文档内容
1.2 一定是直角三角形吗
课堂知识梳理
勾股定理的逆定理： 如果一个三角形的三边长 a，b，c满足a2＋b2＝c2，那
么这个三角形是直角三角形．
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022·全国·八年级课时练习）以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
2．（2020·辽宁·沈阳兴华实验中学八年级阶段练习）下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3、5、7 B． 、 、
C．5、12、13 D．0.3、0.4、0.5
3．（2021·湖南长沙·八年级期末）在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体
内容指的是（ ）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，
B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则 ABC 的形状是（ ）
△A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
5．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古
代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形
的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（2019·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）若a，b是 的两直角边长，若 ，
的面积24，则斜边c长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．（2022·全国·八年级课时练习）若 的三边长a，b，c满足 ，则 是
____________．
8．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是
______cm2．
9．（2020·四川师范大学附属中学八年级阶段练习）三角形三条边长分别为8，15，17，那么最短边上的
高是_______．
10．（2022·全国·八年级课时练习）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且
CD=6cm，BD=8cm．(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
【答案】(1) BDC为直角三角形，理由见解析；
△
(2) ABC的周长为= cm．
△
12．（2019·山东·武城县育才实验学校八年级阶段练习）有一块土地，如图所示，已知AB=8,
,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积.
培优第二阶——拓展培优练
13．（2021·云南德宏·八年级期末）在△ 中，已知 ， ， 边上的中线 ，过
点 作 ⊥ ，垂足为点 ，则 的长度是__________．
14．（2018·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）下列四组数：① ；② ；③
；④ 其中是勾股数的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则
∠ABC 的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
16．（2020·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号
每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”
号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
17．（2021·福建三明·七年级期中）我们从生活实际发现，当一个直角三角形两直角边长确定时，斜边长
也就确定了．古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．
这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）
（1）如图1，4个全等的直角三角形（其两直角边长为a，b，斜边长为c）与1个小正方形（边长为b），
不重叠无缝隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”；
（2）若直角三角形中两直角边的和 ，斜边c长为3，求直角三角形的面积；（3）如图2，若 中， ， ， ，点M是 边上的动点，求线段 最短时的
长度．
培优第三阶——中考沙场点兵
18．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股
定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验
证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
19．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，
葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈
尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面
1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为
（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
20．（2022·四川内江·中考真题）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得
到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积
分别为S、S、S．若正方形EFGH的边长为4，则S+S+S＝_____．
1 2 3 1 2 3
21．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅
五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与
股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
