文档内容
第 20 课 成比例线段（含黄金分割）
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm
C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm
2．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉
的实际距离是（ ）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（ ）
A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
4．如果 ，那么下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．无法确定
6．下列说法正确的是（ ）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
7．如果a=2，b=4，c=8，那么（ ）
A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18
C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是
（ ）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC•BA
9．已知 ，且 ，则下列结论中：① ；② ；③
，正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，（ ），那么
D．如果 ，那么
二、填空题
11．如果 ，那么 ________．
12．已知线段 长是 是线段 上的一点，且满足 那么 长为
____．
13．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， 为 的黄金
分割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是______ ．
14．已知 ，则 _________．
15．如图，在 中，点 是线段 的黄金分割点（ ），若 的面积是 ，则 的面积是_______．
16．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比
例线段，则另外一条线段的长为__________________．
三、解答题
17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求 的值．
18．如果 ，且 ，求 的值．
19．若 且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值．
20．已知x：y：z＝3：5：7，求 的值．
21．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CD AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画
弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
22．若 ，（1）求 的值；（2）求 的值．
23．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形 ．
（1）若这个矩形的面积等于 ，求 的长度；（2）这个矩形的面积可能等于 吗？若能，求出 的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（ 与 之比等于黄金比 ），求该矩形的面积．
（结果保留根号）培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．一组不为零的数a，b，c，d，满足 ，则以下等式不一定成立的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
2．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（ ）
A． B． 或 C． D．
3．已知a、b、c均不为0,且 ,若 ，则k=（）
A．-1 B．0 C．2 D．3
4．如图，在 ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则 ADE的
面积为（ ）
△ △
A．10﹣4 B．3 ﹣5 C． D．20﹣8
5．有以下命题：
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ；
②如果点 是线段 的中点，那么 是 、 的比例中项；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项；
④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，则 ．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分
割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）A．（40 ﹣40）cm B．（80 ﹣40）cm
C．（120﹣40 ）cm D．（80 ﹣160）cm
7．若 ，设 ， ， ，则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，
=
则a-1+b-1+c-1+d-1的值为( ).
A．1 B．0 C．-1 D．±1
二、填空题
9．若 ，给出下列各式：① ；② ；③
；④ ，其中正确的是________.（填写所有正确的序号）
10．若 = = （x，y，z均不为0）， =1，则m的值为______ ．
11．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ，点C叫做线段AB的黄金分割点．
设AB=a，AC=x，则 ， ，即 叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身
长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为m，为增加视觉美感，若图中m为2米，则n
为____米．
12．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为 ，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
13． ， ， ， ， ， 满足关系： ，则代数式 的值是______．
14．已知 满足 ，试求 的最大值__________．
15．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P 满足关系式AP2＝BP•AB，则线段AP 的长度为_____；
1 1 1 1
线段AP 上取点P 满足关系式AP2＝PP•AP，线段AP 上的点P 满足关系式AP2＝PP•AP，依次以此类
1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 2
推，APn的长度为_____．
16．若 ，则 的值为_____________．
三、解答题
17．已知线段 ， ， 满足 ，且 ．
求 ， ， 的值；
若线段 是线段 ， 的比例中项，求 ．
18．已知 ，求:
(1) 的值；
(2) 的值．
19．（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
20．已知 =k，求k2-3k-4的值．21．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 ．
22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若 ， ，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若 请判断 和 的大小关系，并证明；
（3）令 若分式 的值为3，求t的值.
23．已知 ，且 .求证： .
24．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对
于该部分之比，其比值是 ．
(1)如图①，在 中，∠A＝36°， ，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识
证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在 中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高， ， ，若点D是AB
的黄金分割点，求BC的长，
25．（1）数学活动一
宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建
筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若 ，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足 ，即 ，此时，我们说点C是线段AB
的黄金分割点，且通过计算可得 ．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如
图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若
，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2011·内蒙古呼和浩特·中考真题）如果 成立，那么下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．2．（2019·四川雅安·中考真题）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
3．（2005·江苏南京·中考真题）在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的
南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（ ）
A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km
4．（2017·贵州六盘水·中考真题）矩形的两边长分别为、，下列数据能构成黄金矩形的是( )
A． B． C． D．
5．（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度
比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，那
么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）
A． B． C． D．
6．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P
是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中
处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20
米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是
（ ）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
二、填空题
7．（2020·湖南湘潭·中考真题）若 ，则 ________．
8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知 ，则 ________
9．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选
法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为上下两部分，其中E为边 的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为______
米．
10．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数 ， ， 满足 ，设 的最大值
为 ，最小值为 ，则 的值为 __．
