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专题突破卷 15 三角形的“四心”及奔驰定理
1.内心问题
1．已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形
，即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共
线，即可得到 在 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其它两角的平分线上，
是 的内心．
故选：B．
2．已知点O是 的内心， ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】连接 并延长交 于点 ，连接 ，则由角平分线定理得到 的长度关系，再由平面向
量基本定理，利用 三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.
【详解】连接 并延长交 于点 ，连接 ，
因为O是 的内心，所以 为 的平分线，
所以根据角平分线定理可得 ，
所以 ,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2因为 三点共线，所以设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
故选：D
3．三角形的四心是指三角形的重心､外心､内心､垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或
三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂
心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的
数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心､垂心､内心､外心四心合一，称作正三角形
的中心.如图， 是 的垂心， 分别交 于 ，则 是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，结合圆内接四边形的性质，分别证得 和 四点共圆，得到
，即 平分 ，同理证得 平分 ， 平分 ，即可得到答案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3【详解】因为 是 的垂心，所以 ，
所以 ，所以 四点共圆，所以 ，
又因为 是 的垂心， ，所以
所以 ，所以 四点共圆， ，
所以 ，即 平分 .
同理： 平分 ， 平分 ，所以 是 的内心.
故选：A.
4．校考期末）已知 为 的内心，且满足 ，若 内切圆半径为2，则其外接圆
半径的大小为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】取 边的中点 ，根据给定条件可得 ，求出 ，进而求出 及 ，再利用正
弦定理求解作答.
【详解】在 中，取 边的中点 ，连接 ，
则 ，而 ，有 ，因此点 共线，
由 为 的内心，得 平分 ，即有 ，
因此 ， ，有 ， ，令 内切圆与边 切于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4在 中， ，
令 外接圆半径为 ，由正弦定理得 .
故选：A
5．在 中， ， ， ， 是 的内心，若 ，其中 ，
则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点 的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解
内切圆半径，即可由三角形面积公式求解.
【详解】由 ， ，
根据向量加法的平行四边形法则可知：动点 的轨迹是以 ， 为邻边的平行四边形 及其内部，
其面积为 的面积的2倍.
在 中，设内角 所对的边分别为 ， ， ，
由余弦定理 ，得 .
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5故动点 的轨迹所覆盖图形的面积为 .
故选：D.
6．设 为 的内心， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ，连 ，则 为内切圆的半径，利用面积关系求出 ，得 ，再根
据 得 ，由平面向量基本定理求出 可得答案.
【详解】取 的中点 ，连 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 的内心 在线段 上， 为内切圆的半径，
因为 ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又已知 ，所以 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到 是本题解题关键.
2.外心问题
7． 中， 为 边上的高且 ，动点 满足 ，则点 的轨迹一定过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【分析】设 ， ，以 为原点， 、 方向为 、 轴正方向建立空间直角坐标系，根
据已知得出点 的坐标，设 ，根据 列式得出点 的轨迹方程为 ，即可
根据三角形四心的性质得出答案.
【详解】设 ， ，
以 为原点， 、 方向为 、 轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，
， ，
则 ， ， ， ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7设 ，则 ，
，
，即 ，
即点 的轨迹方程为 ，
而直线 平分线段 ，即点 的轨迹为线段 的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点 的轨迹一定过 的外心，
故选：A.
8．M为△ABC所在平面内一点，且 ，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【分析】设边 的中点为 ，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得 ，由数量积的性质
可得 ，由此可得结论.
【详解】设边 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又点 为边 的中点，
所以点 在边 的垂直平分线上，
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，
故选：C.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 89．已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足 ， ，则点O为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由 ，利用数量积的定义得到 ，从而得到点O在边AB的
中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意， ，即 ，
所以 ，则向量 在向量 上的投影为 的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
10．在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【分析】设线段 的中点为 ，推导出 ，结合外心的定义可得出结论.
【详解】设线段 的中点为 ，则 、 互为相反向量，
所以， ，
因为 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以， ，即 ，
即 ，即 ，
所以， 垂直且平分线段 ，
因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必通过 的外心.
故选：D.
11．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定经过 的 ．(从“重
心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【分析】 为 中点，连接 ，计算 ， ，得到
，得到答案.
【详解】如图所示： 为 中点，连接 ，
，
，故 ，
即 ，故 的轨迹一定经过 的外心.
故答案为：外心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1012．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】由 变形得 ，设 的中点为 ，推出 ，点P在线
段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 的中点为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过 的外心.
故选：A
3.垂心问题
13．（多选）已知 ， 在 所在的平面内，且满足 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为 的外心
B． 为 的垂心
C． 为 的内心
D． 为 的重心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【答案】BD
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】由题意 ，
所以 ，
即 ＝0，所以 ，
同理可得： ， ，
所以M为 的垂心；A错误,B正确；
因为 所以 ，
所以 ，
设AB的中点D，则 ，
所以 ，
所以C，N，D三点共线，即N为 的中线CD上的点，且 ，
所以N为 的重心,C错误,D正确.
故选:BD.
14．（多选）已知 为 的垂心，面积为 ， ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，由正弦定理边化角，结合三角形的内角和以及三角恒等变换即可求出角 ；对于B，根
据已知条件将 转化为 ，运用数量积公式求出 ，再根据面积公式求出 的
面积；对于C，根据余弦定理以及重要不等式即可求解；对于D，取 的中点 ，连接 ，假设
成立，得出 三点共线，进而结合以上选项得出结论.
【详解】依题意，如图所示，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12对于A， ，由正弦定理，得 ，
， ，
，即 ，
， ，又 ， ，A正确；
对于B， ， ，即 ，
为 的垂心， ， ，
，即 ，
，B正确；
对于C，由余弦定理得，
，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，C正确；
对于D，取 的中点 ，连接 ，则 ，
假设 成立，则 ，此时 三点共线，
又 ， ， ，
为等边三角形，与题意不符，D错误.
故选：ABC.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1315．已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 ，则 .
【答案】 /
【分析】由题可得 ， ，利用 ， 得
， ，可得 ， 再利用平方关系结合条件即得.
【详解】因为 ，
所以 ，同理 ，
由H为△ABC的垂心，得 ，即 ，
可知 ，即 ，
同理有 ，即 ，可知 ，即 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ．
故答案为： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1416．已知 的垂心为点 ，面积为15，且 ，则 ；若 ，则
.
【答案】 30 25
【分析】利用向量的运算表示出 ，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出 ，
对 平方可求模长.
【详解】如图，
是 的 边上的高，则 ；设 ，
因为 ，面积为15，所以 ，即 ；
.
由第一空可知 ，所以 ；
所以 ，由 可得 ，即 ；
因为 ，
所以 ；
故答案为：30 25.
17．若 是 内一点，且 ，则 为 的（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【答案】A
【分析】根据条件，可得 ，即 ， ，从而可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ， ，
即 是三条高线的交点，为 的垂心.
故选：A.
4.重心问题
18．若 是 内一点， ，则 是 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，则 ，而 ，
因此 ，即 三点共线，线段 是 的中线，且 是靠近中点 的三等分点，
所以 是 的重心.
故选：D
19．已知 为 所在平面内一点， 是 的中点，动点 满足 ，则点
的轨迹一定过 的（ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D． 边的中点
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【答案】C
【分析】由动点 满足 ，且 ，得到 三点共线，进而得到答案.
【详解】由动点 满足 ，且 ，
所以 三点共线，
又因为 为 的中点，所以 为 的边 的中线，
所以点 的轨迹一定过 的重心.
故选：C.
20．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意，建立直角坐标系，表示出坐标，利用数量积的坐标表示，建立函数关系，可得答案.
【详解】由题意，设等边 的边长为 ，以 的中点 为原点，以 分别为 轴建立直角坐
标系，可作图如下：
由 为等边 的重心，则 ， ，即 ， ，
设 ，则 ， ，
，
对于 ， ，故 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17故答案为： .
21．已知 是平面上的4个定点， 不共线，若点 满足 ，其中 ，
则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】设 边的中点为 ，则 ，进而结合题意得 ，再根据向量共线判断即
可.
【详解】解：根据题意，设 边的中点为 ，则 ，
因为点 满足 ，其中
所以， ，即 ，
所以，点 的轨迹为 的中线 ，
所以，点 的轨迹一定经过 的重心.
故选：A
22．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： ＝
，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】取线段BC的中点E，则 ．动点P满足： ， ，则
．即可判断出结论．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18【详解】取线段BC的中点E，则 ．
动点P满足： ， ，
则
则 .
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
23．O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足 ， ，
则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【分析】根据向量线性关系可得 ，结合 的几何意义判断所过的点，即可得答案.
【详解】由题设 ，
而 所在直线过 中点，即与 边上的中线重合，且 ，
所以P的轨迹一定通过 的重心.
故选：D
5.奔驰定理
24．设点 在 内部，且 ，则 与 的面积之比为 .
【答案】
【解析】本题可根据奔驰定理以及 得出结果.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19【详解】因为点 在 内部，满足奔驰定理 ，且
，
所以 与 的面积之比为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考
查计算能力，是简单题.
25．已知点A，B，C，P在同一平面内， ， ， ，则 等于（ ）
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
【答案】B
【分析】先根据向量的线性运算得到 ，然后再利用奔驰定理即可求解.
【详解】由 可得： ,
整理可得： ，
由 可得 ，整理可得： ，
所以 ，整理得： ，
由奔驰定理可得： ，
故选： .
26．已知 是 内的一点，若 的面积分别记为 ，则
.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得
即可求解作答.
【详解】 是 的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则 ， ，
因此， ，同理 ，
于是得 ，
又 ，即 ，由“奔驰定理”有 ，
则 ，而 与 不共线，有 ， ，即 ，
所以 .
故选：A
27．如图所示，点 是 内一点，若 ， ， ，且 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21.
【答案】
【分析】方法一：根据三角形的面积利用奔驰定理可得 ，然后利用平面向量的线性运
算得出 ，进而求解即可.
方法二：以 为重心，在 内作 ，根据重心的性质和平面向量的线性运算即可求出 ，
进而求解即可.
【详解】方法一：因为 ， ， ，
所以 ，
∴由奔驰定理可得： ，
即 ，
整理可得： ，
即 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
方法二：在 上取一点 ，使得 ，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22所以 ， ， ，
所以 为 的重心，所以 ，
也即 ，所以 ，
即 ，
整理可得： ，
即 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
28．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若 是锐角 内
的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 .则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23A． 为 的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由根据数量积的运算律可得 ,可得 为 的垂心；结合
与三角形内角和等于 可证明B选项；结合B选项结论证明 即
可证明C选项，利用奔驰定理证明 可证明D选项．
【详解】解：因为 ，
同理 ， ，故 为 的垂心，故A错误；
，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；
故 ，同理 ，
延长 交 与点 ，则
，
同理可得 ，所以 ，故C正确；
，
同理可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2429．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一
点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到 为垂心，再根据四边形内角为 及对顶角相等，得到 ，再根
据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到 ，进而求出 的
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为 ，
所以 ，同理 ， ，
所以 为 的垂心。
因为四边形 的对角互补，所以 ，
．
同理， ，
，
．
，
．
又
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26．
由奔驰定理得 .
故选C．
1．已知点O是边长为 的等边△ABC的内心，则 ＝ ．
【答案】 1
【分析】根据正三角形，求出| |＝| |＝| |的值，及 ， ， 的两两夹角大小，将所求表达式
展开，利用向量的数量积定义求解即可．
【详解】设D为BC的中点，因为点O是边长为 的等边△ABC的内心，
所以 ， ， 两两夹角为120°，
且| |＝| |＝| | |AD| ．
所以
＝2 2
＝ 1.
故答案为： 1．
2．已知点 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】由题设条件得到 ，从而判断出点P在 的平分线上，由此得到点 的轨迹一
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27定通过 的内心.
【详解】 分别表示 方向的单位向量，
令 ， ，
则 ，即 ，
又 ，以 为一组邻边作一个菱形 ，则点P在该菱形的对角线 上，
所以点P在 ，即 的平分线上，故动点P的轨迹一定通过 的内心.
故选：B.
3．在 中， ，点D，E分别在线段 ， 上，且D为 中点， ，若
，则直线 经过 的（ ）.
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据题意，可得四边形 为菱形，即可得到 平分 ，从而得到结果.
【详解】
因为 ，且D为 中点， ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28又因为 ，则可得四边形 为菱形，
即 为菱形 的对角线，
所以 平分 ，即直线 经过 的内心
故选:A
4．在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 ．
【答案】
【分析】设 与 相交于点 ，根据 为 的重心，化简得到 ，结合
，求得 和 的值，即可求解.
【详解】如图所示，设 与 相交于点 ，由 为 的重心，
可得 为 的中点，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 .
故答案为： .
5．设点O在 的内部，且 ，则的面积 与 的面积之比是
【答案】5
【分析】由题意可得 ，再根据奔驰定理即可解出．
【详解】由 变形可得： ，
整理可得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29根据奔驰定理可得： ，则 .
故答案为：5.
6．（多选）已知点 是 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则 为 的内心
C．若 为 的重心， 是 边上的中线，则
D．若 ，则
【答案】AD
【分析】取 的中点 ，则 ，得 ，即可判断A；若 ，则 为
的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意 ，则 ，即可判断C；取 的
中点 ，则 ，得 ， ，即可判断D.
【详解】取 的中点 ，连接 ，则 ，
若 ，则 ，则 三点共线，且 ，
则 为 的重心，故A正确；
若 ，则 为 的外心，不一定是内心，故B错误；
若 为 的重心， 是 边上的中线，则 ，则 ，故C错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30取 的中点 ，连接 ，则 ，
若 ，则 ，则 三点共线，且 ，
则 ，故D正确.
故选：AD.
7．已知点 ， ， 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可
【详解】由 ，得 ，
所以 ，设 的中点为 ，连接 ，则 ，
所以 ，所以点 在 边上的中线上，同理可得 也在 的中线上，
所以点 是 的重心，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31由 ，得 ，所以 到 的三个顶点的距离相等，所以 为 的外
心，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，同理得 ，所以 为 的垂心，
故选：A
8．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a b c
，则G是△ABC中的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】用 表示出 ，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上．
【详解】解：∵a b c ，
∴a b（ ）+c（ ） ，
∴（a+b+c） b c ，
即 ，
∴G在∠BAC的角平分线上，
同理可得：G在∠ABC的角平分线上，
∴G是△ABC的内心．
故选：A．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 329．（多选） 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心， ， ， 分别是边a，b，c
上的高．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是钝角三角形
【答案】BCD
【分析】由 点为 的重心，得到 ，求得 ，进而得到
，可判定A错误；再结合面积公式，余弦定理求得 的值，可判定B、C、D正确.
【详解】由 点为 的重心，可得 ，
因为 ，可得 ，
可得 ，即 ，
由正弦定理可得 ，所以A错误；
因为 ， ， 分别是边 上的高，
可得 面积满足 ，可得 ，
所以 ，所以B正确；
不妨设 ，
由余弦定理得 ，所以C正确；
由 ，
因为 ，可得 ，所以 为钝角三角形，所以D正确.
故选：BCD.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3310．在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为 ， ，点C在直线 上运动，O为
△
坐标原点，G为 ABC的重心，则 、 、 中正数的个数为n，则n的值的集合为
△
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用重心的坐标公式，找出点 ，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，
分类讨论即可.
【详解】设 ，因为G为 ABC的重心，则点 ，
△
令 ，则 ；
令 则 ；
令 ，则 ，不等式恒成立，
所以当 或 时， ；当 时， .
综上：n的值的集合为 .
故选：A.
11．如图所示，已知点 是 的重心.
(1)求 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34(2)若 过 的重心 ，且 ， ， ， ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量加法的运算，结合重心的性质即可求解，
（2）根据向量的线性运算，即可根据共线求解.
【详解】（1）如图所示，延长 交 于 点，则 是 的中点，
∴ ，
∵ 是 的重心，∴ ，∴ ；
（2）∵ 是 边的中点，∴ ，
又∵ 是 的重心， ∴ ，
∴ ，
而 ，
∵ 、 、 三点共线，∴有且只有一个实数 ，使得 ，
∴ ，∴ ，
∵ 与 不共线，∴ 且 消去 ，得 .
12．设点P在 内且为 的外心， ，如图.若 的面积分别为 ，x，
y，则 的最大值是 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35【答案】 /
【分析】根据奔驰定理可得 ，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得
，利用基本不等式计算即可求解.
【详解】根据奔驰定理 得， ，即
，
平方得 ，
又因为点P是 的外心，所以 ，且 ，
所以 ， ，解得 ，
当且仅当 时取等号.所以 .
故答案为： .
13．（多选）已知 的重心为 ，外心为 ，内心为 ，垂心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是 中点，则
B．若 ，则
C． 与 不共线
D．若 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36【答案】ABD
【分析】连接 交 于 点，得 ， ，根据三角形相似可判断A；取 的中点 得
，所以 ，再 可判断B；点 为垂心得 ，
利用 得 ，可得 与 共线
可判断C；分别做 、 交 、 于 、 点，设内切圆半径为 得
，利用 得 ，
得 ，从而求出 ，再由余弦定理可得 ，再利用
，求出 可判断D.
【详解】对于A，连接 交 于 点，则点 是 的中点， 是 中点，连接 ，
所以 ，所以 ，可得 ，故A正确；
对于B，取 的中点 ，连接 、 ，因为点 为外心，所以 ，
所以 ，若 ，则 ，
所以 ，故B正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37对于C，因为点 为垂心，所以 ，
因为
，
所以 ，
而 ，所以 与 共线，故C错误；
对于D，分别做 、 交 、 于 、 点，
连接 延长交 于 点，可得 ，设内切圆半径为 ，
则 ，所以 ，
，所以
，
即 ①，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38，所以
，
即 ②，由①②可得 ，
在 中由余弦定理可得 ，
因为 ，
可得 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在选项D中，解题的关键点是利用 、
求出 ，考查了学生的思维能力及运算能力.
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