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专题突破卷 13 等差数列中 Sn 的最值问题
题型一：二次函数法求等差数列前n项和的最值
1．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则当 取得最小值时， 的值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】先判断{a }是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入 的表达式，配方化
n
简,即可求出 取得最小值时 的值.
【详解】由 可知，数列{a }是等差数列，公差 ，
n
由 ，解得 ．
则
故当 取得最小值时， 的值是6．故选：A．
2．已知等差数列{a }的前 项和为 ， ，且 ，则 取最大值时， （ ）．
n
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
【答案】C
【分析】先根据 利用等差数列前 项和公式，得出 和 的关系，判断出数列{a }
n
是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.
【详解】设等差数列{a }的公差为 ，
n
由等差数列前 项和公式，
得： ， ，
又 ，
，
即 ，
又 ，
，
由此可知，数列{a }是单调递减数列，
n
点 在开口向下的抛物线上，
又 ，
点 与点 关于直线 对称，
当 或 时， 最大.
故选：C
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3．已知等差数列 ， ，……，则该数列的前n项和 （ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可.
【详解】易得该等差数列首项 为负，公差 为正，
故该数列的前n项和 ，
故当 或 时 取得最小值， 无最大值.
故选：A
4．已知 ，记数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的
个数是（ ）
（1） （2） （3） （4） 的最小值为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题根据题干条件等式求出其前 项和的等式，然后作差即可求出 的表达式，
然后根据等差数列的前n项和及其性质逐项解决问题.
【详解】因为 ①，
所以 ②，且 ，
①②两式相减得： ， 满足上式，
所以 ，所以（1）正确；
因为 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以（2）错误；
因为 ，
，
所以 ，所以（3）正确；
因为 ，
下面考察函数 的图像（如图所示），
可知函数 有最低点且在 时取最小值，
由于 ， ，所以当 或者 取得最小值，
即 ，所以（4）正确.
综上得，（1）（3）（4）正确.
故选：C.
5．已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9
【答案】D
【分析】对于AB，利用等差数列求和公式求出 ，然后利用二次函数性质求解即可判断；
对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用
求得 ，利用数列单调性判断 的最值即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 或 时， 取得最大值为 ，正确；
对于C，若 ，则 ，又 ，
所以 ，所以 ，正确；
对于D，若 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以等差数列{a }为递减数列，所以 ，
n所以 取最大值时 的值为9，错误.
故选：D
6．设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则使得 取最小值时的
为（ ）
A．6 B．7 C．6或7 D．8
【答案】A
【分析】根据条件得 ，从而得出 ，即可求出结果.
【详解】因为数列 为等差数列，设数列 的公差为 ，
又 ， ，则 ①， ②，
由①②解得 ，所以 ，
当 时， 取最小值为 ，
故选：A.
7．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式
恒成立，则称数列 为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数 均有 ，则 为和谐数列；
②若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
下列说法正确的是（ ）．
A．① 是真命题，② 是假命题 B．① 是假命题，② 真命题
C．① 和 ② 都是真命题 D．① 和 ② 都是假命题
【答案】C
【分析】先得出 的等价条件 ，然后再进行判断.
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】对于①： ，
若 ，则 ，所以①正确；
对于②：设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，
即 为公差为 的等差数列，
若 为和谐数列，即 ，则 ，
所以关于 的二次函数 ，开口向上，
所以在 上一定存在最小值，所以②正确；
故选：C
8．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式
恒成立，则称数列 为和谐数列，判断下列2个命题的真假：（ ）
①若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
②若 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列.
A．①假命题，②真命题 B．①假命题，②假命题
C．①真命题，②假命题 D．①真命题，②真命题
【答案】D
【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得 ，结合 可得
，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说
明其存在性即可.【详解】对于①：设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，
即 为公差为 的等差数列，
若 为和谐数列，则 ，
即 ，则 ，
所以关于 的二次函数 ，开口向上，
所以在 上一定存在最小值，所以①正确;
对于②：取 ，
则 ，且 ,
为和谐数列等价于 ，证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和
谐数列,
即证 ，即证 ，
当 ,上式左边为负数,显然成立；
当 时，即证 ，即证 ，（*）
设 ， ，
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 在 上单调递增，可得 ，
即（*）式成立，所以②正确.
故选：D.
9．数列{an}中，如果an=49﹣2n，则Sn取最大值时，n等于（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【分析】由题意，根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意，可知数列 为等差数列，则 ，
则当 时， 取最大值.
故选：B.
10．已知等差数列 的前n项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，若 ，则
公差d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题意可判断该数列 根据当 时 取得最大值，即可得到不
等关系式，将 代入即可求解出公差d的取值范围.
【详解】由已知可得 ，即 ，解得 ，
故选：A．
题型二：求等差数列前n项和的最值
11．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，使 最小的 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5【答案】D
【分析】将 分别代入等差数列的通项公式和前 项和公式中，即可得到首项和公差，
根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出 在 或 时取最小值.
【详解】设公差为 ，由 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
令 ，解得 ，则数列 单调递增，且 ，
所以当 或 时 取得最小值.
故选：D
12．若数列 为等差数列， 为前n项和， ， ， ，则下列说法错误
的是（ ）
A． B． C． D． 和 均为 的
最大值
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意，得到 ，结合等差数列
的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】依题意，设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，
对于A，由 ，A正确；
对于B，由 ，B正确；
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！对于C，由 ， ，C错误；
对于D，由 ，可得数列 为递减数列，且 ，则 ，
所以 和 均为 的最大值，D正确.
故选：C
13．已知等差数列 的前 项和为 ，若 、则“ 有最大值”是“公差 ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列项的符号特点和前 项和最值的关系进行分析.
【详解】充分性：等差数列 的前 项和为 ，
前 项和可看做关于 的二次函数，则公差 时， 有最大值，充分性得证；
必要性：等差数列 的前 项和为 ，若 、公差 ，则等差数列每一项都是负数，
显然 取到最大值，必要性成立.
故选：C.
14．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取得最小值时，
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解.
【详解】等差数列 中， ， ，则 ，
因此数列 是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正，所以当 取得最小值时， .
故选：B
15．若 是等差数列 的前 项和， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】数列{a }是等差数列，且 ，则 且 ，
n
则 ，
故选：B.
16．设数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等比数列
B． 成等差数列，公差为
C．当且仅当 时， 取得最大值
D． 时， 的最大值为33
【答案】D
【分析】由题意可得数列 是以 为公差，32为首项的等差数列，求出 ，然后利用
可求出 ，再逐个分析判断即可.
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】因为 ，
所以数列 是以 为公差，32为首项的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
对于A，因为 ，
所以{a }是以 为公差的等差数列，所以A错误，
n
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 成等差数列，公差为 ，所以B错误，
对于C， ，对称轴为 ，
因为 ，所以当 或 时， 取得最大值，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，且 ，所以 的最大值为33，所以D正确，
故选：D
17．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设{a }的公差为 ，根据题意列出方程组，求得 ，得到 和
n，进而求得答案.
【详解】设{a }的公差为 ，因为 ， ，
n
可得 ，解得 ，所以 ，
可得 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D.
18．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题设写出等差数列通项公式得 ，利用单调性得 时 ，
时 ，即有 时 最小，进而求最小值.
【详解】由题设 ，令 ，可得 ，
又 ，故 时 ， 时 ，
所以 时 最小，即最小为 .
故选：C
19．若 是等差数列， 表示 的前n项和， ，则 中最小的项是
（ ）
A． B． C． D．
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】B
【分析】根据等差数列的前n项和公式可得 ，再结合等差数列的性质判断处 的符
号，即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以公差 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值，
即 中最小的项是 .
故选：B.
20．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 取得最大值时n的值为
（ ）
A．6 B．5或6 C．7 D．6或7
【答案】D
【分析】根据等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解.
【详解】 ， ，
当 或 时， 取得最大值.
故选：D.
题型三：根据等差数列前n项和的最值求参数
21．已知等差数列 满足 ， ，且数列 的前n项和 有最大值，那么 取最小正值时，n等于（ ）
A．4045 B．4046 C．4035 D．4034
【答案】A
【分析】由题可知数列{a }是递减的等差数列，再由前n项和公式和下角标和的性质即可
n
求解.
【详解】因为数列{a }的前n项和 有最大值，所以数列{a }是递减的等差数列，
n n
又 ， ，所以 ，
即数列的前2023项为正数，从第2024项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
，
，
所以当 取最小正值时， ．
故选：A.
22． 是等差数列 的前 项和，若 恒成立，则 不可能的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质可得： ， ， ，然后分情况考虑，结
合等差数列的通项公式可求.
【详解】由题意得， 时， 取得最大值，所以有 ， ， ，
若 ，则 ，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若 ， ，则 ，有 ，
.
故选：D
23．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则使 的最小整数
（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【答案】C
【分析】根据条件得到 ，再利用等差数列的性质及前 项和公式，即可求出结
果.
【详解】等差数列 的前 项和为 ，由 ，且 ，
得 ，所以 ，
则数列 的公差 ，所以数列 是递增的等差数列，
且当 时， ，当 时， ，
又 ，
所以使 成立的最小的 为24，
故选：C．
24．已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 取最小值时 的值为
（ ）
A．1012 B．1013 C．1014 D．1015
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定数列 的单调性，再求出 的 的最大值即得.【详解】数列 的通项公式 ，显然数列 是递增数列，
由 ，得 ，而 ，因此数列 的前1012项均为负数，从第 起为正，
所以 取最小值时 的值为1012.
故选：A
25．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则当 取最大值时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，当 时， ，当 时， ，
即可得出结论.
【详解】因为等差数列{a }的前 项和为 ， ，可得 ，
n
又因为 ，则数列{a }的公差为 ，
n
所以，数列{a }为单调递减数列，
n
则当 时， ，当 时， ，
故当 时， 取最大值.
故选：B.
26．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意 ，均有 成立，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列前n项和的函数性质得 ，再由等差数列通项公式得
，即可求范围.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ，又任意 均有 成立，
所以 ，
由 ，而 ，则 .
故选：A
27．已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ，则当 取得最大
值时， （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
由题意可得数列 为等差数列，求得数列 的通项公式为 ，进而得到当
时， ，当 时， ，即可得到答案.
【详解】
因为 ，则数列 为等差数列，设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以数列 的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以数列 中前 项的和 最大.
故选：A.
28．已知数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，若 对
任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入 得出 ，先说明 为等差数列.进而由已知可得出 ，代入求解即
可得出答案.
【详解】令 ，则 为常数，
所以数列 为等差数列，首项为 .
由已知 对任意的 恒成立，
可知有 ，即 ，解得 .
故选：A.
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则 的值的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得出 ，公差 ，然后返 和 (即 )分类计算.
【详解】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 ；
若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
30．已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使 成立的正整数
的最小值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4043 D．4044
【答案】D
【分析】
根据题意分析出 、 、 等，利用等差数列的前 项和公式分析出结果.
【详解】解：因为等差数列 的前 项和 有最小值，
所以等差数列 的公差 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，故 ，
所以 ，
，
当 时， ；当 时， ；
故使 成立的正整数 的最小值为 .
故选：D.
1．在等差数列 中， 是其前n项和，且 ， ，则正整数k为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.
【详解】等差数列的前n项和 是关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及 ， ，得 ，解得 ，
所以正整数k为2023．
故选：D
32．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ，则 的值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据 的表达式为关于 的二次函数，且 则易得 的对称轴方程，再利
用对称轴方程，结合 易得.
【详解】设等差数列{a }的公差为 ．
n
等差数列{a }的前 项和 可看作是关于 的二次函数，
n
又 故对称轴方程为 ．
又 ，解得 ．
故选：B.
3．已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，其前 项和为 ，若 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．当 时， 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．D．数列 中的最小项为
【答案】ACD
【分析】利用等差数列及 ，判断出 ， ，再利用等差数列和
等差数列前 项和的性质逐项判断即可.
【详解】若 ，则 ，
所以 ，即等差数列{a }为递减数列，
n
对于A，由 ，知等差数列{a }前7项为正数，其余项为负数，
n
故当 时， 最大，故A正确；
对于B， ，
故
所以使得 成立的最小自然数不是 ，故B错误；
对于C， ，
则 ，故C正确；
对于D，当 或 时， ；当 时， ；
由 ，所以 中最小项为 ，
故D正确.
故选：ACD
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递减数列
B．
C．当 时，
D．当且仅当 时， 取得最大值
【答案】AC
【分析】利用 求出 可判断ABC；对 配方可判断D.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
对于A， ，所以{a }是递减数列，故A正确；
n
对于B， ，故B错误；
对于C，当 ，得 ，所以当 时， ，故C正确；
对于D， ，因为 ，
所以当且仅当 ，或 时， 取得最大值 ，故D错误.
故选：AC.
5．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．B．若 ，则
C．当 时， 取得最小值
D．当 时，满足 的最大整数 的值为25
【答案】ABD
【分析】由 得到 ，进而求得 即可判断A； ，
， 成等差数列，即可判断B；因为 ，分类讨论当 ， ，即可
判断C；因为 ，所以 ， ，所以 ， ，即可判断
D.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，所以 ，故A正确．
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，而 ，则 ，故B正确．
因为 ，由 得 ，
即 ，所以 ，所以对称轴为： ，
所以当 时，开口向上，当 ， 取得最小值，
当 时，开口向下，当 ， 取得最大值，故C错误．
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，数列{a }单调递增，所以 ， ，
n
则 ， ，又因为 ，
所以当 时，满足 的最大整数 的值为25，D正确．
故选：ABD
6．在等差数列 中 ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设等差数列 的公差为 ，利用等差数列的性质及求和的性质，可对四个选项
逐一判断其正误，从而得到答案．
【详解】设等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，由 ，得 ，
对于A，数列{a }是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则 ，
n
即 ，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D，由 ，得 ， ，D正确.
故选：AD
7．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 取得最大值时， D．
【答案】ABD【分析】由求和公式结合角标性质得出 ，进而判断单调性以及最值.
【详解】 ， 故 ，
，故 ，
所以 ，且 ， ，即 是递增数列，故ABD正确.
由于 是递增数列， ，故 时， 取得最小值，故C错误；
故选：ABD
8．设数列{a }的前n项和为S ，且 ， ， 请写出一个满足条件的数
n n
列{a }的通项公式 .
n
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由条件 得到数列{a }是递增数列；由条件 得到 为S 的最小值，
n n
因此数列{a }的前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项均为负数，第7项为
n
0，从第8项开始为正数.由此我们可以写出满足条件的一个等差数列.
【详解】因为 ，所以数列{a }是递增数列，
n
又因为 ，即 最小，
只要前7项均为负数，从第8项开始为正数，或者前6项为负数，第7项为0，从第8项开
始为正数即可，
所以，满足条件的数列{a }的一个通项公式如 、
n
(答案不唯一)
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为： （答案不唯一）
9．已知 是等差数列，其前n项和为 ， ，再从条件①： ；条件②：
.这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)数列 的通项公式；
(2) 的最小值，并求当 取得最小值时n的值.
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【分析】（1）应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可求出通项公式；
（2）先求出 ，再根据二次函数的性质可得 取得最小值.
【详解】（1）若选择①：
设等差数列{a }的公差为d，由 可得 ；
n
又 ，得 ，即 ，
解得 ， ，
所以 ；
即数列{a }的通项公式为 .
n
若选择②：
设等差数列{a }的公差为d，由 可得 ；
n
又 ，即 ，得 ；
解得 ， ，
所以 ；
即数列{a }的通项公式为 .
n（2）若选择①：
由 可得， ，
根据二次函数的性质可得当 时， 为最小值，
即当 时， 取得最小值，且最小值为 .
若选择②：
由 可得， ，
根据二次函数的性质可得当 或 时， 为最小值，
即当 或 时， 取得最小值，且最小值为 .
10．已知等差数列 中，
(1)求数列的通项公式
(2)若 单调递增， ，求数列 前 项和 的最小值
【答案】(1)a =2n−10或 (2)
n
【分析】（1）根据等差数列的性质求出 ，进而可求出公差，再根据等差数列的通项
即可得解；
（2）根据等差数列的前 项和公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）设公差为 ，
因为 ，
则 为方差 的两根，
所以 或 ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
综上所述，a =2n−10或 ；
n
（2）若 单调递增，则a =2n−10，
n
故 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 .
