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专题突破卷 18 外接球和内切球
1.长方体及柱体的外接球
1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为 ，那么这个球体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案.
【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为 ，
所以外接球半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以这个球体的体积 .
故选：D
2．在直三棱柱 中， ， ， ，则此三棱柱外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，将直三棱柱扩充为长方体其体对角线为外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的
表面积．
【解答】因为 ， ， ，
所以将直三棱柱扩充为长、宽、高为1、1、2的长方体，
其体对角线为其外接球的直径，长度为 ，
所以其外接球的半径为 ，
则此三棱柱外接球的表面积为 ．
故选：B
3．一个正方体的体对角线长为 ，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 .
【答案】 /
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据长方体外接球的特征即可求解半径，由体积公式即可求解.
【详解】根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径 ，所以
,故球的体积为 ，
故答案为：
4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是 .
【答案】
【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，即球的直径，结合球的表面积公式计算即可求解．
【详解】解：正四棱柱高为4，体积为64，
所以底面积为16，则底面正方形边长为4，
所以正四棱柱的对角线长即球的直径为 ，
球的半径为 ，球的表面积 ，
故答案为： .
5．已知直三棱柱 中， ，则该三棱柱外接球的体积为 .
【答案】
【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求得体积.
【详解】棱柱底面 的外接圆直径 ，所以该三棱椎外接球的半径
，所以该三棱柱外接球的体积为
故答案为：
2.补形法解决墙角模型
6．在三棱锥 中， ， ， ，则该三棱锥的外接球表面积是
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表
面积即可．
【详解】因为 ，
所以可以将三棱锥 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有 ，整理得 ，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 ，
所以所求的球体表面积为： ．
故选：A．
7．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有
一“阳马”（如图所示），其中 底面 ， ， ， ，则该“阳马”的外接球的表
面积为 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】以 为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而
求出外接球的表面积.
【详解】如图，以 为棱作长方体，
则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为 ，
则 ，所以 ，
所以该“阳马”的外接球的表面积为 .
故答案为： .
8．如图，已知在三棱锥 中， ， ，且 ，求该三
棱锥外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】根据题意将三棱锥 转化为长方体，利用长方体的求外接球的半径，进而可得结果.
【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为 ，
由题意可将三棱锥 转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，
则长方体的体对角线为外接球的直径 ，即 ，
所以该三棱锥外接球的表面积为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．球面上有 四个点，若 两两垂直， ，则该球的表面积为 ．
【答案】
【分析】根据题设，可将四面体补全为正方体，根据它们的外接球为同一个求半径，进而求球体表面积.
【详解】由题设，将 所成四面体补全为正方体，如下图示，
所以其外接球也为正方体外接球，故球体半径为 ，
故球的表面积为 .
故答案为：
10．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的外接球的
表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径，从而可求出其半
径，进而可求出其表面积.
【详解】如图所示，三棱锥 可补形为一个长方体，则三棱锥 的外接球的半径为
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
3.线面垂直模型
11．则三棱锥 中， 平面 ，则三棱锥 的外接球半径为
（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据外接球半径 与底面外接圆半径 ，高度 的关系计算即可.
【详解】由题由正弦定理得， 外接圆直径为 ，得 ，
设球心到平面 得距离为 ，
所以 ，
所以三棱锥的外接球半径为 ，
故选：B.
12．已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面ABC，若该棱锥的体积为 ， ，
， ，则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由线面垂直的性质定理证明 ， ，取PB中点O，连接OA，OC，则有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 是该棱锥外接球的球心， 是球的直径，求出其长得球半径，从而得球
表面积．
【详解】 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
取PB中点O，连接OA，OC，则有 ，
， ，
，∴ ，∴ ，
所以外接球球半径为 ，∴表面积为 ．
故选：D．
13．已知在三棱锥 中， 平面SBC， ， ， ，则该三棱锥外接
球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将三棱锥 补成以AC为侧棱的直棱柱，求解外接球的半径，利用球的体积公
式求解即可.
【详解】如图，将三棱锥 补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为 ，半径为r，设
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】△ADE外接圆圆心为 ，连接 ， ， ，取 的中点O，则点O为三棱锥 外接球球
心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中， ，所以 .在
中， ，所以该三棱锥外接球体积为 ，
故选：B.
14．已知在三棱锥 中， 平面 ，且 ，则三棱锥
外接球的体积为 .
【答案】 /
【分析】将三棱锥 补成直三棱柱，根据直三棱柱的外接球运算求解.
【详解】因为 平面 ，
我们可以将三棱锥 补成直三棱柱如图所示，该直三棱柱的外接球就是三棱锥 的外接球，
而直三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，
设 外接圆半径为 ，直三棱锥 的外接球半径为 ，
由正弦定理可得： ，所以 ，
则 ，所以直三棱锥 外接球的体积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
15．已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接
球体积为 .
【答案】 /
【分析】根据正弦定理得外接圆的半径，进而根据勾股定理确定球半径.
【详解】设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ;三棱锥的外接球球心为 ,球半径为 ，
连接 ,过 作 于 ,则四边形 为矩形，
在 中，由 ， ，由正弦定理得 ，
设 ，则 ，即 ，解得 ， ,
所以外接球的体积为 ,
故答案为:
4.侧棱相等模型
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，棱锥的底面是边长为 的正三角形，侧棱长
为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出图形，设 为 的中心， 为外接球的球心， ， ，利
用正弦定理得到 ，利用勾股定理得到 ，解得 ，再求外接球表面积即可.
【详解】如图所示：
设 为 的中心， 为外接球的球心， ， ，
由正弦定理 ，解得 .
又因为 ，所以 .
在 中， ，解得 ，
所以外接球面积 .
故选：B
17．设高为 的正三棱锥 的侧棱与底面所成角为60°，且该三棱锥的每个顶点都在球 的球面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出图形，正三棱锥 的外接球的球心在它的高 上，在 表示出边长，利用勾股
定理求出外接球的半径，可得表面积.
【详解】如图，设 垂直底面 ，垂足为 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
设球 的半径为 ，则 ，解得 ，
故球 的表面积为 ．
故选：A.
【点睛】本题考查正三棱锥的外接球问题，关键是找到半径，并求出长属于基础题.
18．已知正三棱锥 内接于半径为2的球 ，且扇形 的面积为 ，则正三棱锥 的体
积为 ．
【答案】
【分析】根据扇形的面积计算公式和三棱锥的体积公式可计算得答案．
【详解】解：设底面 的中心为 ，平面 如图所示，由扇形 的面积为 ， ，所
以 ，所以 ，所以 ， ，所以正三棱锥 的高为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】底面 的面积为 ，因此体积为 ．
故答案为： ．
19．已知正三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，侧棱 ，且 ，则球 的体积为
.
【答案】
【解析】由条件判断三棱锥的侧棱两两垂直，将三棱锥补体为正方体，求外接球的体积.
【详解】 三棱锥 是正三棱锥，侧棱长为 ，底面边长为 ，
且 ， 三棱锥的侧棱两两垂直，
将三棱锥补体为正方体，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
所以外接球的半径 ,
球 的体积是 .
故答案为：
20．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】粽子的形状和味道也不同，某地流行的“四角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正三棱锥，现在
需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当蛋黄体积最大时，三棱锥的高与蛋黄半径
的比值是
【答案】4
【分析】求出正四面体的内切球半径，即为蛋黄半径，进而求出正四面体的高与蛋黄半径之比
【详解】如图所示，正四面体 ，内切球球心为O，画出截面PAD，其中OE=OF=r，设正四面体棱
长为a，则 ， ，
由勾股定理得： ，
因为 ，所以 ，即 ，解得： ，
所以蛋黄半径为 ，三棱锥的高与蛋黄半径的比值为 .
故答案为：4
21．（多选）正四棱锥 的底面边长为 ， 外接球的表面积为 ， 则正四棱锥
的高可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】作图，根据图中几何关系求解.
【详解】依题意外接球的球心可能在锥内，也可能在锥外，如果在锥内如下图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中 是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，
∵ 是正四棱锥， 平面ABCD， ，
设外接球的半径为R，则 ， ，
在 中， ， ；
如果在锥外，如下图：
；
故选：CD.
5.台体的外接球
22．如图，已知四棱台 的上下底面均为正方形，
，则下述正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．该四棱台的高为 B．
C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为
【答案】D
【解析】将四棱台 的侧棱延长，相交于点 ，形成四棱锥 ，根据四棱台的几何
性质，结合棱台的表面积公式、球表面积公式逐一判断即可.
【详解】将四棱台 的侧棱延长，相交于点 ，形成四棱锥
A B C D
1 1 1 1
设正方形 和 的中心分别为
如图所示：
A选项：由于 ，
则 分别为 中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即四棱台 的高为 ，
故A错误；
B选项：连接 （或其补角）、
即直线 与 所成的夹角，
是等边三角形，
，即 与 所成的夹角为 ，
故B错误；
C选项：
则该四棱台的表面积 ，
故C错误
A B C D
1 1 1 1
D选项：设该四棱台外接球的球心 到上底面 的距离为
则
所以
解得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则外接球半径
故该四棱台外接球的表面积
故D正确
故选：D
23．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为 ，则正四棱台外接球的半径为
.
【答案】
【分析】如图，在正四棱台 中，分别取上下底面的中心 、 ，则球心在线段 上，
求出 的长，设正四棱台外接球的半径为R，分析可得 ，求出R的值，即可得答案
【详解】如图，在正四棱台 中，分别取上下底面的中心 、 ，有 ，
，
过点 作 ，垂足为H，
在 中， ，
设正四棱台外接球的半径为R，有 ，
整理得到 ，解得： ，检验符合.
故答案为：
【点睛】此题考查几何体与其外接球的关系，涉及棱台的几何结构，解题的关键是确定球心的位置，属于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题
24．在正四棱台 中，上、下底面边长分别为 、 ，该正四棱台的外接球的球心在
棱台外，且外接球的表面积为 ，则该正四棱台的高为 ．
【答案】
【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，根据外接球的球心在棱台外，求出高.
【详解】
设正四棱台的外接球的半径为 ，则 ，解得 ，
连接 相交于点 ，连接 相交于点 ，连接 ，
则球心 在直线 上，连接 ，
因为正四棱台的外接球的球心在棱台外，则球心 在 的延长线上，
由条件可得， ，
因为上､下底面边长分别为 ，
所以 ，
由勾股定理得 ， ，
此时该正四棱台的高为 .
故答案为：
25．正四棱楼台的上、下底面的面积分别为 ， ，若该正四棱台的体积为 ，则其外接球的表
面积为 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件结合棱台的体积公式可求出棱台的高，如图，取正方形 的中心为 ，正
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方形 的中心为 ，则该正四棱台的外接球的球心在 上，设为点 ，连接 ，然后
利用勾股定理结合题意可求得外接球的半径，从而可求得表面积.
【详解】设正四棱台的高为 cm，则 ，解得 cm．
如图，取正方形 的中心为 ，正方形 的中心为 ，则 cm，
故该正四棱台的外接球的球心在 上，设为点 ，连接 ，
易知正四棱台的上、下底面边长分别为 ， ，
故 cm， cm，设 cm，则 cm，
由勾股定理得 ， ，
故 ，解得 ，
故外接球半径为 ，表面积为 ．
故答案为：
26．现有一个高为2的三棱锥 被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台
．已知 ， ， ，则该棱台的外接球体积为 ．
【答案】
【分析】由余弦定理得 ，由正弦定理得 外接圆的半径，进而得 外接圆的半径，根据球心
与棱台上下底面的位置关系讨论，列出关于外接球半径 的方程，求出 ，进而得出答案.
【详解】由题意， ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 外接圆的圆心分别为 ，半径分别为 ，则 ，
， ， ，
由余弦定理得， ，则 ，
由正弦定理得 ，∴ ，
设棱台的外接球球心为 ，半径为 ，
若球心 在棱台上下底面之间时，
在直角 中， ，∴ ，
在直角 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，此方程无解；
若球心 不在棱台上下底面之间时，
在直角 中， ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直角 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，
则该棱台的外接球体积为 ．
故答案为： ．
27．在正四棱台 中，底面 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线
与直线 的交点为P，则四棱锥 的外接球的体积为 .
【答案】
【分析】先确定四棱锥 为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线 上，由勾股定理可得半径，
结合球的体积公式计算即可求解.
【详解】设 与 相交于点 ，因为四棱台 为正四棱台，
直线 与直线 的交点为P，所以 四棱锥为正四棱锥，
得 平面 ，四棱锥 的外接球的球心O在直线 上，连接BO，
设该外接球的半径为R，由 ， ，
所以 ，则 ，
即 ，解得 ，
则四棱锥 外接球的体积为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6.面面垂直模型
28．在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 是正三角形，底面 是边长为 的正
方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用面面垂直的性质证得 面 ， 面 ，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半
径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点 ，取AD中点E，连接 、 ，
所以由题意知， ， ， 为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，
同理： 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设等边△SDA的外接圆的圆心为 ，过 作 的平行线交过 作 的平行线于点O，
则 面 ， 面 ，
所以O为四棱锥 外接球的球心，半径为 ，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得 ，解得： ，
又因为 ，
所以 ，
所以四棱锥 外接球表面积为 .
故选：C.
29．在菱形 中， ， ，将 绕对角线 所在直线旋转至 ，使得 ，
则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，取 的中点 ，连接的 ，利用勾股定理证明 ，则有平面 平面
，设点 为 的外接圆的圆心，则 在 上，设点 为三棱锥 的外接球的球心，外接
球的半径为 ，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ，则 都是等边三角形，
则 ，
因为平面 平面 ，
所以 即为二面角 的平面角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，即 ，
所以平面 平面 ，
如图，设点 为 的外接圆的圆心，则 在 上，且 ，
设点 为三棱锥 的外接球的球心，则 平面
外接球的半径为 ，设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
30．已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面
，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 点作 于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球
球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
设正方形 的边长为 ，在等边三角形 中，过 点作 于E，
由于平面 平面 ，∴ 平面 ．
由于 是等边三角形，则 ，
∴ ，解得 ．
设四棱锥外接球的半径为 ， 为正方形ABCD中心， 为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知 为矩形，
则 ， ，
，
∴外接球表面积 ．
故选：C．
31．如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直， ，N为AF的中点，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 平面ABEF，进一步得出 ， ，则MC为外接球直径，代入
球的表面积公式即可求解．
【详解】由 可知， ， ，可求 ， ， ，
因为平面 平面ABEF，平面 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面ABEF， 平面ABEF，所以 ，
由 ， ，得 ，
又 ，同理可得得 ，又 ，
所以 ，所以 .
所以MC为外接球直径，
在Rt MBC中 ，即 ，
△
故外接球表面积为 ．
故选：A．
32．已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面 平面BCD， ， 为等边三角形，
且 ，则球O的表面积为 .
【答案】 /
【分析】取 的中点为 ，连接 ，根据条件可得 平面BCD，球心在 上，然后在 中根
据勾股定理建立方程可求出球的半径.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
取 的中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面BCD，平面 平面BCD ， 平面 ，
所以 平面BCD，
因为 ，所以 的外心为 ，球心在 上，
设球的半径为 ，因为 ， ，
所以在 中， ，即 ，解得 ，
所以球的表面积为 ，
故答案为：
33．如图，已知矩形 中， ，现沿 折起，使得平面 平面 ，连接 ，得
到三棱锥 ，则其外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质分析可得外接球的球心即为 的中点 ，进而可求球的半径和体积.
【详解】设 ，由矩形的性质可知： ，
则三棱锥 的外接球的球心即为 ，半径 ，
所以三棱锥 的外接球的体积 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
7.折叠模型
34．两个边长为2的正三角形 与 ，沿公共边 折叠成 的二面角，若点 在同一
球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据外接球球心的性质确定球心 的位置为过正三角形 与 的中心的垂线上，再构造
直角三角形求解球 的半径即可
【详解】由题，设正三角形 与 的中心分别为 ，根据外接球的性质有 平面 ，
平面 ，又二面角 的大小为 ，故 ，又正三角形 与 的边长
均为2，故 ，故 .易得 ，故 ，
故 ，又 ，故球 的半径 ，故球 的表面积为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
35．在菱形 中， ， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】设菱形中心为 ，则 为等边三角形，利用球的对称性可知 ，利用等边三角形
的性质和勾股定理求出球的半径可得答案.
【详解】过球心 作 平面 ， 平面 ，则 为等边三角形 的中心，
为等边三角形 的中心， ，
∵四边形 是菱形， ，∴ 、 都是边长为2等边三角形，
连接 ， ，所以 ，
设 ， 交于点 ，则 ， ， ，
则 ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴球的半径 ，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
36．已知四边形 为菱形，且 ，现将 沿 折起至 （点P在平面BCD上的
投影在面BCD内），并使得 与平面 所成角的余弦值为 ，此时三棱锥 外接球的体积为
，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，在三棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，过点 在平面 内作 ，
垂足为点 ，连接 ，推导出点 为正 的中心，可得出三棱锥 是边长为 的正四面体，
可求得该正四面体外接球半径，结合球体体积公式可求得 的值，由此可求得正四面体 的表面积.
【详解】在菱形 中， ，设 ，则 和 均为边长为 的正三角形．
将 折起后， ，取 的中点 ，连接 、 ，如图．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ， ，
又因为 ， 平面 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，
平面 ，则 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， ，
所以，直线 与平面 所成角为 ，
在 中， ，所以 ， ．
在 中， ， ，所以 ，则 ，
因此点 为正 的中心，所以三棱锥 是棱长为 的正四面体．
将正四面体 补成正方体 ，则正方体 的棱长为 ，
所以，三棱锥 外接球半径为 ，
三棱锥 外接球的体积为 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此，正四面体 的表面积为 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
37．等边 的边长为2，点 为 的中点，将 沿 折起到 ，使得 ，若该
三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】7π
【分析】根据翻折前后的垂直关系得到 平面 ，且 ，进而求得 外接圆半径，
再将三棱锥补成一个三棱柱，则易得三棱锥的外接球的球心即三棱柱的上下底面外接圆圆心连线的中点，
根据几何关系求得该球的表面积即可.
【详解】
由题意知 中 ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 外接圆半径 ．
由题意可知 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将三棱锥 补成一个三棱柱，
则易得三棱锥的外接球的球心即三棱柱的上下底面外接圆圆心连线的中点，
设圆心到底面的距离为 ，则 ，
根据球的性质可得球的半径 满足 ，
所以该球的表面积为 ．
故答案为：7π
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的
位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中
心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于
球的直径.
38．在菱形 中， 与 交点为 ，将 沿 折起到 的位置，使
，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得 是等边三角形，过球心 作 平面 ，则 为等边 的中心，
且 ，可得 ，在 中， ，可得 ，在
中，由勾股定理即可求出棱锥 的外接球的半径为 ，再由球的表面积公式 求解
即可.
【详解】因为四边形 是菱形， ，所以 是等边三角形，
过球心 作 平面 ，则 为等边 的中心，且 ，
由 ，得
因为 ，所以 ，
在 中，由 ，可得 ．
在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，设三棱锥 的外接球的半径为 ，即 ，
三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：解决球与其他几何体的接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数
量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之
间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
39．如图，平面四边形 ，将 沿 折起到 的位
置，此时二面角 的大小为 ，连接 ，则三棱锥 外接球的表面积为 ;三棱锥
的体积为 .
【答案】
【分析】根据题意，可知 、 都是以 为斜边的直角三角形，故三棱锥 外接球的球
心为 中点，直径为 ，即可求出三棱锥 外接球的表面积；结合题意求出点 到平面 的
距离，即可得到三棱锥 的体积.
【详解】由 ，可知三棱锥 外接球的直径为 ，
三棱锥 外接球的半径 ，
故三棱锥 外接球的表面积 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意得点 到直线 的距离 ，
因二面角 的大小为 ，
所以点 到平面 的距离 ，
故三棱锥 的体积 .
故答案为： ； .
8.外接球的最值问题
40．球O内接三棱锥 ， 平面 ， .若 ，球O表面积为 .则三棱锥
体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用线面垂直的性质有 ， ，根据线面垂直的判定得 面 ，进而易得
都为直角三角形，找到外接球的球心为 的中点 ，根据已知求球体半径，结合
和基本不等式求体积最大值.
【详解】由 平面 ， 面 ，则 ， ，
又 ， ， 面 ，所以 面 ，
由 面 ，故 ，
所以 都为直角三角形，且 为它们的斜边，
所以 的中点 为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径 ，
由 ，则 ，即 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ，即 ，
故 ，仅当 取等号，
所以 .
故选：B
41．已知四棱锥 的外接球 的体积为 ， 平面 ，且底面 为矩形， ，
则四棱锥 体积的最大值为 .
【答案】32
【分析】将四棱锥 补成长方体，求得四棱锥外接球半径，利用长方体体对角线长求得四棱锥底
面积的最大值，即可求得答案.
【详解】由于 平面 ，故可将四棱锥 补成长方体，如图示：
可知四棱锥 外接球直径即为该长方体的体对角线；
设四棱锥 外接球半径为R，则 ，
设长方体的长、宽、高分别为 ，不妨设 ，其中 ，
则 ，即 ，
由 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以底面 面积的最大值为24，
故四棱锥 体积的最大值为 ，
故答案为：32
42．已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ，若球 的体积
为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】将三棱锥 放入长方体内，得到 为球直径，由基本不等式求出 ，从而求出
三棱锥的体积的最大值.
【详解】因为 ，易知三角形 为等腰直角三角形，
又 平面 ，所以 为三棱锥 的高，
则可将三棱锥 放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即 为球直径，
，
解得 ，
又 ，
解得 ，
，所以
所以三棱锥的体积 ，
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】43．在三棱锥 中， 为等边三角形， ，则三棱锥
外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易证 ，从而得到 ，进而得到 平面 ，设
，正 的外心为 ，三棱锥 外接球的球心 ，连接 ，先求得
底面ABC外接圆的半径r，再由三棱锥 外接球的半径 求解.
【详解】解：如图所示：
由题意可得， ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 ，
即 .又 平面 ，
所以 平面 .
设 ，则 ，
取正 的外心为 ，三棱锥 外接球的球心 ，连接 ，
则 平面 ，
底面外接圆的半径 ，
所以三棱锥 外接球的半径 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 有最小值为 ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
故选：B.
44．在三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ，平面 平面 ，M是棱
AC上一点，且 ，则过M的平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大值与最小值之和
为（ ）
A．24π B．25π C．26π D．27π
【答案】D
【分析】根据题设找到三棱锥 外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最
大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知 共线，且过M平面截球体的最小截面积
时 该平面，且 ，即可求最大、最小面积和.
【详解】由题设，若 为 中点， 分别是等边 和等边 的中心，
连接 ，则 分别在 上，且 ，
， ， ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以，面 面 ，
又面 面 ，过 作面 的垂线与过 作面 的垂线交于 ，
即 面 ， 面 ，则 为 外接球球心，
面 ，且 ， ，则 面 ，所以面 面 ，
综上，结合面 面 ，面 面 ，则面 、面 为同一平面，所以
面 ，
由面 面 ， ， 面 ，面 面 ，
所以 面 ， 面 ，即 ，且 知： 为正方形，
如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，若 外接球半径为 ，
所以 ，
由球体的性质，要使过M平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，
所以，最大截面圆面积为 ，
要使过M平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最小，则 该平面，
因为 ，而 都在面 上，故 ，
而 ，故 ，显然 共线，故 ，
此时截面圆的半径为 ，则 ，
所以，最小截面圆面积为 ，
综上，最大值与最小值之和为 .
故选:D.
【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与 的位置
关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和.
45．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 的正三角形，若三棱锥
体积的最大值为 ，则球 的表面积为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理可求得 的外接圆半径，根据棱锥体积最大值可得到方程组 ，
，由此可得外接球半径 ，代入球的表面积公式即可.
【详解】设球心 到底面 的距离为 ，球 的半径为 ， 的外接圆半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正弦定理得： ，解得： ，
，
若三棱锥 体积最大，则点 到底面 的距离 最大，
则 ，解得： ，
又 ， ，解得： ，
球 的表面积 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球表面积的求解问题，解题关键是能够确定棱锥的高的最大值
为外接球半径和球心到底面的距离之和，结合勾股定理可构造方程组求得外接球半径.
9.内切球
46．已知圆锥的底面半径为1，高为 ，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出圆锥和其内切球的轴截面，求得母线长，根据内切球性质以及勾股定理可列式求得内切球半
径，即可求得答案.
【详解】如图，作出圆锥和其内切球的轴截面，设O为内切球球心，半径为r，内切球与圆锥母线AB相切
于D，
设E为圆锥底面中心，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易得 ，圆锥的底面半径为1，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
故圆锥内切球的体积为 ，
故选：A
47．已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，使得球 与
球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即
可求出球的半径，得出答案.
【详解】
如图，正四面体 ，设点 是底面 的中心，点 是 的中点，连接 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则由已知可得， 平面 ，球心 在线段 上，球 切平面 的切点在线段 上，分别
设为 .
则易知 ， ，设球 的半径分别为 .
因为 ，根据重心定理可知， .
， ， ， ， .
由 可得， ，
即 ，解得， ，所以 .
由 可得， ，
即 ，解得 ，
所以，球 的体积为 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形.
48．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为 ，它的内
切球的体积为 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知组合体的体积是一个圆锥体积的二倍，内切球的球心为 ，半径为点 到 的距离，
从而可求出球的半径，进而可求出球的体积，则可得答案
【详解】由题意可得 ，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为 ，半径等于点 到 的距离，设半径为 ，则
，
所以 ，
所以 ，
故选：D
49．已知四面体ABCD满足 ， ， ，且该四面体ABCD的外接球的
球半径为 ，四面体的内切球的球半径为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即
可得结果.
【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径 ，
由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形， ， 为三
角形内角，
所以 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 ，即 ，
综上， .
故选：A
50．已知三棱柱 中， ， ，平面 垂直平面 ， ，若该三棱柱存
在体积为 的内切球，则三棱锥 体积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据内切球的统计求出半径，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，三棱柱 为
直三棱柱，由平面 垂直平面 可得 ，设 ，根据直角三角形 内切圆的
半径即外接球的可得 ，最后由 可得答案.
【详解】设内切球的半径为 ，则 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以三棱柱 为直三棱柱，即侧棱垂直于底面，且侧棱长为2，
做 交 于 点，连接 ，
因为平面 垂直平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
设 ，可得 ，解得 ，又 ，
解得 ，或 ，可得 ，
则三棱锥 体积为 .
故选：B.
51．如图， ， 分别是正方形 的边 ， 的中点，把 ， ， 折起构成一个
三棱锥 （ ， ， 重合于 点），则三棱锥 的外接球与内切球的面积之比是 .
【答案】24
【分析】求出三棱锥的外接球与内切求的半径后，计算表面积求解比值即可.
【详解】不妨设正方形的边长为 ，
由题意知三棱锥 中 两两垂直，
所以其外接球半径 ，
所以外接球的表面积为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】下面求内切球的半径 ，
，
所以 ，
所以 ，所以内切求的表面积为： .
故外接球与内切球的面积之比为： .
故答案为：24
1．在三棱锥 中， ， 平面ABC， ， ，则三棱锥 外接球
体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三棱锥 可以补成长方体，从而得到 为三棱锥 的外接球的直径，要想体积
最小，则 最小即可，设 ，表达出 ，从而得到 ，进而求出外接
球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥 可以补成分别以 为长、宽、高的长方体，其中 为长方体
的对角线，
则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 ．
故选：A
2．在正三棱台 中，侧棱长均为 ，侧棱 与底面所成的角60°， ，则该三棱
台的外接球的体积＝ .
【答案】
【分析】根据正三棱台及正三角形的性质，利用侧棱与底面所成角求出上下底边长，证明 ，可判
断 为外接球球心，即可求出外接球体积.
【详解】设 中心为 ， 中心为 ，连接 ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为正三棱台 ，所以 平面 ， ∥ ，
在四边形 中，过 作 于 ，则 ∥ ， ，
所以 平面 ，所以 为侧棱 与底面所成的角，即 ，
所以 ，
又正三角形 和 中， ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
即 ，
根据正三棱台对称性，可知 到各顶点距离相等，
则点 为正三棱台 外接球的球心.
所以 ， ，
故答案为：
3．在正三棱柱 中， ，点D在棱BC上运动，若 的最小值为 ，则三棱柱
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用展开图结合余弦定理求得 ，取 的中心分别为M，N，则MN的中点O为三
棱柱 的外接球的球心，利用正弦定理求出 的外接圆的半径，进而利用勾股定理求得外
接球的半径，进而可得答案.
【详解】如图，将 与矩形 展开至同一平面，易知 .
设 ，由题意知 的最小值为 ，即 .
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
取 的中心分别为M，N，连接MN，
则MN的中点O为三棱柱 的外接球的球心，
设 的外接圆的半径为r，则 ，即 ，
设三棱柱 的外接球的半径为R，
在 中， ,则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故三棱柱 的外接球的表面积为 .
故选：A.
4．正三棱锥 底面边长为 为 的中点，且 ，则正三棱锥 外接球的体积为
.
【答案】
【分析】首先求得正三棱锥 的侧棱长和高，然后求得正三棱锥 外接球的半径，从而求得
外接球的体积.
【详解】设 是正三棱锥 底面三角形 的中心，则 平面 ，
且 三点共线， ，
设 ，
依题意， ， ， 是 中点， ，
所以三角形 和三角形 是直角三角形，
所以 ，即 .
由于 平面 ，所以 ，
所以 ，
设正三棱锥 外接球球心为 ，则 三点共线，
设正三棱锥 外接球半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的
中心等等.求解几何体外接球有关问题，关键点是判断出球心的位置以及计算出球的半径.另外要注意看清
题目是求球的表面积还是求体积.
5．正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多
面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的
正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为 .
【答案】 /
【分析】结合题意将正八面体表示出来，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出内切球的表面积；
【详解】
由图可知，由正八面体的顶点是正方体的六个面的中心，结合几何体的对称性，边长为 的正方体可以看
成是八个边长为1的正方体组成，
所以正八面体的边长为 ，
则
设内切球的半径为 ，则
解得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故有： ；
故答案为： .
6．（多选）半正多面体亦称“阿基米德体多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正
多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其
棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．该半正多面体的表面积为
B．该半正多面体的体积为
C．该半正多面体外接球的的表面积为
D．若点 分别在线段 上，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合
棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，其棱长
为1，
A中，该半正多面体的表面积为 ，所以A错误.
B中，如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为 ，
取正四面体的下底面的中心为 ，连接 ，则 底面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在直角 中，因为 ， ，
所以 ，
即该半正多面体所在的正四面体的高为 ，体积为 ，
该半正多面体的体积为 ，所以B正确；
C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
记球心为 ，半径为 ， 的中心为 ，
连接 ，由等边 的边长为 ，可得 ，
又由底面正六边形 的边长为 ，可得 ，
在正四面体 中，可得 ，所以 ，
设 ，因为 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 ，
所以 ，故该半正多面体外接球的表面积为 ，
所以C正确.
D中，该半正多面体的展开图，如图所示，
则 ，所以D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：BCD
7．四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ，若 ，
，则三棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】 /
【分析】根据四棱锥 的数据得到三棱锥 的棱长数据和位置关系，然后利用直角三角形
斜边上的中线是斜边的一半的性质确定球心，从而得出表面积.
【详解】∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，
取 中点分别为 ,连接 ,
由于 , 平面 ,所以 平面 ,
因为底面 为菱形，所以 ， ，且 ，
所以 ,即 是三角形 外接圆的圆心，因此球心在直线 上，
又 ,所以 ,因此可得 为球心，
又 ，
∴ .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．已知正四棱台 中， ， ，点 到平面 的距离为 ，将
四棱台 放入球O内，则球O表面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先根据题干得到正四棱台的上下底面的半径,再列式求出正四棱台的外接球半径,即可解决.
【详解】设正四棱台上､下底面的外接圆的半径分别为 ， ，外接球的半径为 ，球心为O，
因为正四棱台的上､下底面的边长分别为 ， ，
所以 ， ，设球心O到上底面的距离为d，
则 或 ，
所以 ， .
当 时，球O是外正四棱台接球，此时 ，
所以外接球的表面积的最小值为 .
故答案为： .
9．分子式 是有机化合物甲烷（农村沼气的主要气体），它作为燃料广泛应用于民用和工业中. 近年来
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加. 深入研究甲烷，趋利避害，成为科
学家面临的新课题. 如图甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点 ，
碳原子位于正四面体的中心 ，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同 、
键角相等 . 请计算甲烷碳氢键的键角的余弦值为 .
【答案】
【分析】画出几何体，由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图：
设正四面体的棱长为 ，正三角形 中， ，
正四面体的高 ，
设 ,则 中，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
即 ,
解得 即
则 中，
即甲烷碳氢键的键角的余弦值为
故答案为：
10．在平面四边形 中， 是正三角形，现将 点沿 折起到 点，连接 ，
则三棱锥 体积的最大值为 ；若 ，当二面角 的余弦值为 时，
三棱锥 的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求得底面积的最值，结合等边三角形的性质求得高，结合三棱锥的性质，求得高
的最值，根据三棱锥的体积公式，可得空1的答案；
根据二面角的平面角定义以及等腰三角形的性质，作图明确平面角，根据外接球的性质，设出球心位置，
建立垂直关系，利用勾股定理，建立方程，可得空2的答案.
【详解】如图，记 ，则 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
在等边 中，由边长 ，则其高为 .
又当平面 平面 时，点 到平面 的距离最大为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故三棱锥 体积的最大值为 ；
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 即为二面角 的平面角，
在平面 内，作 于点 ，显然 与 互补，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 , , 平面 ，所以 平面 ，
在 中， ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 ，
在 中， ， 为 的中点，则 为 外接圆的圆心，
则 平面 ，在平面 内作 于点 ，则四边形 是矩形，
，
在 中， .
故答案为： ； .
11．如图，在二面角 的棱上有两个点，线段 与 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直
于棱 ，当 时，则四面体 外接球的半径为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【分析】因为 , ,所以 , ,根据空间向量得异面直线所成角,再补成直三
棱柱结合图形特征可得外接球半径.
【详解】设平面 与平面 的夹角为 ,因为 , ,
所以 , ,
由题意得 ,
所以
,
所以 ,即 ,
所以 ,即平面 与平面 的夹角为 .
过 作 的平行线 ,过 作 的平行线 与 所成的角为 ，过 作 的平行线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,
连接 ,四面体 的外接球与三棱柱 的外接球相同，
在 中,
外接圆半径为 ，
四面体 外接球的半径为 .
故答案为： .
12．如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1， ， ，
则球O的表面积等于 ．
【答案】
【分析】将三棱锥补为正方体，由三棱锥的外接球是正方体的外接球求解.
【详解】解：将三棱锥补为正方体如图所示：
则三棱锥的外接球是正方体的外接球，
外接球的直径为 ，
解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以外接球的表面积为 ，
故答案为；
13．等腰三角形 中， ，将它沿中线AD翻折，使点B与点C间的距离为 ，此
时四面体ABCD的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】三条侧棱 、 ，底面是正三角形， 为球心， 为 的中心，通过构造直
角三角形，通过勾股定理求外接球的半径，再求表面积.
【详解】等腰三角形 中， ， 、 ，
如图， 为球心， 为 的中心，
翻折后四面体 中， ， ， ， ，
、 ， 平面 ， ，则 平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ， ，
为 中点，连接 ，由 ，有 ，
所以四边形 为矩形，则 ，
所以外接球半径 ，
故外接球的表面积为 .
故答案为：
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