文档文本内容
2.4 ～2.5 估算与用计算器开方
课堂知识梳理
比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大
小；④利用平方法比较无理数的大小等．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．估计 的取值范围是（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断 的取值范围，从而得出 -1的取值范围．
【详解】
解：∵22<( )2<32
∴2< <3，
∴1< -1<2，
即 -1在1到2之间，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．2．利用计算器求 的值，正确的按键顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“ ”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果．
【详解】
解：采用的科学计算器计算 ，按键顺序正确的是D选项中的顺序．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．
3．下列各数中，介于 ＋1和 之间的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算 +1和 的值即可得到问题的选项．
【详解】
解：∵1＜ ＜2，
∴2＜ +1＜3，
∵ ＜ ＜ ，∴3＜ ＜4，
∴介于 +1和 之间的数应该在2到4之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是能估算出每个数的范围．
4．设 的整数部分是a， 的整数部分是b， （ ）
A． B．7 C．6 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先估算出 ，从而求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，与无理数整数部分有关的计算，正确求出a、b的值是解题的关键．
5．已知a为整数，且满足 ，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
估算无理数 和 的大小，进而确定a的值即可．【详解】
解：∵2＜ ＜3，3＜ ＜4，a为整数，且满足 ＜a＜ ，
∴a=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
6．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的面积是18，可得它的边长是 ，然后再估算 的大小，即可求解．
【详解】
解：∵正方形的面积是18，
∴它的边长是 ，
∵ ，
∴ ，
即它的边长的大小在4与5之间．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求
无理数的近似值是解题的关键．
7．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出 在那两个整数之间，从而得出8- 的整数部分和小数部分，再把x、y的值代入x y式子计
算即可．
【详解】
解：∵9<15<16，
∴3< <4，
∴4<8- <5，
∴x=4，y=8- -4=4- ，
∴x y=4(4- )=16-4 ．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力，用逼近法确定无理数的整数部分是解题的关键．
8．用计算器计算（精确到0.0001）： ≈__________； __________； __________；±
≈__________．
【答案】 1.7889 5.6569 -2.9103 ±1.2166
【解析】
【分析】
利用计算器计算可得．
【详解】
解： ≈1.7889， 5.6569， ﹣2.9103，± ≈±1.2166，
故答案为：1.7889，5.6569，﹣2.9103，±1.2166．
【点睛】
此题考查了利用计算器求一个数的算术平方根及平方根，正确掌握计算器求平方根按键的顺序是解题的关
键．
9．大于﹣ 小于 的整数有 _____个．
【答案】【解析】
【分析】
先估算两个无理数的大小，再找整数个数．
【详解】
解：∵﹣5＜ ＜﹣4，2＜ ＜3，
∴大于﹣ 小于 的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个．
∴答案为：7
【点睛】
本题考查无理数的估计，正确估计两个无理数的范围是求解本题的关键．
10．若 ，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数 ， ， ， 中的唯一有理数，则
__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意分别求出a，b，c的值，再代入求值即可．
【详解】
解：∵ ，且a、b为两个连续的整数，
∴a=3，b=4，
∵ ， ， ， 中有理数是 ，
∴c= ，
则 3×4× =4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查无理数比大小，无理数的定义，能够根据条件判断无理数是解决本题的关键．
11．已知 ， 是两个连续整数，且 ，则 ___________．
【答案】7【解析】
【分析】
根据 ， 为连续的整数， ，即可求得 ，可以求出 ， 的值，
再代入代数式求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
， 为连续的整数， ，
， ，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题主要考查了估计无理数的大小，代数式求值，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
12．（2022·上海市七宝中学七年级期中）已知 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是
的整数部分，则 的平方根为___________．
【答案】±4
【解析】
【分析】
利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，
进一步求得平方根即可．
【详解】
∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，∴
∴ 的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】
本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式
求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
13．用计算器求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接根据计算器的开方运算顺序计算即可．
（２）同（1）方法．
（３）同（1）方法．
(1)
按键顺序：
2 7 4 4 =
显示结果为：14，所以 ．
(2)
按键顺序：1 2 1 6 7 =
显示结果为：23，所以 ．
(3)
按键顺序：
5 8 3 2 =
显示结果为： ，所以 ．
【点睛】
本题考查计算器的开方运算，能够准确使用计算器是解题的关键．
14．利用计算器，比较下列各组数的大小：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用计算器分别计算出数值进行比较即可；
（2）利用计算器分别计算出数值进行比较即可．
【详解】
解：（1）按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，
按键顺序为：“SHIFT”、“ ”、“11”、“=”，显示结果为：2.22398009，
∴ ＜ ；
（2）按键顺序为：“ ”、“5”、“=”，显示结果为：2.23606798，∴ =0.61803399，
∵ =0.625，
∴ ．
【点睛】
本题考查了利用计算器比较数的大小关系，正确计算各个数的近似值是解决本题的关键．
15．通过估算，比较下面各组数的大小：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）首先得出 小于2，进而得出答案；
（2）首先求出 ，进而比较即可．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以 ，因此 ；
（2）因为 ，
所以 ．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数大小，解题的关键是正确估算 的近似值是解题关键．
16．已知 ， ， ， ，……(1)填空： ________；
(2)已知 ， 用含 的代数式表示 ，则 ________；
(3)根据规律写出 与 的大小情况．
【答案】(1)0.01
(2)10000x
(3)当0<a<1时， ＞a；当a=1或a=0时， =a；当a>1时， <a
【解析】
【分析】
（1）根据被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律即可求解；
（2）根据被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律即可得出x、y的关系，进而求解．
（3）分三种情况：①当0<a<1时，②当a=1或a=0时，③当a>1时，分别求解即可．
(1)
解：∵ ， ， ， ，
∴ 0.01，
故答案为：0.01；
(2)
解：∵ ， ，
又∵ ，
∴y=10000x，
故答案为：10000x；
(3)
解：分三种情况：①当0<a<1时，
∵ ，∴ ＞a；
②当a=1或a=0时，
∵
∴ =a；
③当a>1时，
∵ ， ，
∴ <a．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小、规律型-数字的变化，算术平方根，解决本题的关键是观察被开方数a的小
数点与算术平方根 的小数点的移动规律，并运用规律．
17．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定．现有
一长度为 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 高的墙头吗？
【答案】当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 高的墙头．
【解析】
【分析】
设梯子稳定摆放时，它的顶端离地面的高度为 ，先利用勾股定理求出 的值，再根据无理数的估算即可
得出结论．
【详解】
解：设梯子稳定摆放时，它的顶端离地面的高度为 ，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，
由勾股定理得： ，即 ，解得 或 （不符题意，舍去），
因为 ，
所以 ，
答：当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 高的墙头．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、无理数的估算、利用平方根解方程，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
18．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为
（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义，估算无理数 的大小即可．
【详解】
解：∵362＝1296，372＝1369，且1296＜1334＜1369，
∴36＜ ＜37，
∵n为整数且n＜ ＜n+1，
∴n=36，
故选：C．
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
19．阅读下面的文字，解答问题大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分
我们不可能全部地写出来， 而由于 ，所以 的整数部分为 ，将 减去其整数部分 ，所得的差就是其小数部分 ，根据以上内容，解答下面的问题：
的整数部分是 ；小数部分是 ．
的整数部分是 ，小数部分是 ．
若设 整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
【答案】（1）2， ；（2）2， ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据 的取值范围 ，即可求出答案；
（2）根据 的取值范围 ，即可求出答案；
（3）求出 的取值范围，推出 的范围，求出x，y的值，代入即可．
【详解】
解：（1）∵
∴ 的整数部分是2，小数部分是 ；
故答案为：2， ；
（2）∵
∴
∴ 的整数部分是2，小数部分是 ；
故答案为：2， ；
（3）∵
∴∴
∴ ．
【点睛】
本题考查的知识点是估算无理数的大小以及代数式的求值，掌握夹逼法求解无理数的取值范围是解此题的
关键．
20．阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[ ]＝1，[2.2]＝2，{ }＝ ﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[ ]＝ {5﹣ }＝ ；
（2）若[ ]＝1，写出所有满足题意的整数x的值： ．
（3）已知y 是一个不大于280的非负数，且满足{ }＝0．我们规定：y＝[ ]，y＝[ ]，y＝[
0 1 2 3
]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y 是符合条件的所有数中的最大数时，此时
0
y＝ ，n＝ ．
0
【答案】（1）2；3﹣ ；（2）1、2、3；（3）256，4
【解析】
【分析】
（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知， ，则可得满足题意的整数的 的值为1、2、3；
（3）由 ，可知， 是某个整数的平方，又 是符合条件的所有数中最大的数，则 ，再依
次进行计算．
【详解】
解：（1）由定义可得， ， ，
．故答案为：2； ．
（2） ，
，即 ，
整数 的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3） ，即 ，
可设 ，且 是自然数，
是符合条件的所有数中的最大数，
，
，
，
，
，
即 ．
故答案为：256，4．
【点睛】
本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题
关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
根据 即可求解．
【详解】
解：由题意可知： ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的估值，属于基础题．
22．（2022·浙江舟山·中考真题）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的估算方法估算即可．
【详解】
∵
∴
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算能力，要求掌握无理数的基本估算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一
般方法，也是常用方法．
23．（2022·重庆·中考真题）估计 的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【答案】D
【解析】
【分析】
根据49<54<64，得到 ，进而得到 ，即可得到答案．【详解】
解：∵49<54<64，
∴ ，
∴ ，即 的值在3到4之间，
故选：D．
【点睛】
此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
24．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键 即可进入统计计算状态
B．计算 的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键 可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为 时，若按 键，则结果切换为小数格式0.333333333
【答案】B
【解析】
【分析】
根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．
【详解】
解：A、按键 即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；B、计算 的值，按键顺序为： ，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键 可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项
C不符合题意；
D、计算器显示结果为 时，若按 键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D
不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．
25．（2022·江苏宿迁·中考真题）满足 的最大整数 是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
先判断 从而可得答案．
【详解】
解：
满足 的最大整数 是3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．
26．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数 、 满足 ，则 的值为__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】求出 在哪两个连续整数之间即可求得两个连续整数 ， ，进而求得 的值．
【详解】
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，熟练掌握“夹逼法”的应用是解答本题的关键．
27．（2022·湖北荆州·中考真题）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是
______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先由 得到 ，进而得出a和b，代入 求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ．
∴ ，故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小
数部分的求解方法．
28．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若 是整数，则根据
可知m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则
n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【解析】
【分析】
根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合 是大于1
的整数来求解．
【详解】
解：∵ ， 是大于1的整数，
∴ ．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
