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第 25 课 图形的位似
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质判断即可；
【解析】据位似图形的概念可知，A、B、C三组图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合
位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，准确分析判断是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．位似中心一定在图形的外部 B．位似中心一定在图形的内部
C．位似中心可能在图形的一个顶点上 D．位似中心只能在图形的外部或内部，不可能在图形的一
个顶点上
【答案】C
【分析】根据位似中心是任意两对对应点连线的交点，任意两对对应点的连线的交点有可能在图形的外部，
图形的内部，也有可能位于图形的一个顶点处，对选项进行分析，即可得到答案.
【解析】任意两对对应点的连线的交点有可能在图形的外部，图形的内部，也有可能位于图形的一个顶点
处，故A、B、D错误，故选C．
【点睛】本题考查位似中心，解题的关键是理解位似图形位似中心的找法，位似中心是任意两对对应点连
线的交点．
3．如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形
的性质得出答案．
【解析】解：如图，位似中心是点P．
故选D
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到 ，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C，O， 在同一直线上
C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．
【解析】解： 以点 为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，
、点 在同一直线上、 、 ，，
即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
5．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x
轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标
是 ，则点B的横坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作 轴于E，过点 作 轴于F，根据位似变换的性质得出 的边长放大
到原来的2倍， ， ， ，进而得出点B的横坐标．
【解析】解：如图，过点B作 轴于E，过点 作 轴于F，
点C的坐标是 ，
以点C为位似中心，在x轴的下方作把 的边长放大到原来的2倍的位似图形 ，
点B的对应点 的横坐标是a，
， ，，
点B的横坐标是： ．
故选D．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO＝a，CF＝a＋1，CE＝ ，是解决问题
的关键．
6．在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为： ， ， ，以 为位似中心，
与 位似，若 点的对应点 的坐标为（0，－6），则 点的对应点 坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【解析】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-
6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'，
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
7．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD
与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． ：【答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
8．如图所示，按如下方法将 ABC的三边缩小为原来的 ，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的
△
中点D、E、F，则下列说法：
(1) ABC与 DEF是位似形.
(2)△ABC∽△△DEF.
(3)△ABC与 DEF周长的比为2∶1
(4)△ABC与△DEF面积的比为4∶1.其中正确的个数是( )
△ △
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
二、填空题9．如图，以点O为位似中心，将 OAB放大后得到 OCD，OA＝2，OC＝5，则 ＝___．
△ △
【答案】
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【解析】解：∵以点 为位似中心， 放大后得到 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质．
10．如图，△ 与△ 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第
一象限的对应点A1的坐标是______．
【答案】（2,4）
【分析】根据位似图形的性质，点A的对应点A1的坐标是点A的横纵坐标的2倍，直接写出即可．
【解析】解：∵△ 与△ 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为1 ∶ 2，
∴点A（1，2）在第一象限的对应点（2，4）
故答案是（2，4）【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
11．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一
象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点C的坐标为_______________．
【答案】（5，5）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解析】解：∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在
第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为（5，5）．
故答案为：（5，5）．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
12．已知点 、 的坐标分别为 、 ，以原点 为位似中心，按相似比 把 缩小，
△
则点 的对应点 的坐标为__________．
【答案】（-2，1）或（2，-1）##（-2，1）或（2，-1）
【分析】根据题意利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 或 ，即可得出点 的对应点 的坐标．
【解析】解：∵点A（-4，2），B（-1，-1），以原点O为位似中心，相似比为 ，把 ABO缩小，
△
∴点A的对应点A'的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故答案为：（-2，1）或（2，-1）．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题的关键．13．如图，四边形 的顶点 为坐标原点，以 为位似中心，作出四边形 与四边形 位似，
若 ，的对应点为 ，四边形 的面积为27，则四边形 的面积为__________．
【答案】12
【分析】利用点A，A1的坐标可得到AO，A1O的长，可求出AO与A1O的比值，再利用位似图形面积比
等于相似比的平方，就可求出四边形OA1B1C1的面积.
【解析】∵A(6，0)的对应点为A1(4，0)，
∴AO=6，A1O=4，
∴ ，
∵四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：12.
【点睛】本题考查位似图形的性质，解题的关键是根据坐标求出位似比.
14．如图，已知 和 是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线 同侧 和
的周长之比为 ，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为______．【答案】
【分析】先利用位似的性质得到△ABC和△EDC的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移
到原点解决问题．
【解析】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，
而△ABC和△EDC的周长之比为1：2，
∴△ABC和△EDC的位似比为1：2，
把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3），
点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E点坐标为（2，-6）．
故填： ．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了转化的思想．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
(2)求出△A'B'C'的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)6
【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
(1)
解：如图，△A'B'C'为所作；
(2)△A'B'C'的面积＝4×4﹣ ×2×4﹣ ×2×2﹣ ×2×4＝6．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关
键．
16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OAB；
1 1
(2)以原点O为位似中心，将△OAB 在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OAB．
1 1 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先找到A、B的对应点A、B，然后顺次连接O、A、B 即可；
1 1 1 1
（2）先找到A、B 的对应点A、B，然后顺次连接O、A、B 即可；．
1 1 2 2 2 2
（1）
解：如图所示， 即为所求；（2）
解：如图所示， 即为所求．
【点睛】本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解
题的关键．
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△ABC ；
1 1 1
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△ABC 按2：1放大后的位似图形△ABC ；
1 1 1 2 2 2
(3)填空：点A 的坐标 ；△ABC与△ABC 的周长比是 ．
2 2 2 2【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2
2
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A，B，C 即可；
1 1 1 2 2 2
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
(1)
如图，△ABC 即为所作；
1 1 1
(2)
如图，△ABC 即为所作；
2 2 2
(3)
如图，点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2．
2
故答案为：(3，6)；1：2．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，
属于中考常考题型．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为 ， ， ．(1)请画出△ABC关于x轴对称的 ；
(2)将 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点 ， ， ，请画出 ；
(3) 是 的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
(4)设 的面积为 ， 的面积为 ，求 与 的面积比，即 ．
【答案】(1) 见详解
(2) 见详解
(3)是；位似中心的坐标为（0，0）
(4)
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2）直接利用将 的三个顶点的横坐标与 纵坐标同时乘以-2，得出各对应点，进而得出答案；
（3）连接 与 对应点，线段交点即为位似中心；
(4）利用位似图形的性质得出答案．
(1)解：如图所示，
即为所求；
(2)
如图所示，
即为所求；
(3)
是 的位似图形，如图所示，连接 、 ，交于原点，故：位似中心的坐标为（0，0）；
(4)
∵ 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得 ，
∴ 与 的相似比为2，
则 ．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，在直角坐标系xoy中，矩形EFGO的两边OE，OG在坐标轴上，以y轴上的某一点P为位似中心，
作矩形ABCD，使其与矩形EFGO位似，若点B，F的坐标分别为（4，4），（-2，1），则位似中心P的
坐标为（ ）
A．（0，1．5） B．（0，2）
C．（0，2．5） D．（0，3）
【答案】B
【分析】根据题意求出CG的长，利用相似三角形的性质求出PG的值，从而求出点P的坐标即可．
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形EFGO均为矩形，点B，F的坐标分别为（4，4）、（-2，1），
∴ ， ，点C（0，4），点G（0，1），∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴点P坐标为（0，2），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似中心的概念和位似图形的性质等知识，熟练掌握位似中心的概念和位似图形
的性质是解题的关键．
2．如图， 中， ， 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是 ．以点 为位似中心，在 轴的
下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍．设点 的对应点 的横坐标是 ，
则点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出 ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE= （m+1），
△
进而得出点B的横坐标．
【解析】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作 ABC的位似图形 A′B′C，并把 ABC的
边长放大到原来的2倍． △ △ △
点B的对应点B′的横坐标是m，
∴FO=m，CF=m+1，
∴CE= （m+1），
∴点B的横坐标是：- （m+1）-1=- （m+3）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性
质是解题的关键．
3．如图，以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，以下说法正确的有（ ）个
①
②
③点A，O， 三点在同一条直线上
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．【解析】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，
∴S ABC：S ABC=1：4，故①选项说法错误；
′ ′ ′
△ △
∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；
故选C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比
的平方是解题的关键．
4．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， 与 是以点A为位似中心的位似
图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点 的坐标为( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分点 在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出 与 的长度即可
【解析】解：如图所示，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ 当 时 ；当 时， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ 与 是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴ ， ，
∴ ， ，
当点 在y轴右侧时，
，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
当点 在y轴左侧时，
，
∴点B的对应点 的坐标为 ；
综上，点B的对应点 的坐标为 或 ．
故选D．
【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位
似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么
这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
5．如图，正方形 的两边 ， 分别在平面直角坐标系的 、 轴的正半轴上，正方形
与正方形 是以 的中点 为中心的位似图形，已知 ，若点 的坐标为 ，则正方形
与正方形 的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求
两个正方形的相似比．
【解析】解：延长A′B′交BC于点E，如图．
∵在正方形ABCD中，AC＝3 ，
∴BC＝AB＝3，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形 与正方形 是以 的中点 为中心的位似图形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的
边长．
6．如图，正方形 可看成是分别以 、 、 、 为位似中心将正方形 放大一倍得到的图形
（正方形 的边长放大到原来的 倍），由正方形 到正方形 ，我们称之作了一次变换，再将正方形 作一次变换就得到正方形 ，…，依此下去，作了 次变换后得到正方形
，若正方形 的面积是 ，那么正方形 的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从
而计算面积即可.
【解析】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后
正方形的边长为：9= ，三次变换后正方形的边长为：27= ，…n次变换后正方形的边长为： ，故作
2005次变换后的正方形的边长为 ，
此时正方形的面积为： ，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是
解题关键.
二、填空题
7．如图,点 是正三角形 的中心, 分别是 的中点,则 与 是位似三角
形,此时 与 位似中心是 ,位似比为 .【答案】O ， .
【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或
共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而位似中心是O，位似比是OP′：
OP=1：2．
【解析】各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O；
∴位似中心是O；
∵△P′Q′R′与 PQR是位似三角形，
∴△P′Q′R′∽△△PQR，
∴相似比等于P′Q′：PQ，
∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，
∴P′Q′= PQ，
∴△P′Q′R′与 PQR的位似比为1：2．
△
故答案为点O， .
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
8．如图，已知□ABCD，以B为位似中心，作□ABCD的位似图形□EBFG，位似图形与原图形的位似比为 ，
连结AG，DG．若□ABCD的面积为24，则△ADG的面积为____．
【答案】4
【分析】作BH⊥CD与CD交于点H，与GF交于点I，分别求出梯形CDGF和梯形ABFG的面积，再根据
求解即可．
【解析】作BH⊥CD与CD交于点H，与GF交于点I∵四边形ABCD是平行四边形，位似图形与原图形的位似比为
∴ ，
∵□ABCD的面积为24
∴
∴ ，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查了位似图形的问题，掌握位似图形的性质、梯形面积公式是解题的关键．
9．如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点
三角形”，图中的 ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)，在方格纸
中把 ABC以点A△为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，则点B的对应点B′的坐标为
____△__________．【答案】 或（11，11）
【分析】延长AB到B′或延长BA到B′，使AB′=2AB，根据点B′所在的象限及距离坐标轴的距离可得点B′
的坐标．
【解析】解：如图，
当B在第三象限，点B的对应点B′的坐标为（-5，-5），当B在第一象限，点B的对应点B′′的坐标为（11，11），
故答案为：（-5，-5）或（11，11）．
【点睛】解决本题的关键是得到画出点B′，可在点A的右上方和左下方，应根据在格点范围内确定其具体
位置．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．
在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形AOC B ，再将矩形
1 1 1
AOC B 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOC B ，以此类推，得到的矩形A OC B 的对角
1 1 1 2 2 2 2020 2020 2020
线交点的纵坐标为______________．
【答案】 ；
【分析】根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解．
【解析】∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，
∴矩形AOC B 与矩形AOCB是位似图形，点B与点B 是对应点，
1 1 1 1
∵OA=2， OC=1，点B的坐标为（–2，1），
∴点B 的坐标为（−2× ，1× ），
1
∵将矩形AOC B 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOC B ，
1 1 1 2 2 2
∴B （−2× × ，1× × ），
2
∴B （−2× ，1× ），
n∴矩形AOC B A的对角线交点的坐标为（−2× × ，1× × ），
n n n
∴矩形A OC B 的对角线交点的纵坐标为 ，
2020 2020 2020
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，掌握
以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之比等于相似比，是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，等边 与等边 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为
，点A、B、D在x轴上，若等边 的边长为12，则点C的坐标为_________．
【答案】
【分析】作CF⊥AB于F，根据位似图形的性质得到BC∥DE，根据相似三角形的性质求出OA、AB，根据
等边三角形的性质计算，得到答案．
【解析】解：作CF⊥AB于F，∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴ ，
∵△ABC与△BDE的相似比为 ，等边△BDE边长为12，
∴
解得，BC=4，OB=6，
∴OA=2，AB=BC=4，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=2，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2+2=4，
∴点C的坐标为
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的
性质是解题的关键．
12．已知 在直角坐标系内的位置如图所示， ，把 绕原点
逆时针旋转 后，再以原点 为位似中心放大为原来的 倍，得到 ，完成一次图形变换，经过
次图形变换之后，点 的坐标是___________【答案】
【分析】根据∠AOB =60°得出该旋转过程是6次一循环，根据2019÷6的余数判定点 和点 方向相同，
n n
再根据数值变化规律得出 的坐标.
【解析】解：由题意可知：
A（1， ），A（-2， ），A（-8，0），A（-8， ），
1 2 3 4
∵∠AOB =60°，
n n
直线 在旋转过程中是每 次一个循环， ，
点 和点 方向相同，
由题意,得 ，
，
∴点 的坐标是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了点的坐标以及直角三角形的性质，解题的关键是归纳出点A的坐标变化规律.
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将 放大为原来的2倍后的 ；
(2)分别写出 ， ， 三个点的坐标．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ， ，
【分析】（1）（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到 ， ， 三个点的坐标，然后描点即可．
（1）解：根据位似作图形如图所示
（2）解：根据图形可知 ， ， ．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
14．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别是 ， ， ．(1)画出△ABC关于y轴对称的 ；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的 ，并写出 的坐标．
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析， 或 .
【分析】（1）作出点A、B、C分别关于y轴的对称点，然后再连接对称后的各个顶点即可得到 ；
（2）以点O为位似中心，在△ABC对侧找到2OA=OA，2OB=OB，2OC=OC 所对应的A，B，C 的坐标，
2 2 2 2 2 2
连接即可．(1)
解：如图所示， 即为所求；
(2)
解：如图所示， 即为所求，
由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：
第一种， 和 在同一侧，
∵ ， ， ，位似比为1：2，
则 ， ， ，连接各点，得 ，
第二种， 在 的对侧，， ， ，连接各点，得 ，
因为在网格中作图，图中网格是有范围的，所以位似放大只能画一个，
综上所述：如图所示 为所求．此时 或 ．
【点睛】本题
主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关
键．
15．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将 先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到 ，画出 （ 分别为点A，
B，C的对应点）；
(2)在给定的网格中，以点 为位似中心，将 作位似变换，放大到原来的2倍，得到 ，画出
（D，E，F分别为点A，B，C的对应点）；
(3)填空：点C到 的距离为___________个单位．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）按照平移的特征作图即可，如图1；
（2）根据位似的定义作图即可，如图2；
（3）如图2，作 于 ，由题意知 ，根据 计算求解即可．
(1)
：如图1，将 向右平移1个单位，然后向下平移3个单位得 的位置，同理得到 的位置，然后依次
连接即可；(2)
解：如图2，由题意知，连接 并延长，使 ，得到 的位置，同理得到 的位置，然后依
次连接即可；
(3)
解：如图2，作 于
由位似的性质可知∴
∴
∴
∴点 到 的距离为 个单位
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移、位似、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
(1)画出 OAB绕点B顺时针旋转90°后的 O′A′B；
(2)以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出 O′A′B放大后的△O″A″B；
(3)点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出 OAB绕点B顺时针旋转90°后的 O′A′B；
（2）根据位似变换即可以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出 O′A′B放大后的
O″A″B；
（3）根据（2）中的图形，即可得M的对应点M′的坐标．
(1)解：如图， O′A′B即为所求；
(2)
解：如图， O″A″B即为所求；
(3)
解：如图，∵点M是OA的中点，
∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）．
【点睛】本题考查了作图-位似变换、作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握位似变换和旋转变换的性质．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题1．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△ABC 是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△ABC 的面
1 1 1 1 1 1
积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【解析】∵△ABC与△ABC 是位似图形，位似比是1：3，
1 1 1
∴△ABC与△ABC 的面积比为1：9，
1 1 1
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
2．（2022·重庆·中考真题）如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长
为4，则 的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【解析】设 的周长是x，
∵ 与 位似，相似比为 ， 的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
3．（2018·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为： ， ，
，以 为位似中心， 与 位似，若 点的对应点 的坐标为（0，－6），则 点的对
应点 坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．
【解析】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-
6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'，
∵A（1，2），
∴A'（-2，-4），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键
4．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，
若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【分析】直接利用对应边的比等于相似比求解即可．
【解析】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故选D．
【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念，同时涉及到了位似图形的概念、
平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识；解题关键是牢记相似比等于对应边的比，准确求出
对应边的比即可完成求解，考查了学生对概念的理解与应用等能力．
5．（2015·湖北十堰·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O
为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣
1）
【答案】D【解析】解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）．
故选∶D．
6．（2021·山东东营·中考真题）如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），
以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍，设
点B的横坐标是a，则点B的对应点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点 的横坐标为 ，然后表示出 、 的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.
【解析】设点 的横坐标为 ，
则 、 间的横坐标的差为 ， 、 间的横坐标的差为 ，
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： .
故选：A.
【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于
对应边的比列出方程是解题的关键.
7．（2016·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以
原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
【答案】D
【解析】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且 ＝
.∴ ＝ ＝
∴A′E＝ AD＝2
OE＝ OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3× ，6× ），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．8．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点 为位似中心，四边形 的位似图形是
（ ）
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【答案】A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【解析】解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故选：A【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位
似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，
确定位似图形．
二、填空题
9．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原
点O的位似图形，若点A的坐标为 ，则其对应点 的坐标是________．
【答案】（4，8）或（﹣4，﹣8）
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应
点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解析】解：在同一象限内，
∵ ABC与 是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于 ，A坐标为（2，4），
∴则点 的坐标为：（4，8），
不在同一象限内，
∵ ABC与 是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比等于 ，A坐标为（2，4），
∴则点 的坐标为：（﹣4，﹣8），
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．（2018·广西百色·中考真题）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且
= ，若点A（﹣1，0），点C（ ，1），则A′C′=_____．【答案】
【分析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．
【解析】∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 = ，点A（﹣1，0），点C
（ ，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′= = = ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解
答此题的关键．
11．（2018·辽宁抚顺·中考真题）如图， AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，
△
﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把 AOB缩小为原来的 ，得到 A′O′B′，点M′为O′B′
△ △
的中点，则MM′的长为_____．
【答案】 或
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
【解析】如图，在Rt AOB中，OB= =10，
△
∴OM=5，OM′= ，①当 A′OB′在第三象限时，MM′=5- = ；
△
②当 A″OB″在第二象限时，MM′=5+ = ，
△
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
12．（2016·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在
x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，
得到矩形AOC B ，再将矩形AOC B 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOC B …，以此类推，
1 1 1 1 1 1 2 2 2
得到的矩形AOC B 的对角线交点的坐标为_____．
n n n
【答案】（﹣ ， ）．
【解析】试题分析：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的 倍，
∴矩形AOC B 与矩形AOCB是位似图形，点B与点B 是对应点，
1 1 1 1
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B 的坐标为（﹣2× ，1× ），
1
∵将矩形AOC B 以原点O为位似中心放大 倍，得到矩形AOC B …，
1 1 1 2 2 2
∴B （﹣2× × ，1× × ），
2
∴B （﹣2× ，1× ），
n
∵矩形AOC B 的对角线交点（﹣2× × ，1× × ），即（﹣ ， ），
n n n
考点：位似变换；坐标与图形性质；规律探究题．
三、解答题
13．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将 顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比为
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称的点A、B 、C 的位置，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）利用位似的性质，找出点A、B 、C 的位置，然后画出图形即可．
2 2 2【解析】解：（1） 位置正确；用直尺画图；
（2） 位置正确；用直尺画图．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
