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专题突破卷 19 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题
题型一：椭圆的焦点三角形问题
1．已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 ，过其左焦点倾斜角为
30°的直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为16，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆的离心率得 ，表示点 的坐标，进而可得直线 的斜率及直线
的方程，求出得直线 的方程，联立两条直线的方程，可得交点 的坐标，根据中垂线
的性质可得 ， ，将 的周长转化为 ，由椭圆的
定义可得 的周长为 ，即可求解．
【详解】因为椭圆的离心率 ，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，则点 ，右焦点 ，所以 ，
由题意可得直线 的斜率 ，
所以 ，即 ，
由题意设直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
设直线 与直线 的交点为 ，
联立 ，可得 ， ，
则 ，可得 为 的中点，所以直线 为线段 的中垂线，
即 ， ，
的周长为 ，可得 ，
所以 ， ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以椭圆的方程为： .
故选：C．
2．已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点， 是椭圆的右
焦点，则 的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】C
【分析】根据题意结合椭圆定义可得 的周长为 ，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】椭圆的方程为 ，则 ， ， ，
连接 ， ，
则由椭圆的中心对称性可知 ，
可知 为平行四边形，则 ，
可得 的周长为 ，
当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为 ，
所以周长为 ．
故选：C.
3．已知焦点在 轴上的椭圆 的左右焦点分别为 ，经过 的直线 与 交于 两点，若 ， ， ，则 的方程为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知： ，根据数量积的几何意义可得 ， ，进而结
合椭圆的定义求 ，即可得方程.
【详解】因为 ，可知 ，
则 ， ，
可得 ， ，即 ， ，则 ，
由椭圆定义可得 ，即 ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：A.
4．已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直线与
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，首先证明 ，结合题意算得解得 ，
即可得三角形 为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，
， ，即 是 的中点，结合勾股
定理、离心率公式即可求解.
【详解】
我们首先来证明一个引理：若 ，则 ，
证明如下：设 ，则由余弦定理有
，即 ，
所以 ，
所以 ，从而引理得证；根据题意可得， ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
由 ， ，可得三角形 为等边三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是 的中点，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
5．已知椭圆 的焦点为 、 ， 为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则
的周长为（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
【答案】D
【分析】根据方程可得 ，结合椭圆的定义运算求解.
【详解】由题意可知： ，
则 ，
所以 的周长为 .
故选：D.
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6．已知 为椭圆 上一动点， 分别为其左右焦点，直线 与
的另一交点为 的周长为16.若 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的标准方程及其参数 的关系即可得出结果.
【详解】设椭圆的半焦距为 ，则由题设得 ，
解得 ，所以椭圆的离心率为 .
故选：C．
7．已知点 是椭圆 上的一点，左､右焦点分别为点
，点 在 的平分线上， 为坐标原点， 且 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ， 与 轴的交点为 ， ，结合平行线性质，三角
形面积公式可得 ，根据勾股定理可得 关系，化简求离心率.
【详解】设 ， ， 与 轴的交点为 ， ．
由 且 ，得 ①，又 ，
所以 ，故 ②，
联立①②消去 得： ，又 ，
所以 ，
因 ，所以有 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
解得离心率 ，
故选：C．
8．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上但不在
坐标轴上，且 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】 ，设 ，由 是等腰三角形，利用余弦定理求出 ，可
求 的值.
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】依题意得 ，设 ，
不妨设点 在第一象限，若 ，有 ，
故 或 ，
解得 或 ，又 9，所以 .
若 ，有 ，同理可得 .
此时 ， ，不符合点 在第一象限，
所以 .
故选：B.
9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 与 轴的
交点，若 是钝角三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】
如图，因为 是钝角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，则椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A，B，C错误.
故选：D.
10．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上总存在点 ，使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点 位于短轴端点时 取得最大值，将问题转化为 ，
记 ，利用二倍角公式求得 ，根据 构造齐次式即可求解.
【详解】由椭圆性质可知，当点 位于短轴端点时 取得最大值，
要使椭圆上总存在点 ，使得 ，
只需满足 ，且 ，
记 ，则有 ，且 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，所以 .
故选：D.
题型二：双曲线中的焦点三角形问题
11．如图，已知 分别是双曲线 的左、右焦点，现以 为圆
心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线 于 两点．若直线 是圆 的切线，
则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由切线性质可得 ，再结合双曲线定义即可得解.
【详解】因为直线 是圆 的切线，所以 ，
由双曲线定义可得 ，
所以双曲线的离心率 .故选：A
12．设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和 的右支分别交
于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
【详解】对于双曲线 ，则 ，
根据双曲线定义有 ，
又 ， ，故 ．
故选：B
13．设 ， 是双曲线C： 的左，右焦点，过 的直线与y轴和C的右支分别
交于点P，Q，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解.
【详解】根据双曲线定义有 ，
由于点P在线段 的垂直平分线上，∴ ，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ， ，故 ．
故选：C.
14．设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线 上一点，若
，且 的最小内角为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义结合余弦定理计算可得离心率.
【详解】由题意,设由双曲线的定义得 ，又 ，
求得 而 ，
所以在 中余弦定理得 ,
所以 ，即 .
所以 ，
故双曲线C的离心率为 .故选：
15．在平面直角坐标系xOy中， 为双曲线 的左、右焦点，
为 右支上异于顶点的一点，直线PM平分 ，且 ，
则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由题意得 ，设 与 交于点 ，可得 ，且 ，继而
可得 ， ，利用双曲线定义可得 ，由离心率公式计算即可.
【详解】由 ，得 ，
设 与 交于点 ，如图，
由直线PM平分 ，且 ，
可得 为等腰三角形，则 为 的中点，
则 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 .
故选：B.
x2 y2
16．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ，焦距为 若
a2 b2
双曲线 右支上存在点 ，使得 ，且 ，则双曲线 的离心率
（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到 为直角三角形，进而由勾
股定理可以求解.
【详解】由双曲线的定义可知得
因为 ， ，
设 ，则 ，
，
，
为直角三角形
，
，即 ，
，
故选：D17．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线
的右支交于 两点，若 的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有 ，即可求离心
率范围.
【详解】
根据双曲线定义知： 的周长为 ，而 ，
所以 ，而 的周长为 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
双曲线离心率的取值范围是 .
故选：D
18．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P是C的右支上的一点，
C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①直线 的斜率的取值范围是(−1,1)；
②点P到C的两条渐近线的距离之积为 ；
③ ；
④ ．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运
算进行分析求解即可.
【详解】由题意知 ， ，设 ，又点P在C上，所以
，
所以 ，所以直线 的斜率 ，
所以 ，令 ， ，
所以
所以 ，即直线 的斜率的取值范围是 ，故①正确；
C的渐近线方程为 ，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为
．故②错误；，故③正确；
当 时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为 ，
由 得 ，
所以 得， ，
解得 ，
所以C在点P处的切线方程为 ，即 ．
当 时，C在点P处的切线方程为 ，所以点P处的切线方程为 ．
由 ，解得 ，
由 解得
又 ， ，
所以点P是线段MN的中点，所以 ，故④正确．
故选：C．
19．已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线
的左支交于 两点，若 ，则双曲线 的焦距为（ ）
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线定义、已知条件求出 、 ，设 ，由余弦定理、
求出 可得答案.
【详解】如图，由于 ，
有 4，可得 ，
又由 ，可得 ，设 ，
在 中，由余弦定理有 .
在 中，由余弦定理有 .
又由 ，有 ，
可得 ，解得 ，所以双曲线 的焦距为 .
故选：B.
20．已知双曲线 的左右焦点记为 ， 且 ，直线l过 且
与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得 的内切圆半径恰为 ，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件探求出 的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得
，结合 求 ，即可得方程.
【详解】设双曲线 的半焦距为c，则 ，
由对称性不妨令与 平行的渐近线为 ，
直线 方程为： ，即 ，
设 的内切圆 与 三边相切的切点分别为 ，B，C，
如图所示，
则 ，
即 ，而 轴，圆 半径为 ，则 ，
点 到直线 的距离： ，整理得 ，
且 ，解得 ，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又因为 ，可得 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A.
1．已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点为 ， ，过 的直线 交
C的右支于点 （点A在点B上方）， ，过点 作直线 ，交C于点
E（点E在第二象限），若直线 与直线 的交点在直线 上，则C的离心率
为 ．
【答案】
【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程
求解离心率即可.
【详解】如图记直线 与直线 的交点为P，且连接 ，则 ，
由对称性有 过坐标原点O且 ．
由 有 ， ，又 ， ， ，
， ， ，即 ， ，
在 中， ，
在 中， ，解得 ，
故答案为： ．
2．设 是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，
则 面积为 .
【答案】3
【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出 的长，再利用三角形面积公式即可.
【详解】由题意得双曲线中 ， ，则其焦点坐标 ，
根据双曲线对称性，不妨假设点 在第一象限，
设 ，其中 ，
因为 ，则 ，
根据勾股定理知 ，
即 ，解得 （负舍），
则 ，则 面积为 .
故答案为：3.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3．已知双曲线C的方程为 ，其左右焦点分别为 ， ，已知点P坐标为 ，
双曲线C上的点 （ ， ）满足 ，设 的内切圆
半径为r，则 ， .
【答案】 2 18
【分析】根据双曲线的定义式和三角形内切圆的性质推得 ，结合
，求出 ，得 内切圆的圆心横坐标为 ，再由条件推出
为 的角平分线，从而得到 的内心即点 ，即得结论.
【详解】
设 的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则 ，
在双曲线右支上，由双曲线定义得 ，展开即得，
，
又 ，故 ，因 ，则得 ，
即 内切圆的圆心横坐标为 ，由 ，得 ，
可得 ，即 为 的角平分线，
由于点 坐标为 ， 内切圆的圆心横坐标为 ，
则 即为 内切圆的圆心， 为切点，则内切圆半径为 ；
.
故答案为：2；18.
4．设双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 为 上一点，
且 ，若 的面积为 ，则 .
【答案】2
【分析】根据双曲线定义以及余弦定理，由双曲线离心率和 的面积为 可解得
.
【详解】不妨取 点在第一象限，如下图所示：
根据双曲线定义可得 ，且 ；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由离心率为 可得 ，可得 ，即 ；
设 ，则 ；
由 的面积为 可得 ，
解得 ；
利用余弦定理可得 ，
即 ，整理可得 ，
即 ，所以 ，解得 .
故答案为：2
5．已知双曲线 ： 与椭圆 ： 有公共的焦点 ， ，
且 与 在第一象限的交点为M，若 的面积为1，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解 、 的长，再结合余弦定理求出
，进而得到 ，再根据面积公式求解即可.
【详解】设 ， 分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得
所以 ， ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
故 ，
因此 的面积为 ，
解得 ．
故答案为： .
6．双曲线 的两个焦点分别是 与 ，焦距为 是双曲线上的一点，且
，则 ．
【答案】9
【分析】根据焦距及双曲线 的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.
【详解】由题意得：焦距 ，在双曲线中有 ，
因为 ，解得 ，
由双曲线的定义： ，
解得 或 ，
由图可知 ，可知 被舍去，
所以 .
故答案为： .
7．双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线上一点．若 的内切圆圆心
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！为 ，则 外接圆的半径为 ．
【答案】
【分析】先证明双曲线焦点三角形内切圆圆心与对应顶点坐标的关系，再利用正切的和角
公式及同角三角函数基本关系计算 的正弦，利用正弦定理即可求出结果.
【详解】先补充一个结论：在双曲线 中，点 是右支上一点，则焦
点三角形 的内切圆圆心 在过右顶点且与 轴垂直的直线上，即 ．
证明：如图所示，不妨设 的内切圆圆心为 ，对应切点依次 ，右顶点A，
根据切线长定理知： ，
由双曲线定义可知 ，
又 ，则 重合，即内切圆圆心C的横坐标为 .
下面解决本题：如图，设内切圆圆心为 ，连接 ，记 ， ，
由点 的横坐标为3可得 ，又 4，可得 ，
则 ， ，则 ．
于是 ，则 ，则 ，
设 外接圆的半径为 ，则 ．
故答案为：
8．已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为 上一点，则 的
离心率为 ， 内切圆的半径为 .
【答案】
【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角
形中用等面积法求出内切圆半径即可.
【详解】第一空，将 代入 中， ，
即 ， ，则椭圆方程为 ，
离心率为： .
第二空，如图所示，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！易得 ，
则 ， ， ，
因为 ( 为三角形周长， 为内切圆半径).
又 ，代入得 ，解得 .
故答案为： ； .
9．定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 是“黄金
椭圆”，则 .若“黄金椭圆” 的两个焦点分别为 ，
， 为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并
延长交 于点 ，则 .
【答案】
【分析】先由黄金椭圆的离心率是 待定 ；再利用 将所求转化为三角
形面积之比，然后由分割法结合椭圆定义用 及 分别表示面积求解即可.
【详解】由椭圆 为“黄金椭圆”，则离心率 ，
可得 ，
所以 ；
如图所示，连接 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： ；
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10．已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上一点且 ，则
的面积为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义求得 三边长，根据三角形面积公式求解即可.
【详解】由椭圆 可知 ，
故 ，结合 ，
可得 ，而 ，
故 为等腰三角形，其面积为 .
故答案为： .
