文档内容
2.4 ～2.5 估算与用计算器开方
课堂知识梳理
比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大
小；④利用平方法比较无理数的大小等．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．估计 的取值范围是（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断 的取值范围，从而得出 -1的取值范围．
【详解】
解：∵22<( )2<32
∴2< <3，
∴1< -1<2，
即 -1在1到2之间，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．2．利用计算器求 的值，正确的按键顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“ ”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果．
【详解】
解：采用的科学计算器计算 ，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．
3．下列各数中，介于 ＋1和 之间的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算 +1和 的值即可得到问题的选项．
【详解】
解：∵1＜ ＜2，
∴2＜ +1＜3，
∵ ＜ ＜ ，∴3＜ ＜4，
∴介于 +1和 之间的数应该在2到4之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是能估算出每个数的范围．
4．设 的整数部分是a， 的整数部分是b， （ ）
A． B．7 C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先估算出 ，从而求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，与无理数整数部分有关的计算，正确求出a、b的值是解题的关键．
5．已知a为整数，且满足 ，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算无理数 和 的大小，进而确定a的值即可．【详解】
解：∵2＜ ＜3，3＜ ＜4，a为整数，且满足 ＜a＜ ，
∴a=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
6．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的面积是18，可得它的边长是 ，然后再估算 的大小，即可求解．
【详解】
解：∵正方形的面积是18，
∴它的边长是 ，
∵ ，
∴ ，
即它的边长的大小在4与5之间．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求
无理数的近似值是解题的关键．
7．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出 在那两个整数之间，从而得出8- 的整数部分和小数部分，再把x、y的值代入x y式子计
算即可．
【详解】
解：∵9<15<16，
∴3< <4，
∴4<8- <5，
∴x=4，y=8- -4=4- ，
∴x y=4(4- )=16-4 ．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力，用逼近法确定无理数的整数部分是解题的关键．
8．用计算器计算（精确到0.0001）： ≈__________； __________； __________；±
≈__________．
【答案】 1.7889 5.6569 -2.9103 ±1.2166
【解析】
【分析】
利用计算器计算可得．
【详解】
解： ≈1.7889， 5.6569， ﹣2.9103，± ≈±1.2166，
故答案为：1.7889，5.6569，﹣2.9103，±1.2166．
【点睛】
此题考查了利用计算器求一个数的算术平方根及平方根，正确掌握计算器求平方根按键的顺序是解题的关
键．
9．大于﹣ 小于 的整数有 _____个．
【答案】【解析】
【分析】
先估算两个无理数的大小，再找整数个数．
【详解】
解：∵﹣5＜ ＜﹣4，2＜ ＜3，
∴大于﹣ 小于 的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个．
∴答案为：7
【点睛】
本题考查无理数的估计，正确估计两个无理数的范围是求解本题的关键．
10．若 ，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数 ， ， ， 中的唯一有理数，则
__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意分别求出a，b，c的值，再代入求值即可．
【详解】
解：∵ ，且a、b为两个连续的整数，
∴a=3，b=4，
∵ ， ， ， 中有理数是 ，
∴c= ，
则 3×4× =4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查无理数比大小，无理数的定义，能够根据条件判断无理数是解决本题的关键．
11．已知 ， 是两个连续整数，且 ，则 ___________．
【答案】7【解析】
【分析】
根据 ， 为连续的整数， ，即可求得 ，可以求出 ， 的值，
再代入代数式求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
， 为连续的整数， ，
， ，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了估计无理数的大小，代数式求值，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
12．（2022·上海市七宝中学七年级期中）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是
的整数部分，则 的平方根为___________．
【答案】±4
【解析】
【分析】
利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，
进一步求得平方根即可．
【详解】
∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，∴
∴ 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】
本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式
求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
13．用计算器求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接根据计算器的开方运算顺序计算即可．
（２）同（1）方法．
（３）同（1）方法．
(1)
按键顺序：
2 7 4 4 =
显示结果为：14，所以 ．
(2)
按键顺序：1 2 1 6 7 =
显示结果为：23，所以 ．
(3)
按键顺序：
5 8 3 2 =
显示结果为： ，所以 ．
【点睛】
本题考查计算器的开方运算，能够准确使用计算器是解题的关键．
14．利用计算器，比较下列各组数的大小：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用计算器分别计算出数值进行比较即可；
（2）利用计算器分别计算出数值进行比较即可．
【详解】
解：（1）按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，
按键顺序为：“SHIFT”、“ ”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，
∴ ＜ ；
（2）按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，∴ =0.61803399，
∵ =0.625，
∴ ．
【点睛】
本题考查了利用计算器比较数的大小关系，正确计算各个数的近似值是解决本题的关键．
15．通过估算，比较下面各组数的大小：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）首先得出 小于2，进而得出答案；
（2）首先求出 ，进而比较即可．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以 ，因此 ；
（2）因为 ，
所以 ．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数大小，解题的关键是正确估算 的近似值是解题关键．
16．已知 ， ， ， ，……(1)填空： ________；
(2)已知 ， 用含 的代数式表示 ，则 ________；
(3)根据规律写出 与 的大小情况．
【答案】(1)0.01
(2)10000x
(3)当01时， 1时，分别求解即可．
(1)
解：∵ ， ， ， ，
∴ 0.01，
故答案为：0.01；
(2)
解：∵ ， ，
又∵ ，
∴y=10000x，
故答案为：10000x；
(3)
解：分三种情况：①当01时，
∵ ， ，
∴
