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第 02 讲 垂线与点到直线的距离
课程标准 学习目标
1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线
①垂线的定义及性质
的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
②点到直线的距离
2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．
知识点01 垂线概念和性质
1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下
图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角
（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）
2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
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学科网（北京）股份有限公司（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
【即学即练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点 、 、 均在
格点上．
(1)过点 画线段 的平行线 ；
(2)过点 画线段 的垂线，垂足为 ；
(3)线段 的长度是点到直线 的距离；
(4)比较线段 、 的大小关系（用“<”连接）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【知识点】格点作图题、画垂线、垂线段最短、点到直线的距离
【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义：
（1）根据网格的特点直接作平行线即可；
（2）根据网格的特点直接作垂线即可；
（3）根据点到直线距离的定义求解；
（4）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：线段 的长度是点到直线 的距离，
故答案为： ；
（4）解：由垂线段最短可知： ．
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学科网（北京）股份有限公司知识点02 点到直线的距离
3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线 的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线
的距离，此时线段AB叫垂线段.
【即学即练1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形 中， ，
， ．请解答下列问题：
(1)点B到 的距离是 ，点A到 的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到 的垂线段 ；
(3) （填“ ”、“ ”、“ ”），理由是 ．
【答案】(1)8，6
(2)见解析
(3)
【知识点】点到直线的距离、画垂线、垂线段最短
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）过 点作 的垂线，垂足为 ；
（3）根据垂线段最短进行判断．
【详解】（1）解：点B到 的距离是 ，点A到 的距离是 ；
故答案为：8，6；
（2）如图， 为所作；
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学科网（北京）股份有限公司（3） ，理由是垂线段最短．
故答案为： ；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直
线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．
题型01 垂线的定义的理解
例题：（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 上的一点， 为 外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过 可画直线垂直于 B．过 可画直线 的垂线
C．连结 使 D．过 只能画1条直线与 垂直
【答案】C
【知识点】垂线的定义理解
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【详解】解：A、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过P可画直线垂直于 ，正确，不合题意；
B、 为直线 上的一点，Q为 外一点， 过Q可画直线 的垂线，正确，不合题意；
C、连接 不能保证 ，故错误，符合题意；
D、 为 外一点， 可以过Q可画直线与 垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知 ， ，所以 与 在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】垂线的定义理解
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面
内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为 ， ，
所以直线 与 重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 垂足为D，则下面说法中不正确
的是（ ）
A．点B到 的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直
C． 与 互相垂直 D．线段 的长度是点A到 的距离
【答案】A
【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解
答此题的关键．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴点B到 的垂线段是线段 ，故本选项错误，符合题意；
B、∵ ，
∴CD和AB互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ 与 互相垂直，故本选项正确，不符合题意；
D、∵ ，
∴线段 的长度是点A到 的距离，故本选项正确，不符合题意．
故选A．
题型02 垂线段最短
例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在 中，过点C作 于点D，M是边 上的
一个动点，连接 ．若 ，则线段 的长的最小值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【知识点】垂线段最短
【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论．
【详解】解：∵ ，且 ，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时， 最短，
所以， 的最小值为 的长，
所以， 的最小值为6，
故答案为：6．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为 米，
米， 米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
【答案】
【知识点】垂线段最短
【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段
的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长
度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．
【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中
线段 的长度，即为 米．
故答案为：
2．（2024七年级上·全国·专题练习） 为直线 外一点， 为直线 上一点，点 到直线 的距离为 ，
则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
【答案】 垂线段最短
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答
即可．
【详解】解： A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，
当 时， ，
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司垂线段最短，
当 不与直线l垂直时， ，
∵
∴ ．
故答案为： ；垂线段最短．
∴
题型03 画垂线
例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点 作 所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】画垂线
【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．
【详解】解：选项A中三角板过点 ，但不垂直 ，故不符合题意；
选项B中三角板过点 且垂直 ，故符合题意；
选项C中三角板不过点 ，故不符合题意；
选项D中三角板过点 但不垂直 ，故不符合题意，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为 ， 、 、
都在格点上．
(1)利用网格作图：过点 画直线 的垂线 ，垂足为点 ；
(2)线段 的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小： ______ （填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 垂线段最短
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线
【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：
（1）取格点 ，作直线 ，交直线 于点 ；
（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；
（3）根据垂线段最短即可解答．
【详解】（1）
（2）线段 的长度是点 到直线 的距离．
故答案为：
（3） ，理由：垂线段最短．
故答案为： 垂线段最短
2．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图：
(1)过点C画 的垂线，垂足为E；
(2)线段 的长度是点C到直线_______的距离；
(3)连接 ，在线段 中，线段_______最短．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线
【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性．
（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与 垂直的格点；
（2）根据点到直线的距离概念回答；
（3）根据垂线段最短直接回答即可．
【详解】（1）解：如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：线段 的长度是点C到直线 的距离，
故答案为： ；
（3）解：连接 ，在线段 中，线段 最短，
理由：垂线段最短．
故答案为： ．
题型04 点到直线的距离
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形 中， ， ，垂足为 ．
若 ， ， ，则点A到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为
，点 到直线 的距离为 ．
【答案】 4 3
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积
法求出 ，再根据点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解： ，
，
，
点A到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为
，
故答案为：4，3， ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中， ，已知 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则点B到直线 的距离是 ．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线 的距离是线段 长解题．
【详解】解：点B到直线 的距离是 ，
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点
称为格点，点 、 、 、 均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)作线段 ，作射线 ；
(2)点 到直线 的距离为线段________的长度；
(3)在线段 上找一点 ，使它到 、 、 、 四个点的距离之和最小，作图的理由为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)两点之间线段最短
【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是
解题的关键．
（1）连接 画出线段 ，连接并延长 画出射线 即可；
（2）根据 可得点 到直线 的距离为线段 的长度；
（3）根据两点之间线段最短，可得 的最小值为 的长，得点 到 、 、 、 四个点的距离
之和最小值为 ．
【详解】（1）连接 ，连接并延长 ，即得．
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学科网（北京）股份有限公司（2）点 到直线 的距离为线段 的长度
故答案为：
（3）连接 ，交BD于点 ，
则 ，
当点O运动到 上时， ， 最小，
则 ，最小．
故答案为：两点之间线段最短．
题型05 利用垂线的定义求角的度数
例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线 与 相交于点O， 平分 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由垂线得到 ，结合角平分线得到 ，则
，化简得 ，由 ，得到方程
，继而可求解．
【详解】（1）解：∵直线 与 相交于点O，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵若 ，
∴
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 .
∴ ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，判断 与 的位置关系；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键．
（1）根据垂直定义，得到 即可求解；
（2）根据垂直定义结合已知，得到 ，再根据平角定义求解即可；
【详解】（1）解： ．
理由如下：因为 ，所以 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ；
（2）解：由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线 、 相交于点 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．
（1）根据对顶角相等可得 ，然后利用角的和差计算求解；
（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型06 利用垂线的定义求旋转问题
例题：（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图， 是直线 上的一点， ， 平分 ，
， ．
(1)如图，若 ，则 的度数为____________；
(2)探究在 绕点 旋转过程中，求 的度数；（用含有 的代数式表示）
(3)在 内部有一条射线 是 的角平分线，求 的度数．（用含有 的代数式表示）
【答案】(1)
(2) 的度数为 或
(3) 的度数为 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查了几何图中角度的计算、垂线的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）先利用邻补角求出 ，由角平分线的定义得出 ，由垂线的定义得
出 ，再由 ，进行计算即可；
（2）分两种情况：当 在 内部时；当 在 外部时，分别求解即可得出答案；
（3）分两种情况：当 在 内部时；当 在 外部时，分别求解即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
，
平分 ，
，
，
，
，
的度数为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，当 在 内部时，
，
，
，
，
平分 ，
，
；
如图，当 在 外部时，
，
，
，
，
平分 ，
，
；
综上所述， 的度数为 或 ；
（3）解：如图，当 在 内部时，由（2）可得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
是 的角平分线，
；
如图，当 在 外部时，由（2）可得 ， ，
，
是 的角平分线，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图， ，射线 从 开始绕点O逆时针旋转，速度
为每分钟旋转 ；同时，射线 从 开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转 ；设运动时间为
，解答下列问题：
(1)当t为何值时， 为平角？
(2)当t为何值时， 平分 ？
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 将 分成的两个角的度数之比为 ？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)存在， 或 ；
(4)存在， 或 ．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定
义理解
【分析】对于（1），根据 列出方程，求出解即可；
对于（2），根据 列出方程，求出解；
对于（3），分别表示出 和 ，再分情况列出方程，求出解；
对于（4），分别表示出 和 ，再分两种情况列出方程，并求出解．
【详解】（1）根据题意可知 ， .
当 为平角时， ，
即 ，
解得 ．
答： 时 为平角；
（2）根据题意可知 ， .
当OC平分 时， ，
即 ，
解得 ．
答： 时OC平分 ；
（3）根据题意可知 ， .
第一种： ， ，
第二种： ， ．
答：存在， 或 时，OB将 分成的两个角的度数之比为 ；
（4）根据题意可知 ， ， .
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ．
答：存在， 或 时， ．
【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键，注意分情况讨论，不能丢解．
一、单选题
1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三条直线相交于点 ，若 ， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相交线、垂线的定义理解
【分析】本题考查了相交线，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得出 ， ，进而得出 ，即可得到答案．
【详解】解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： B．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小峰同学家在点 处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路
边，他选择沿线段 去公路边，这一选择用到的数学知识是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即
可．
【详解】解：小峰同学的家在点 处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段
去公路边，是因为垂线段最短；
故选：B．
3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段 所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】画垂线
【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项．
【详解】解：A．图上为过A点画线段 所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
B．图上为过点B画线段 所在直线的垂线段，故该选项符合题意；
C．图上为过 上一点D画线段 所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
D．图上为过点B画线段 的垂线段，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是光的反射定律示意图， 分别是入射光线、反射
光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．
若 ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据题意可得 ，则
，再根据已知条件得到 ，则 ．
【详解】解：由光的反射定律可知法线与反射面垂直，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点
， 交射线 于点 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的余角只有 B．图中互余的角共有 对
C． 的补角只有 D．图中与 互补的角共有 个
【答案】B
【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得 ，然后再根据
余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是 的余角， 也是 的余角，故 错误，不合题意；
、∵ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴图中互余的角共有 对，故 正确，符合题意；
、∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 的补角有 和 ，故 错误，不合题意；
、∵ ，
∴图中与 互补的角共有 个，故 错误，不合题意；
故选： ．
二、填空题
6．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若 ， ， 为垂足，那么 ， ， 三点在同一直线
上，其理由是 ．
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线的定义理解、画垂线
【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答
案．
【详解】解：∵ ， ， 为垂足，
∴ ， ， 三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田 处，若 河岸 ，垂足为点 ，
则沿着线段 铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键．
根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案．
【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数
学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
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学科网（北京）股份有限公司8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线 上一点，射线 在 同侧，且 ，
若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /52度
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键．由 可知 ，再根据平角等于
列式计算即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图， ， 于D，有以下结论：① ：②
与 互相垂直；③点C到 的垂线段是线段 ；④点A到 的距离是线段 的长度；⑤线段
的长度是点C到 的距离：⑥线段 的长度是点D到 的距离，其中正确的有
（填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②
不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥．
【详解】解：①∵ ，
∴ ；故①说法正确；
② ，由垂线的性质知 与 不垂直；故②说法错误；
③点C到 的垂线段是线段 的长度；故③说法错误；
④点A到 的距离是线段 的长度；故④说法正确；
⑤线段 的长度是点C到 的距离；故⑤说法正确；
⑥线段 的长度是点C到 的距离；故⑥说法错误；
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学科网（北京）股份有限公司综上：正确的是： ；
故答案为：①④⑤．
10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线 ， 相交于点 ， 平分 ，射线 于
点 ，且 ，则 ．
【答案】 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，
分类讨论，是解本题的关键．
当点F和点C在 同侧时，根据垂直定义得 ，结合 ，得 ，根据角平
分线定义，得 ；当点F和点C在 异侧时， 可得 ，得 ，得
．
【详解】解：当点F和点C在 同侧时，
∵ 于点O，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
当点F和点C在 异侧时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥
，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【知识点】垂线段最短
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线 ，要使最短， 直线a， ，
连接 即可得出N，作出 即可．
【详解】解：根据垂线段最短，得出 是河的宽时， 最短，即 直线a（或直线b），
只要 最短就行，
即过B作河岸b的垂线 ，垂足为H，在直线 上取点 ，使 等于河宽．连接 交河的a边岸于
M，作 垂直于河岸交b边的岸于N点，所以， 即为所求的桥．
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线 相交于点D， ．
(1)若 ，求证： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题考查垂直的定义，几何中角度的计算．
（1）根据垂直的定义得到 ，结合 ，等量代换可得 ，即可证明；
（2）由 ，根据 ，可得 ，即可求出
，由（1）知 ，由 即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
，
∴ ．
13．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点 在 的边 上，点 ， ， 也
是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点 画 的垂线，交 于点 ，经过的一个格点记为 ；
(2)过点 画 的垂线，垂足记为 ；
(3)试判断线段 ， ， 的大小关系并说明判断的依据．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，依据见解析
【知识点】垂线段最短、画垂线
【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合．
（1）利用网格的特点作图即可；
（2）利用网格的特点作图即可；
（3）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图， 即为所求；
（3） ，
判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短．
14．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ， 平分
．
(1) 、 有什么位置关系，请说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义：
（1）由角平分线的定义得到 ，再由平角的定义可得
，据此可得结论；
（2）先证明 ，再由（1）得到 ，据此求出 ，再利用
平角的定义求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
26 / 33
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点 都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），
(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．
①过点 画直线 的平行线 ，并标出直线 所经过的格点 ；
②过点 画直线 的垂线 ，并标出直线 所经过的格点 及垂足 ；
(2)线段______的长就是点 到直线 的距离；
(3)比较大小： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2) ；
(3) ．
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线
【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知
识，需熟练掌握．
（1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答；
（2）根据点到直线的距离的定义即可得；
（3）根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】（1）解：①如图所示，直线 即为所求；
②如图所示，直线 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：线段 的长度是点 到直线 的距离，
故答案为： ；
（3）解： ，
故答案为： ．
16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线 上一点，过点O作射线 ，使
，点M在射线 上，射线 在直线 的下方，且 ．
(1)将图1中的 绕点O逆时针旋转至图2，使射线 在 的内部并恰好平分 ，求
的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线 得到射线 ，如图3所示，判断射线 是否平分 ，请说
明理由．
(3)将图1中的 绕点O按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，
边所在的直线恰好平分锐角 ，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)射线 平分 ，理由见解析
(3)6或15
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义：
（1）先由平角的定义得到 ，再由角平分线的定义得到 ，由垂线的定义得
到 ，据此根据角的和差关系可得答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由平角的定义得到 ，则可得 ，据此可得射线 平分
；
（3）当 旋转到图3中 和 时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：射线 平分 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴射线 平分 ；
（3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得 到第一次到达图3中 的位置时，此时直线 恰好平分
，
∴旋转角度为 ，
∴ ；
当继续旋转到 到图3中 的位置时，此时直线 恰好平分 ，
∴此时旋转的角度为 ，
∴ ；
综上所述，t的值为6或15．
17．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）已知，点O在直线 上， ， 平分 ．
【问题初探】
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，若 ，求 的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若 平分 ， 平分 ，试探究 的值是否为定值？如果是，
请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关
系．
（1）根据 ，求得 ，再由角平分线定义，求得
，利用余角定义求 即可；
（2）先求出 ，由角平分线定义，求得
，利用余角定义表示出 即可；
（3）根据角平分线的定义，得到 ． 由（2）得
，即 ，由 ，根据
即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解： ．
理由：∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（3）解： ．
理由：∵ 平分 ，
∴ ．
由（2）得 ，
∴ ．
∵ 平分 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
．
∵ ，
∴ ，即 ，
．
18．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】
如图，点 在直线 上， ．如果 绕点 按逆时针方向旋转 到 ，那么点 的位置可
以用 表示．
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学科网（北京）股份有限公司【操作发现】
（1）如图，将 绕点 按逆时针方向旋转 后停止，旋转后的对应线段为 ，在旋转过程中当
时，点 的位置可以用______表示；
【实践探究】
规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”．
将 绕点 按逆时针方向以每秒 的速度旋转到 ，当 与 重合时，停止运动．
（2）是否存在某一时刻，使得 与 互为“偶分角”．若存在，求出点 的位置；若不存在，
请说明理由．
（3）当 旋转10秒后，射线 从 出发，绕点 以每秒 的速度按逆时针方向旋转，当 旋转
______秒后， 与 互为“偶分角”．
【答案】（1） ；（2） 或 或 ；（3）
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】（1）根据 ， ，求出 ，即可得出答案；
（2）分三种情况进行讨论：当 在 内部， 时，当 在 内部，
时，当 在 外部时，分别求出结果即可；
（3）设 旋转时间为t秒，则 ， ，分两种情况：当 时，当
时，分别列出方程，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时点C的位置可以用 ；
故答案为： ；
（2）当 在 内部， 时，
∵ ，
∴ ，
此时点P的位置可以表示为 ；
当 在 内部， 时，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
此时点P的位置可以表示为 ；
当 在 外部， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时点P的位置可以表示为 ；
综上分析可知，点P的位置可以表示为 或 或 ；
（3）设 旋转时间为t秒，则 ， ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： （不符合题意舍去）；
综上分析可知，当 旋转 秒后， 与 互为“偶分角”．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，垂线定义，旋转的
特点，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
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