大港联考,9)设函数f(x)={ x(ex−e−x ),x≥0, 若函数g(x)=f(x)-ax恰有两个零点,
−x2−2x−4,x<0,
则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
5.(多选)(2024 届山东新泰一中第一次质检,12)已知函数 f(x)={|2x−4|,x>0, 函数
x2+4x+3,x≤0,
g(x)=f(x)+a的四个零点分别为x ,x ,x ,x ,且x 20
6.(2024届重庆七校开学考,16)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,
f(x)=x2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lg x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点的
个数是 .
{1+lnx,x≥1,
7.(2024届江苏南通百校联考,16)已知函数f(x)= 则f(x)的零点为 ,若
1 1
x+ ,x<1,
2 2
x ≠x ,且f(x )+f(x )=2,则x +x 的取值范围是 .
1 2 1 2 1 2
8.(2024届河北保定月考,20)已知函数f(x)={ x2+2x−1,x≤1,
−x2+6x−5,x>1.
(1)讨论函数g(x)=f(x)-m(-2≤m≤4)的零点个数;
(2)是否存在直线y=kx+b,使得该直线与曲线y=f(x)切于两点?若存在,求k,b的值;若不存在,
请说明理由.3.8 函数零点与方程的根
五年高考
考点 函数的零点
6
1.(2014北京文,6,5分,易)已知函数f(x)= -log x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 (
2
x
)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案 C
2.(2019课标Ⅲ文,5,5分,易)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
3.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分,中)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (
)
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
答案 C4.(2018课标Ⅰ理,9,5分,中)已知函数f(x)={ex,x≤0, g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则
lnx,x>0,
a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
{2√x,0≤x≤1,
5.(2019天津文,8,5分,难)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-1x+a(a∈R)恰
1
,x>1. 4
x
有两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( )
A.[5 9] (5 9]
, B. ,
4 4 4 4
C.(5 9]∪{1} D.[5 9]∪{1}
, ,
4 4 4 4
答案 D
6.(2018课标Ⅲ理,15,5分,易)函数f(x)=cos( π) 在[0,π]的零点个数为 .
3x+
6
答案 3
7.(2021北京,15,5分,中)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
8.(2019江苏,14,5分,难)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数, f(x)的周期为4,g(x)的
{k(x+2),00.
√1−(x−1) 2 1
− ,1y,例如:2*3=22=4,3*2=3×2=6.若函
x2,x≤ y,
数f(x)=x*(2-x)-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)
答案 A
4.(2023天津大港联考,9)设函数f(x)={ x(ex−e−x ),x≥0, 若函数g(x)=f(x)-ax恰有两个零点,
−x2−2x−4,x<0,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
答案 A
5.(多选)(2024 届山东新泰一中第一次质检,12)已知函数 f(x)={|2x−4|,x>0, 函数
x2+4x+3,x≤0,
g(x)=f(x)+a的四个零点分别为x ,x ,x ,x ,且x 20
答案 BCD
6.(2024届重庆七校开学考,16)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,
f(x)=x2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lg x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点的
个数是 .
答案 11
{1+lnx,x≥1,
7.(2024届江苏南通百校联考,16)已知函数f(x)= 则f(x)的零点为 ,若
1 1
x+ ,x<1,
2 2
x ≠x ,且f(x )+f(x )=2,则x +x 的取值范围是 .
1 2 1 2 1 2
答案 -1;[3-2ln 2,+∞)
8.(2024届河北保定月考,20)已知函数f(x)={ x2+2x−1,x≤1,
−x2+6x−5,x>1.
(1)讨论函数g(x)=f(x)-m(-2≤m≤4)的零点个数;
(2)是否存在直线y=kx+b,使得该直线与曲线y=f(x)切于两点?若存在,求k,b的值;若不存在,
请说明理由.
解析 (1)当x≤1时, f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2的最小值为-2;
当x>1时, f(x)=-x2+6x-5=-(x-3)2+4的最大值为4.
作出f(x)的大致图象,如图所示.
由g(x)=0,得f(x)=m.当m=-2或m=4时,g(x)的零点个数为2;
当m∈(-2,0]∪(2,4)时,g(x)的零点个数为3;
当m∈(0,2]时,g(x)的零点个数为4.
(2)假设存在直线y=kx+b,使得该直线与曲线y=f(x)切于A(x ,y ),B(x ,y )(x ≤11),则h'(x)=-2x+6(x>1),
则曲线y=h(x)在x=x 处的切线方程为y-(- +6x -5)=(-2x +6)(x-x ),即y=(-2x +6)x+ -5.
2 x2 2 2 2 2 x2
2 2
依题意可得{2x
1
+2=−2x
2
+6,
消去 x
2
,得 x2+(2-x
1
)2=4,因为 x
1
≤1,所以 x
1
=0,x
2
=2,所以
−x2−1=x2−5, 1
1 2
k=2x +2=2,b=- -1=-1,即存在直线y=kx+b满足题意,且k=2,b=-1.
1 x2
1
思路分析
(1)函数 g(x)=f(x)-m 的零点,即为函数 y=f(x)的图象与直线 y=m 的交点横坐标,作出函数
y=f(x)图象,数形结合,可得交点个数,进而确定函数g(x)的零点个数;
(2)解法一:设出切点坐标,分段联立,根据相切得出Δ =0,Δ =0,联立得方程组,从而求得结果;
1 2
解法二:分段求曲线y=f(x)的切线方程,由切线相同列方程组,从而求解即可.
