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第 2 课时一次函数与正比例函数
基础篇
1．下列函数中， 是 的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【详解】
解：A、不是一次函数，故此选项错误；
B、是一次函数，故此选项正确；
C、不是一次函数，故此选项错误；
D、不是一次函数，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项
b可以为任意实数．
2．下列函数中，不是一次函数的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接根据一次函数的定义进行判断．
【详解】
解：A、 是一次函数，故不选该选项；B、 是正比例函数，属于一次函数，故不选该选项；
C、 是一次函数，故不选该选项；
D、 是反比例函数，故选该选项．
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数的定义．一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数．
3．下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【详解】
解：①y=x，是一次函数；② ，是一次函数；③ ，不是一次函数；④ ，是一次函数，
共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式
的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
4．下列函数：①y＝ ；②y＝－ ；③y＝3－ x；④y＝3x2－2．其中是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【详解】
解：由题可得，是一次函数的有：①y＝ ；③y＝3－ x，
∴一次函数有2个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）．
5．下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y = B．y = C．y = x+4 D．y = x2
【答案】B
【分析】
根据正比例函数定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、 是反比例函数，故本选项错误；
B、 是正比例函数，故本选项正确；
C、y=x+4是一次函数，故本选项错误；
D、y= x2是二次函数，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答此题
的关键．
6．若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征．将点 代入函数解析式求解即可．
【详解】
解：由题意可得：
解得：
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点与函数解析式的关系，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直
线的解析式．
7．已知函数 是正比例函数，则m值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的概念和一般形式可得出关于m的两个式子，即可得出m的值.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案选：A.
【点睛】
本题考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的一般形式 是本题解题关键，比较容易
遗忘的是 这个点做题时候要注意.
8．下列说法不正确的是（ ）
A．正比例函数是一次函数的特殊形式 B．一次函数不一定是正比例函数
C．y=kx+b是一次函数 D．y=2x的图像经过第一、三象限
【答案】C【解析】
【分析】
根据一次函数y=kx+b的定义条件(k、b为常数，k≠0)即可判定选项A、B、C；根据正比例函数的性质判定选
项D，由此即可解答.
【详解】
一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0．当k≠0，b=0时，则成为正比例函数y=kx；由此可得选
项A、B正确，选项C错误；根据正比例函数的性质可得y=2x的图像经过第一、三象限，选项D正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数、正比例函数的定义．解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义
条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
9．若函数y＝xm+1+1是一次函数，则常数m的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数解析式y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为
任意实数．可得m+1=1，解方程即可．
【详解】
由题意得：m+1=1，
解得：m=0，
故选A．
【点睛】
此题考查一次函数的定义，解题关键在于掌握其定义
10．下列式子中，表示 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正比例函数的定义求解即可.
【详解】解：A、 是二次函数，故此选项错误；
B、 比例函数，故此选项错误；
C、 是正比例函数，故此选项正确；
D、 不是函数，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数的关系式．
11．一次函数 的图象经过原点，则k的值为
A．2 B． C．2或 D．3
【答案】A
【分析】
把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的
值．
【详解】
把（0，0）代入y=（k+2）x+k2-4得k2-4=0，解得k=±2，
而k+2≠0，
所以k=2．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题时
把已知点的坐标代入解析式求解．注意一次项系数不为零．
12．下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】
根据正比例函数的定义：形如 （ 为常数，且 ）的函数叫正比例函数，判断即可．
【详解】
解： 、该函数表示 是 的正比例函数，符合题意；
、该函数表示 是 的一次函数，不合题意；
、该函数表示 是 的正比例函数，不合题意；
、该函数表示 是 的二次函数，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数 的定义条件
是： 为常数且 ，自变量次数为1．
13．下列说法中不成立的是（ ）
A．在y=3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y=﹣ 中y与x成正比例
C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y=x+3中y与x成正比例
【答案】D
【详解】
解：A.∵y=3x−1，∴y+1=3x，∴y+1与x成正比例，故本选项正确；
B.∵ ∴y与x成正比例，故本选项正确；
C.∵y=2(x+1)，∴y与x+1成正比例，故本选项正确；
D.∵y=x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．
故选：D．
14．若 是一次函数，则（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
先根据一次函数的定义列出关于 的不等式组，求出 的值即可．
【详解】
解：∵函数 是一次函数，
∴ ，且 ．
解得 ．
故选 ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
15．已知y=（k-3）x|k|-2+2是一次函数，那么k的值为（ ）
A． B．3 C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据一次函数的定义可得k-3≠0，|k|-2=1，解答即可．
【详解】
一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
所以|k|-2=1，
解得：k=±3，
因为k-3≠0，所以k≠3，
即k=-3．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
16．下列函数中y是x的正比例函数的是( )
A．y=x-6 B．y=2x2+1 C．y=-2x D．y=3x+2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据反比例函数的定义、正比例函数及一次函数的定义、二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A. y=x-6,是一次函数；
B. y=2x2+1，是二次函数；
C. y=-2x，是正比例函数；
D. y=3x+2，是一次函数.
故选C
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答
此题的关键．
17．若函数 是一次函数，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据一次函数的定义得到k−2＝1，然后解方程即可．
【详解】
根据题意得k−2＝1，
解得k＝3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
18．关于函数y=-2x，下列结论中正确的是（ ）
A．函数图象都经过点（-2，1） B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x取何值，总有y＞0
【答案】C
【分析】
根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、当x=-2时， 即图象经过点（-2，4），不经过点（-2，1），故本选项错误；B、由于 ＜0，函数图象经过第二、四象限，故本选项错误；
C、由于k=-2＜0，所以y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵x＞0时，y＜0， x＜0时，y＞0，
∴不论x为何值，总有y＜0错误，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，是基础题，熟记正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质是
解题的关键．
1
19．下列函数①y＝2x﹣1，②y＝πx，③y＝ ，④y＝x2中，一次函数的个数是( )
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】
解：①②是一次函数；
③是反比例函数；
④最高次数是2次，是二次函数．
则一次函数的个数是2．
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
20．一次函数 过点 ，则 ________．
【答案】1
【分析】
把 代入一次函数 中即可解题.
【详解】解：把 代入一次函数 中得，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．下列函数关系式：①y＝kx+1；②y＝ ；③y＝x2+1；④y＝22﹣x．其中是一次函数的有_____个．
【答案】1
【分析】
根据一次函数的定义解答即可．
【详解】
解：①当k=0时，y＝kx+1不是一次函数；
②y＝ 的右边不是整式，不是一次函数；
③y＝x2+1的自变量的次数是2，不是一次函数；
④y＝22﹣x是一次函数．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．
22．下列函数：①y＝ ；②y＝2x＋1；③y＝ ；④y＝x2＋1中，是一次函数的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】
①y= 是一次函数；②y=2x+1是一次函数；
③y= 是一次函数；
④y= x2＋1中x的次是2数不是一次函数；
故选B
【点睛】
考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
23．正比例函数y＝(n＋1)x图象经过点(2,4)，则n的值是( )
A．－3 B．－ C．3 D．1
【答案】D
【分析】
此类题目可直接将点的坐标代入解析式,利用方程解决问题.
【详解】
正比例函数y＝(n＋1)x图象经过点(2,4),
,
.
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题可直接将点的坐标代入解析式,利用方程解决问题.
24．一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A．y=-2x B．y=2x C． D．
【答案】C
【分析】
设该正比例函数的解析式为 ，再把点 代入求出 的值即可．【详解】
设该正比例函数的解析式为 ，
正比例函数的图象经过点 ，
，解得 ，
这个正比例函数的表达式是 ．
故选 ．
【点睛】
考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是
解答此题的关键．
提升篇
25．若y＝（k﹣1） +k+1是关于x的正比例函数，则k＝_____．
【答案】-1
【分析】
直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵y＝（k﹣1）x2﹣|k|+k+1，y是x的正比例函数，
∴2﹣|k|＝1，且k﹣1≠0，k+1＝0，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点晴】
本题主要考查了正比例函数的定义，注意一次项系数不为零，正确理解正比例函数的概念是解题关键．
26．已知函数y=（m－2）x+m2－9是关于x的正比例函数，且其图象经过第二、四象限，则m的值是____．
【答案】－3
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于m的方程，求解即可．
【详解】
由题可得： ，解得： ，
∴ ，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查正比例函数的定义，熟记正比例函数的基本定义并准确根据定义建立方程求解是解题关键．
27．已知 是直线 上的两个点，则 的大小关系是 __________ ．
（填“>”或“=”或“<”）
【答案】＞．
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可分别求出y ，y 的值，比较后即可得出结论.
1 2
【详解】
解：当x=-3时，y =-3×（-3）+1=10；
1
当x=2时，y =-3×2+1=-5．
2
∵10＞-5，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的
关键．
28．函数 是正比例函数，则常数m的值是____．
【答案】-1．
【分析】
根据一次函数定义需要满足x项次数为1，且一次项系数不为0，列式求解.
【详解】
解：∵ 是一次函数，∴ ，且1-m≠0
∴m=±1，且m≠1
∴m=-1
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为
常数，k≠0，自变量次数为1．
29．已知函数y＝(m－2)x3－|m|＋m＋7，当m为何值时，y是x的一次函数．
【答案】m=-2
【解析】
【分析】
根据一次函数的要求：x的指数只能为1，x的系数一定不能为0，求解即可.
【详解】
解：当函数y＝(m－2)x3－|m|＋m＋7是一次函数，则满足：
3－|m|＝1，且m－2≠0，
解得m=-2.
故答案是：m=-2.
【点睛】
本题主要考察一次函数的定义，紧抓定义特点是解题的关键.
30．函数y=（k-1）x2|k|-3是正比例函数，且y随x增大而减小，求（k+3）2019的值．
【答案】1．
【分析】
由正比例函数的定义可求得k的取值，再利用其增减性进行取舍，代入代数式求值即可．
【详解】
∵y=（k-1）x2|k|-3是正比例函数，
∴2|k|-3=1，解得k=2或k=-2，
∵y随x的增大而减小，∴k-1<0，即k<1，
∴k=-2，
∴（k+3）2019=（-2+3）2019=1．【点睛】
考查了正比例函数的图象和性质. 正比例函数
当 时，图象经过第一、三象限. y随着x的增大而增大.
当 时，图象经过第二、四象限. y随着x的增大而减小.
31．已知 y 2 与 x 1成正比例，且 x 3时 y 4 。
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当 y 1时，求 x 的值。
【答案】（1）y=3x-5；（2）2
【解析】
【分析】
（1）已知y+2与x-1成正比例，即可以设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入即可求得k的值，从而求得函数
解析式；
（2）在解析式中令y=1即可求得x的值．
【详解】
解：（1）设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入得：4+2=k（3-1）
解得：k=3，
则函数的解析式是：y+2=3（x-1）
即y=3x-5；
（2）当y=1时，3x-5=1．解得x=2．
【点睛】
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
32．若 与 成正比例，且当 时， .
（1）求 与 的函数关系式
（2）如果点 在该函数图象上，求 的值.
【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.
【分析】
（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k的值，进而可得出y与x的函数关系式；（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．
【详解】
解：（1）设 （ ）
当x＝2时，y＝5
5-1=(2+2)k
∴k=1
当K＝10时
y-1=x+2
y=x+3
（2）当点（m，5）在该函数图象上
∴5=m+3
∴m=2
【点睛】
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解答此题
的关键．
33．已知函数 .
（1）当 何值时， 是 的一次函数？
（2）当 取何值时， 是 的正比例函数？
【答案】（1） ；（2） 时， 是 的正比例函数．
【分析】
（1）根据一次函数的定义：一般地，形如y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，据此求
解即可；
（2）根据正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做
比例系数，据此求解即可．
【详解】
解：（1）当 时， 是 的一次函数，故 即可．（2）当 ，且 时， 是 的正比例函数，故 时， 是 的正比例函数．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，比较简单．一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0；
自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，
自变量的次数为1．
34．已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x=﹣1时，求y的值；
（3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围．
【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣ ＜x＜ ．
【解析】
【分析】
（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系
式；
（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；
（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了．
【详解】
（1）设y=k（x﹣1），
把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，
所以y=2（x﹣1），
即y=2x﹣2；
（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；
（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，
解得：x=﹣ ，
当y=5时，2x﹣2=5，解得：x= ，
∴x的取值范围是﹣ ＜x＜ ．
【点睛】
本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设
y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方
程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
35．已知函数y＝(2m+1)x+m﹣3；
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
(3)若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；
(4)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【答案】(1)m＝3；(2)m＝1；(3)m＝1；(4)m＜﹣ ．
【分析】
(1)根据函数图象经过原点可得m﹣3＝0，且2m+1≠0，再解即可；
(2)根据题意可得m﹣3＝﹣2，解方程即可；
(3)根据两函数图象平行，k值相等可得2m+1＝3；
(4)根据一次函数的性质可得2m+1＜0，再解不等式即可．
【详解】
解：(1)∵函数图象经过原点，
∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，
解得：m＝3；
(2)∵函数图象在y轴的截距为﹣2，
∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，
解得：m＝1；
(3)∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
解得：m＝1；(4)∵y随着x的增大而减小，
∴2m+1＜0，
解得：m＜﹣ ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握与y轴的交点就是y＝kx+b中，b的值，k＞0，y随x的增大
而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
36．阅读理解题
在平面直角坐标系 中,点 到直线 的距离公式为:
,
例如,求点 到直线 的距离.
解:由直线 知：
所以 到直线 的距离为：
根据以上材料,解决下列问题：
（1）求点 到直线 的距离.
（2）若点 到直线 的距离为 ,求实数 的值.
【答案】（1）1；（2）1或-3.
【分析】
（1）根据点到直线的距离公式求解即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由直线 知：A=3，B=-4，C=-5，
∴点 到直线 的距离为：d= ；
（2）由点到直线的距离公式得：
∴|1+C|=2
解得：C=1或-3.
点睛：本题考查点到直线的距离公式的运用，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为
Ax+By+C=0的形式，学会构建方程解决问题.
