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专题突破卷 13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、
高）
1.四边形问题
1．如图，在四边形 中，已知 的面积为 ，记 的面积为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1(1)求 的大小；
(2)若 ，设 ， ，问是否存在常数 ，使得 成立，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
2．如图所示，在平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求 的面积．
3．（ 2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2， ， ， .
(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
4．如图，四边形ABCD的内角 ， ， ， ，且 ．
(1)求角B；
(2)若点 是线段 上的一点， ，求 的值．
5．如图，四边形 是由 与正 拼接而成，设 ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3(1)当 时，设 ，求 ， 的值；
(2)当 时，求线段 的长.
6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道， 为赛道（不考虑宽度），
为赛道内的一条服务通道 ， ．
(1)求服务通道 的长度；
(2)若 ，求赛道 的长度．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42.四边形的最值问题
7．如图，在梯形 中， ， ， ．
(1)求CD；
(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足 ，求 的最大值．
8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ 区域）进行分区改造. 区
域为蔬菜种植区， 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理， 区域规划为
学生自主栽培区. 的周围将筑起护栏.已知 ， ， ， .
(1)若 ，求护栏的长度（ 的周长）；
(2)学生自主栽培区 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59．在平面四边形 中； ； ，
(1)若四边形 为圆内接四边形；求 ；
(2)求四边形 面积最大值．
10．在圆 的内接四边形 中， ， ， ，示意如图．
(1)若 是圆 的直径，求 的长；
(2)若圆 的直径为 ，求四边形 的面积．
11．（ 2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形 中， ， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.
12．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.
(1)若AB=3，BC=2，CD=5，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
3.外接圆问题
13．在圆O的内接四边形ABCD中， ， ， ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为 B．圆O的半径为
C． D．若 于点H，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 714．如图，已知圆O内接四边形ABCD中， ，则下列说法正确的是
（ ）.
A． B．四边形ABCD的面积为8
C．该外接圆的直径为 D．
15．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 的顶点在同
一平面上，已知 ．
(1)当 长度变化时， 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记 与 的面积分别为 和 ，请求出 的最大值．
16．已知平面四边形 中， ， ， ， ，且四边形 有外接圆 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8(1)求角 的大小；
(2)求 的值．
17．如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足为 ， 交 于 ，且
．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．
18．如图所示，四边形 的外接圆为圆 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9(1)求 ；
(2)若 ，求 的长.
4.内切圆问题
19．在 中，已知 ， ， ．
(1)求 面积；
(2)求 内切圆半径．
20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，
BC，AC长度分别为30m，50m，70m．
(1)求圆形水域面积；
(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧 上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，
并准备在 修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径
的最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1021．锐角 中，内角 所对的边分别为 ， 且 ， .
(1)求证： ；
(2)将 延长至 ，使得 ，记 的内切圆与边 相切于点 ， 是否为定值？若是，求
出该定值，若不是，请说明理由.
22．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ． 的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 115.垂线问题
23．在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)设BC边上的高 ，求S的最小值.
24．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ．
25．已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)设 为边 上的中点，点 在 边上，满足 ，且 ，四边形 的面积为 ，求
线段 的长．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1226． 中 在边 上,且 ．
(1)求 的长;
(2)若 于 ,求 ．
6.角平分线问题
27． 中， 的角平分线 交AC于D点，若 且 ，则 的最小值为_____．
28．在 中， ， ，D为BC上一点，AD为 的平分线，则
_____.
29．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1330．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若 ，角A的平分线 交 于点D，
， ，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． 的面积为 D．
31．（ 2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
32．在 中，点D是BC上一点，AD平分 ， ， ，求：
(1) 的值；
(2)若 ，求CD的长.
7.中线问题
33．在 中，内角 的对边分别为 .已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 为 的中点，求线段 的长.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1434．已知 中， ， ．
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①
；②周长为 ；③面积为 ．
35．在 中， ， ， 为 边上的中点，且 的长度为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
36．在① ，② ，③ 这三个条
件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求角B；
(2)若 ，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1537．已知在 中， ， ．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① 周长为 ；② ；③ 面积为 ；④
38．在 中， ，点D在边 上， .
(1)若 ，求 的值，
(2)若 ，且点D是边 的中点，求 的值.
8.其余等分点问题
39．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16(1)求证： ；
(2)若 ，点 为边 上一点， ， ，求边长 ．
40．已知三角形ABC， ，
(1)若 且AD为 的平分线，D为BC上点，求 的值.
(2)若 ， ，求AD的长
41．在① ；② ；③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段 延长线上的一点，且 ，求 的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1742．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若BC边上点E满足 ， ，求 ．
43．某农户有一个三角形地块 ，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域 （点 在 上）用来
养一些家禽，经专业测量得到 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的周长.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1844．记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
1．在 中， ，D为BC的中点，则 的最大值为_____．
2．在锐角 中，角 的对边分别是 ， ， ，若
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求中线 长的范围（点 是边 中点）.
3．已知D是 的边BC上一点，且 ， ， ，则 的最大值为
_____．
4．如图，平面四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面积的最大
值为_____．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 195．在 中，点D在BC 上，满足AD＝BC， ．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若 ，求 ．
6．如图， 中， ， 的平分线AD交BC于 ．
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求AD的取值范围．
7．某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，
某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE
为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知 ，
， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20(1)求道路BE的长度；
(2)求道路AB、AE长度之和的最大值.
8．在 中， 对应的边分别为 的外接圆 面积为 .
(1)求 的值；
(2)若点 在 上，且直线 平分角 ，求线段 的长度.
9．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2) 是 边上的点，若 ， ，求 的值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2110．在平面四边形 中， ， ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
11．如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 长.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2212．如图，已知在 中，M为BC上一点， ， 且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若AM为 的平分线，且 ，求 的面积．
13．从① ；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，
并解答
在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ，且_________
(1)求角A；
(2)若 外接圆的圆心为O， ，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2314．在 中， ， ， ．
(1)求 和 的值；
(2)求BC边上的高．
15．在① ，② ，③ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
_____．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
16．如图，在平面四边形ABCD中， ， ，且 的面积为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24(1)求A，C两点间的距离；
(2)设 的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 .作 的内切圆，
求这个内切圆面积的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25
