文档内容
1.1 探索勾股定理
课堂知识梳理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直
角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（ ）
A．36 B．64 C．100 D．100或28
【答案】C
【解析】
解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100，
故选：C．
2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．13 C．7 D．14
【答案】A
【解析】
解：由题意得，
直角三角形的斜边为：
故选：A．
3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使 是直角，
测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（ ）
A．20m B．40m C．30m D．50m【答案】B
【解析】根据勾股定理得，
AB=
=40(m)，
故选B．
4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，
折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
【答案】D
【解析】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知： =10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅
仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】根据题意，得：长方形花圃的四个角为
∴花圃内的一条“路”长∴仅仅少走了
故选：B．
6．在 中，斜边 ，则 等于（ ）
A．5 B．25 C．50 D．100
【答案】B
【解析】解：∵ 中，斜边 ，
∴ ．
故选：B．
7．如图， 中， ，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为 、 、 ，已知
， ， （ ）．
A．90 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】解：∵ 中， ，
∴ ,
∵ = ， = ， = ，
∴ + = ，
∵ ， ，
∴ 36+64=100．
故选：B．8．在 中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=____；
（2）如果a=6，b=8，则c=____；
（3）如果a=5，b=12，则c=____；
（4）如果a=15，b=20，则c=____
【答案】 5 10 13 25
【解析】
根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
9．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段
AB的长为_________________．
【答案】
【解析】根据题意，利用勾股定理有 ，
故答案为： ．
10．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______
【答案】30
【解析】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边= =5(cm)，
∴面积= ×5×12=30 (cm2)．
故答案为：30．
11．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．
【答案】170
【解析】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，
∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为 ＝170m．
故答案为：170．
12．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的
“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小
正方形EFGH的面积为__________
【答案】4
【解析】解：Rt△ABF中，AB=10，AF=8，
由勾股定理得：BF= =6，
∴FG=8-6=2，
∴小正方形EFGH的面积=22=4，
故答案为：4．
13．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．
（1）已知 ，求b；
（2）已知 ，求c；
（3）已知 ，求a．
【答案】（1）8；（2）13；（3）20
【解析】解：（1） 直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ， ， ，
；
（2） 直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ， ， ，
；
（3） 直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ， ， ，
．
14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．
【答案】AD的长为 a．
【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC= ，
∵AD是△ABC的高，
∴S ABC= ×AB×AC= ×BC×AD，
△
即 ×a×a= × a×AD，
解得AD= a．
故AD的长为 a．
15．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾
股定理吗？请写出证明过程．【答案】能，见解析
【解析】解：能，理由如下：
∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
∴ (a+b)(a+b)＝2× ab+ c2，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度 ，将他往前推送 （水平距离
）时，秋千的踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 的长度．
【答案】
【解析】
解：设秋千的绳索长为 ，则 ，
，
在 中，
，即 ，
解得 ，
答：绳索 的长度是 ．培优第二阶——拓展培优练
17．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方
形A、B、C、D的面积之和为__________．
【答案】49
【解析】
如图对所给图形进行标注：
因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积 ，正方形B的面积 ，正方形C的面积 ，正方形D的面积 ．
因为 ， ，
所以正方形A，B，C，D的面积和 ．
故答案为：49．
18．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系
是________；
(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆，若
， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)S+S＝S (2)阴影部分的面积为6.
1 2 3；
【解析】
(1)如图，设直角三角形的三边长分别为 ，则
故答案为：
(2)设直角三角形为S，直角三角形三边为直径的半圆的面积 ， ，
4
∵直角边a=3，斜边c=5
∴ ，则
∴阴影部分的面积S=S +S+S-S=S =6
1 2 4 3 4【点睛】
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
19．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜
边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，
，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的
面积分别为 ，若 ，求 ．
【答案】(1)见解析;(2)24;(3)
【解析】
(1)
法一： ，
另一方面， ，
即 ，则 ．
法二：
另一方面，
∴整理得：
(2)
，
设 ，依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
(3)
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
培优第三阶——中考沙场点兵
20．（2021·山东滨州·中考真题） 在 中，若 ， ， ，则点C到直线AB的距
离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【答案】D
【解析】
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵ ，
∴ ，
解得CD=2.4，
故选：D．
21．（2021·四川凉山·中考真题） 如图， 中， ，将 沿DE翻折，
使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，∴CE= = ，
故选：D．
22．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为
_________．
【答案】100．
【解析】
解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
23．（2021·湖南常德·中考真题） 如图．在 中， ， 平分 ， 于E，若
，则 的长为________．
【答案】
【解析】
解：由题意： 平分 ， 于 ,
， ，
又 为公共边，
，
，
在 中， ，由勾股定理得：，
故答案是： ．
24．（2021·湖南岳阳·中考真题） 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于
广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角
线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高 为 尺，根据
题意，可列方程为________．
【答案】
【解析】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；
∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，
∴BC= 尺，
∴可列方程为： ，
故答案为： ．
