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1.2 一定是直角三角形吗-北师大版（2025）数学八年级上册
一、选择题
1．（2024八上·双流期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．2，√3，2 D．8，15，16
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：因为32+42=52，所以A能构成直角三角形；
B：因为42+52≠62，所以B不能构成直角三角形；
C：因为2=2＞√3，所以C不能构成直角三角形；
D：82+152≠162，所以D不能构成直角三角形。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出答案。
2．（2023八上·洞头期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．AB=AC=1,BC=2 B．BC:AC:AB=1:2:3
C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．∠A+∠B=∠C
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC=1,BC=2，1+1=2，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、∵BC:AC:AB=1:2:3，∴设BC=a，AC=2a，AB=3a，a+2a=3a，不能组成三角形，故选项
B不符合题意；
5
C∵∠A:∠B:∠C=3:4:5， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴最 大 角 ∠C= ×180°=75°，
3+4+5
∴△ABC不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角
三角形，故选项D符合题意.
故选：D.
【分析】根据三角形三边关系判断A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D
选项，即可求解.
3．（2020八上·河南月考）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
1 / 241 1 1
C．3，4，5 D． ， ，
3 4 5
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、 0.32+0.42=0.52， 能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，
故此选项错误；
B、 (32 ) 2+(42 ) 2=337≠(52 ) 2=625， 不能构成勾股数，故此选项错误；
C、 32+42=25=52， 能构成勾股数，故此选项正确；
1 2 1 2 1 2
D、 ( ) +( ) ≠( ) ， 又不是整数，不能构成勾股数，故此选项错误.
3 4 5
故答案为：C.
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足 a2+b2=c2 ，称这三个数为勾股数，由
此判定即可.
4．（2024八上·从江期中）如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m，
AD=17m，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．108m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠B=90°,AB=9m,BC=12m,
∴AC=√92+122=15，
∵CD2+AC2=82+152=172=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
2 / 241 1
∴四边形ABCD的面积=S +S = ×9×12+ ×8×15=114m2 ；
△ABC △ACD 2 2
故选B．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，然后根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，
再利用四边形ABCD的面积=S +S 解题即可．
△ABC △ACD
5．（2021八上·承德期末）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是
（ ）
A．∠BAC＝90° B．∠BAD＝90° C．∠ABD＝90° D．∠ADB＝90°
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理即可得出答案。
6．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第一章《勾股定理》 单元测试卷）若一个三角形三边满
足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
7．在如图的网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均为正方形格点.下列结论错误的是(
).
3 / 24A．S =10 B．∠BAC=90°
△ABC
C．AB=2√5 D．点A到直线BC的距离是2
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意可得，AB=√22+42=2√5，故选项C正确；
AC=√12+22=√5，BC=√32+42=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，故选项B正确；
1 1
∴S = ×AC×AB= ×√5×2√5=5，故选项A错误；
△ABC 2 2
过点A作AD⊥BC于点D，
1
则 ×BC×AD=5，
2
解得，AD=2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=2√5，AC=√5，BC=5，根据
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角
得出∠BAC=90°，根据三角形的面积公式求出S =5，过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面
△ABC
积公式求出AD的值，即可得出答案.
8．（2024八上·瑞安月考）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察
4 / 24下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差
1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；若此类勾股
数的勾为2m（m>0，m为正整数），则弦是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．m2+1 B．m2−1 C．2m+2 D．2m+3
【答案】A
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2
∴(2m) 2+a2=(a+2) 2 ，
∴a=m2-1，
∴弦为a+2=m2-1+2=m2+1，
故答案为：A.
【分析】根据题意得到：2m为偶数，设其股为a，则弦为a+2，则得到关于a和m的方程：
(2m) 2+a2=(a+2) 2 ，进而即可求解.
二、填空题
9．（2020八上·高台月考）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴此三角形为直角三角形，
1
∴此三角形的面积为： ×6×8=24 .
2
故答案为：24.
【分析】由题意计算三边的平方，是否满足a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理可判断三角形是直角三
角形，然后由直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半可求解.
10．（2024八上·衡阳期末）一个三角形的三边长的比为3:4:5，且其周长为24cm，则其面积为
.
【答案】24cm2
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长的比为3:4:5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，
5 / 24∵其周长为24cm，
∴3x+4x+5x=24，解得x=2，
∴三角形的三边长分别是6，8，10，
∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
1
∴S= ×6×8=24(cm2)，
2
故答案为：24cm2．
【分析】根据比值设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，根据周长求出x的值，然后判断三角形的
形状，利用三角形的面积公式计算解题．
11．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若
BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
【答案】135°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=45°
∴∠A=180° -45°=135°
故答案为：135°.
6 / 24【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾
股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进
而求出∠A的值.
12．（2024八上·义乌期末）如图，在2×3的网格中，∠1+∠2= °．
【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵AB=√12+22=√5，AC=√12+22=√5，BC=√12+32=√10，
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BE∥AF，CD∥BG，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠CBG，
∴∠1+∠2=∠ABE+∠CBG=90°−∠ABC=45°．
故答案为：45．
【分析】连接AC，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可得到
∠ABC=∠ACB=45°，然后根据两直线平行，内错角相等得出∠1=∠ABE，∠2=∠CBG，即可
得到∠1+∠2=∠ABE+∠CBG=90°−∠ABC=45°．
13．（2016八上·扬州期末）已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式 √a−4 +（b﹣
3）2=0，则△ABC的形状为 三角形．
7 / 24【答案】直角
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵√a−4 +（b﹣3）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
【分析】几个非负数之和为，则每一个数都为0，建立方程求出a、b的值，再根据三边的关系定理
及勾股定理的逆定理即可判断。
14．（2024八上·诸暨期末）已知三角形三条边长度为m2+n2，m2−n2，2mn，其中m>n>0，则这个
三角形面积为 .(化简结果)
【答案】m3n−mn3
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵(m2+n2)❑ 2=m4+2m2n2+n4,
(m2−n2)❑ 2=m4−2m2n2+n4,
(2mn)❑ 2=4m2n2,
∴(m2−n2)❑ 2+(2mn)❑ 2=(m2+n2)❑ 2,
∴这个三角形是直角三角形，直角边是 m2−n2,2mn，
1
∴三角形的面积为
(m2−n2)•2mn=m3n−mn3
，
2
故答案为： m3n−mn3.
【分析】先根据勾股定理的逆定理证得三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式计算
即可.
三、解答题
15．（江苏省盐城市射阳县实验初级中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，在四
边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1．
8 / 24（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°；
（2）解：四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
1 1
= ×2×2+ ×1×2√2
2 2
=2+√2．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接AC，利用勾股定理可求AC，由勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三
角形，则∠CAD=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
（1）解：连接AC，
9 / 24∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，
又∵CD=3，DA=1，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAD+∠BAC=90°+45°=135°；
（2）解：四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
1 1
= ×2×2+ ×1×2√2
2 2
=2+√2．
16．（2023八上·连平期中）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝
9．
（1）求CD的长．
（2）求AD的长．
（3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：（1）∵ CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
在Rt△CDB中，CD＝√CB2－BD2＝√152－92＝12．
（2）在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12，
10 / 24∴AD＝√AC2－CD2 ＝√202－122＝16．
（3）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25，
∴AC2＋CB2＝202＋152＝625，
AB2=252=625，
∴AC2＋CB2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理得CD＝√CB2－BD2，代数求解即可；
（2）在Rt△ACD中，根据运用勾股定理得AD＝√AC2－CD2，代数求解即可；
（3）先求出AB＝25，得到AC2＋CB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形．
17．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若以AM，MN，NB为边的
三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段.若AM=2，MN=4，BN=2√3,则
点M，N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边.若AB=12，AM=5，求BN的长.
【答案】（1）解：结论：是．
理由：∵AM2＋BN2＝22＋（2√3）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：设BN＝x，则MN＝12−AM−BN＝7−x，
①当MN为最长线段时，根据题意可得：MN2＝AM2＋NB2，
12
即（7−x）2＝x2＋25，解得：x＝ ；
7
②当BN为最长线段时，根据题意可得：BN2＝AM2＋MN2．
11 / 2437
即x2＝25＋（7−x）2，解得：x＝ ．
7
12 37
综上所述，BN的长为 或 ．
7 7
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设BN＝x，则MN＝12−AM−BN＝7−x，再分类讨论：①当MN为最长线段时，；②当BN为
最长线段时，再分别列出方程求解即可.
18．（2024八上·万州期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离
公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施
工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要
封锁的公路长．
【答案】（1）解：由题意得
AB=500m，AC=300m，BC=400m，
如图，过C作CD⊥AB，
∵3002+4002=5002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
1 1
∴ AC⋅BC= AB⋅CD，
2 2
1 1
∴ ×300×400= ×500⋅CD，
2 2
解得：CD=240，
答：山地C距离公路的垂直距离为240m；
（2）解：公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下：
12 / 24如图，以点C为圆心，260m为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF，
则EC=FC=260，
∵CD⊥AB，
∴DE=DF，
由（1）可知，CD=240，
∵240<260，
∴有危险需要暂时封锁，
在Rt△CDE中，
DE=√CE2−CD2
=√2602−2402
=100，
∴EF=2DE=200，
即需要封锁的公路长为200m．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过C作CD⊥AB，因为3002+4002=5002，利用勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形，
1 1
再利用等面积法可列出式子 AC⋅BC= AB⋅CD，代入数据可求出答案；
2 2
（2）以点C为圆心，260m为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF，由等腰三角形的性质可得：
DE=DF，比较CD与CE的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得
DE=√CE2−CD2，可求出 需要封锁的公路长．
19．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并
延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；
1
S = c(c+x)你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．
∆ABD 2
13 / 24{CA=CD
【答案】证明（1）：在Rt△ABC和Rt△DCE中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）
DE=AB
∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），
∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°．∴DE⊥AB．（2）解：由题意知：
1 1 1 1 1 1 1 1
S =S +S +S = a2+ b2+ cx，∵S = c(c+x)，∴ a2+ b2+ cx，= C（c+x）．
△ABD △BCE △ACD △ABE 2 2 2 ∆ABD 2 2 2 2 2
∴a2+b2=c2．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠AFE=180°﹣
（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；
1
（2）根据S =S +S +S ，S = c(c+x)得出a2+b2=c2即可．
△ABD △BCE △ACD △ABE ∆ABD 2
四、阅读理解题
20．（2025八上·滨江期末）为了测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在没有
角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组
分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．
问
如何测量墙体是否与地面垂直？
题
工
若干条无弹性的绳子
具
小 第一小组 第二小组 第三小组
14 / 24组
模仿古埃及人用结绳的方法，在一条
如图2，在射线OM，ON上分别
绳子上打13个结，得到12条线段，且
取点A，B，放置绳子AB，对折
测 用叠合法使得这12条线段都相等，设
AB得到相等的两段AC，BC，
量 每一条线段长为a．如下图放置这总长
放置绳子OC，用叠合法比较OC
方 是12a的绳子，使在OM上的绳子
与BC的长度，若OC=BC，则
案 OA=4a，在ON上的绳子OB=3a，若
墙体与地面垂直，即MO⊥PN
AB=5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN
于点O，否则不垂直．
于点O，否则不垂直．
测
量
示
意
图
（1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
（2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画
出测量示意图，然后证明方案的可行性．
【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为BO2+AO2=(3a) 2+(4a) 2=25a2，
若AB2=(5a) 2=25a2，
则AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO，
∴MO⊥PN；
方案二、
证明：如下图所示，
15 / 24∵AC=BC，若OC=BC，则AC=OC=CB，
∴∠CAO=∠COA，∠COB=∠CBO，
又∵∠CAO+∠COB+∠OAC+∠CBO=180°，
∴∠CAO+∠COB=∠OAC+∠CBO=90°，
∴AO⊥OB，
∴MO⊥PN．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线OM，ON，OP上分别取点A，B，C，
放置绳子AB，AC，使AB=AC，
用叠合法比较OC与OB的长度，
若OC=OB，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，
否则不垂直，
证明：∵AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形，
若OC=OB，则OA是等腰三角形△ABC的中线，
根据等腰三角形性质可知AO⊥BC，
即MO⊥PN．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解题即可；
(2)利用AC=OC=CB，即可得到∠CAO=∠COA，∠COB=∠CBO，然后利用三角形内角和定理
可得∠AOB=90°解题即可；
(3)以点A为顶点得到等腰△ACB，然后利用三线合一定理得到，点O是BC的中点，则MO⊥PN解
题即可．
16 / 24（1）解：第一、二小组的方案都可行，
理由如下：
方案一
如下图所示，
证明：因为BO2+AO2=(3a) 2+(4a) 2=25a2，
若AB2=(5a) 2=25a2，
则AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AO⊥BO，
∴MO⊥PN；
方案二、
证明：如下图所示，
∵AC=BC，若OC=BC，则AC=OC=CB，
∴∠CAO=∠COA，∠COB=∠CBO，
又∵∠CAO+∠COB+∠OAC+∠CBO=180°，
∴∠CAO+∠COB=∠OAC+∠CBO=90°，
∴AO⊥OB，
∴MO⊥PN．
（2）解：第三小组的测量方案是：
如下图所示，
在射线OM，ON，OP上分别取点A，B，C，
放置绳子AB，AC，使AB=AC，
17 / 24用叠合法比较OC与OB的长度，
若OC=OB，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，
否则不垂直，
证明：∵AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形，
若OC=OB，则OA是等腰三角形△ABC的中线，
根据等腰三角形性质可知AO⊥BC，
即MO⊥PN．
21．（2023八上·南海月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽
为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
18 / 24（1）①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角
形，面积分别为S ，S ，S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有
1 2 3 1 2 3
________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面
积分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，也满足S +S =S 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出
1 2 3 1 2 3
S ，S ，S 的数量关系．
1 2 3
（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方
形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，
设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则
a2+b2+c2+d2=__________．
【答案】（1）①3；
②解：满足，证明如下：
(a) 2 (b) 2 (c) 2
π π π ab
由题意知a2+b2=c2， 2 2 ab 2 ab，S = ，
S +S = + + − = 3 2
1 2 2 2 2 2 2
∴S +S =S .
1 2 3
（2）m2
【知识点】勾股定理；勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）①设两直角边分别为x，y，斜边为z，
则图2中，S =x2，S = y2，S =z2，
1 2 3
∵x2+ y2=z2，
∴S +S =S ，故图2符合题意；
1 2 3
(x) 2 ( y) 2 (z) 2
π π π
图3中， 2 πx2， 2 π y2， 2 πz2，
S = = S = = S = =
1 2 8 2 2 8 3 2 8
πx2 π y2 π(x2+ y2) πz2
∵ + = = ，
8 8 8 8
∴S +S =S ，故图3符合题意；
1 2 3
19 / 241 √3x2 1 √3 y2 1 √3z2
图4中，S = x⋅x⋅sin60°= ，S = y⋅y⋅sin60°= ，S = z⋅z⋅sin60°= ，
1 2 4 2 2 4 3 2 4
√3x2 √3 y2 √3(x2+ y2) √3z2
∵ + = = ，
4 4 4 4
∴S +S =S ，故图4符合题意；
1 2 3
∴这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有3个，
1 2 3
故答案为：3.
（2）由题意知，S =a2，S =b2，S =c2，S =d2，(S +S )+(S +S )=S =m2 ，
A B C D A B C D M
∴a2+b2+c2+d2=m2.
故答案为：m2.
【分析】（1）①设两直角边分别为x，y，斜边为z，用x，y，z分别表示正方形、圆、等边三角形
的面积，根据x2+ y2=z2，求解S ，S ，S 之间的关系，进而可得结果；
1 2 3
(a) 2 (b) 2 (c) 2
π π π ab
②根据a2+b2=c2， 2 2 ab 2 ab，S = ，可得S +S =S ；
S +S = + + − = 3 2 1 2 3
1 2 2 2 2 2 2
（2）由题意知，S =a2，S =b2，S =c2，S =d2，(S +S )+(S +S )=S =m2 ，代入求解即可.
A B C D A B C D M
（1）①解：设两直角边分别为x，y，斜边为z，
则图2中，S =x2，S = y2，S =z2，
1 2 3
∵x2+ y2=z2，
∴S +S =S ，故图2符合题意；
1 2 3
(x) 2 ( y) 2 (z) 2
π π π
图3中， 2 πx2， 2 π y2， 2 πz2，
S = = S = = S = =
1 2 8 2 2 8 3 2 8
πx2 π y2 π(x2+ y2) πz2
∵ + = = ，
8 8 8 8
∴S +S =S ，故图3符合题意；
1 2 3
1 √3x2 1 √3 y2 1 √3z2
图4中，S = x⋅x⋅sin60°= ，S = y⋅y⋅sin60°= ，S = z⋅z⋅sin60°= ，
1 2 4 2 2 4 3 2 4
20 / 24√3x2 √3 y2 √3(x2+ y2) √3z2
∵ + = = ，
4 4 4 4
∴S +S =S ，故图4符合题意；
1 2 3
∴这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有3个，
1 2 3
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
(a) 2 (b) 2 (c) 2
π π π ab
由题意知a2+b2=c2， 2 2 ab 2 ab，S = ，
S +S = + + − = 3 2
1 2 2 2 2 2 2
∴S +S =S ；
1 2 3
（2）解：由题意知，S =a2，S =b2，S =c2，S =d2，(S +S )+(S +S )=S =m2 ，
A B C D A B C D M
∴a2+b2+c2+d2=m2，
故答案为：m2．
22．（2020八上·景县期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》
就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整
数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如
3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17； 9，40，41 ：等等都是勾股数．
（1）如果 a、b、c 是一组勾股数，即满足 a2+b2=c2 ，则 ka、kb、kc(k 为正整数）也是
一组勾股数．如； 3，4，5 是一组勾股数，则 也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出
a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1(n 公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的
a，b，c 是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提
1 1
到：当 a= (m2−n2 ) ， b=mn，c= (m2+n2 )(m、n 为正整数， m>n） 时， a，b，c 构
2 2
成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数 ．
（4）观察 3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，
1 1
且从 3 起就没有间断过，并且勾为 3 时股 4= ×(9−1) ，弦 5= ×(9+1) ；勾 5 为时，股
2 2
21 / 241 1
12= ×(25−1) ，弦 13= ×(25+1) ；
2 2
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
①如果勾为7，则股 24= ；弦 25= ；
②如果用 n(n≥3， 且 n 为奇数）表示勾，请用含有 n 的式子表示股和弦，则股 =
；弦 = ；
③观察 4，3，5；6，8，10；8，15，l7；…；a，b，82 ；…，可以发现各组的第一
个数都是偶数，且从 4 起也没有间断过．则 b= ；请你直接用 m(m 为偶数且 m≥4 ）
的代数式表示直角三角形的另一条直角边 ；和弦的长 ．
【答案】（1）6，8，10
（2）证明：
(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=4n2+4n+1+4n2+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+1
∴(2n2+2n+1) 2=4n4+8n3+8n2+1 ，
∴(2n+1) 2+(2n2+2n）2=(2n2+2n+1）2 ，
满足以上公式的 a，b，c 是一组勾股数
（3）a=6，b=8，c=10
1 1 1 1 m 2 m 2
（4） (49−1)； (49+1)； (n2−1)； (n2+1)；80；( ) −1；弦 ( ) +1
2 2 2 2 2 2
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数；定义新运算
【解析】【解答】（1）6，8，10（答案不唯一）；·（3）∵
1 2 1 1 1 1 1 1
a2+b2=[ (m2−n2 )] +(mn) 2= m4− m2n2+ n2+m2n2 ＝ m4+ m2n2+ n2
2 4 2 4 4 2 4
1 2
=[ (m2+n2 )] =c2
2
∴满足以上公式的 a，b，c 是一组勾股数；
1 1
当 m=4，n=2 时， a= (m2−n2 )=6，b=mn=8，c= (m2+n2 )=10 ，
2 2
∴6，8，10 构成一组勾股数．（答案不唯一）（4）①依据规律可得，如果勾为 7 ，
1
则股 24= (49−1) ，
2
1
弦 25= (49+1) ，
2
22 / 24②如果勾用 n(n≥3 ，且 n 为奇数）表示时，
1
则股 = (n2−1) ，
2
1
弦 = (n2+1)
2
③b＝80．根据规律可得，如果 a，b，c 是符合同样规律的一组勾股数， a=m(m 为偶数且
m≥4 ），
m 2
则另一条直角边 b=( ) −1
2
m 2
弦 c=( ) +1
2
【分析】（1）根据勾股定理 a2+b2=c2 ，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公
式求出 a2+b2 、 c2 根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，
根据题意写出勾股数；（4）①根据规律即求解；②如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝
1 1
(n2−1) ，弦＝ (n2+1) ；③根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果 a，b，c 是符
2 2
合同样规律的一组勾股数， a=m(m 为偶数且 m≥4 ），根据所给3组数据找出规律即可得结论．
23．（2019八上·贵阳月考）数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 3 8 15 24 …
b 4 6 8 10 …
c 5 10 17 26 …
由表可知，当 n=2 时， a=3 ， b=4 ， c=5 ；
当 n=3 时， a=8 ， b=6 ， c=10 ；
………
（1）当 n=6 时， a= ， b= ， c= .
（2）请你分别观察 a ， b ， c 与 n(n>1) 之间的关系，并分别用含有 n 的代数式表示 a ，
b ， c .
a= ， b= ， c= .
（3）猜想以 a ， b ， c 为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）35；12；37
（2）n2 -1；2n；n2 +1
（3）解：猜想：以 a ， b ， c 为边的三角形是直角三角形，
23 / 24理由：∵a2+b2=(n2−1) 2+(2n) 2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1 ，
c2=(n2+1) 2=n4+2n2+1 ，
∴a2+b2=c2 ，
∴以 a ， b ， c 为边的三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由表格中的数据得到：a= n2 -1，b=2n，c= n2 +1，
∴当 n=6 时， a= 35， b= 12， c= 37；
故答案为：35，12，37；
（ 2 ）观察表中的数据得到：a与c正好是n2加减1，b=2n，
∴a ， b ， c 与 n(n>1) 之间的关系，分别用含有 n 的代数式表示为：
a= n2 -1， b= 2n， c= n2 +1；
故答案为：n2 -1， 2n， n2 +1；
【分析】（1）观察表中的数据，可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加减1，b=2n，即可
得出答案；
（2）观察表中的数据即可得 a ， b ， c 与 n(n>1) 之间的关系；
（3）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出.
24 / 24
