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第 34 课 反比例函数
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列各问题中的两个变量成反比例的是（ ）；
A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率
C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商
【答案】D
【解析】解：A．体重与年龄是不成正比，也不是反比的．故错误．
B．根据时间不变，工作效率越高，总量越大,应是成正比．故错误．
C．矩形的长不变，则宽与周长成正比．故错误．
D．被除数不变时，除数与商成反比．故正确．
故选D.
2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义逐项进行判断即可．
【解析】解：A、 y与x2成反比例，因此该选项不符合题意；
B、 ， y是x的反比例函数，因此该选项符合题意；
C、 ，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；
D、 ，即 ，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握“形如y= （k是常数，且k≠0）的函数是反比例函数”是正
确判断的关键．3．在函数y= -1，y= ， y=x-1，y= 中，y是x的反比例函数的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分别根据反比例函数的定义进行逐一分析即可．
【解析】解：y= -1，y= ，表示反比例函数，y=x-1，y= 是反比例函数.
故选B.
【点睛】此题主要考查了反比例函数的概念，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具
有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为 (k为常数，k≠0)或y=kx−1(k为常数，
k≠0)，
4．反比例函数 中，比例系数k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】将反比例函数表达式改写为 ，即可得出比例系数．
【解析】 ，
．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的比例系数，将反比例函数改写为一般形式是解题的关键．
5．已知函数 是关于 的反比例函数，则 的值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义确定m的值即可．
【解析】解：∵函数 是反比例函数，∴ ，
解得： ；
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大．
6．若函数 是反比例函数，则m的值为（ ）
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝2或m＝1
D．m＝－2或m＝－1
【答案】A
【解析】根据反比例函数定义可知 解得
∴m＝－2．故选A．
7．已知点 是反比例函数 上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可．
【解析】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点，
∴ k =3×1=3，
A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
B 、1× = ≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
C 、 ×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；
D 、6× =3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选： D．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析
式．
8．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（ ）
x ☆ -1
y 2 *
A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4
【答案】D
【分析】首先由 时， 求出反比例函数解析式，然后分别求出 和 时对应的y和x的值
即可.
【解析】因为y是x的反比例函数，所以设 .
由题中表格可知，当 时， ，所以 ，所以 .
把 代入 ，得 ；
把 代入 ，得 .
则☆和*所表示的数分别为：-6，-4，
故选D.
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式
，再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程，接着解方程，
求出待定系数，然后写出解析式．
二、填空题
9．下列函数，① ②. ③ ④. ⑤ ⑥ ；其中是y关于x的反
比例函数的有：_________________．【答案】④⑥．
【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.
【解析】①x（y+2）=1，可化为y= ，不是反比例函数；
② ，y与（x+1）成反比例关系；
③ 是y关于x2的反比例函数；
④ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；
⑤ 是正比例函数；
⑥ 符合反比例函数的定义，是反比例函数；
故答案为④⑥．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.
10．已知反比例函数 ，当 时，y=__________；当y=2时，x=__________；
【答案】 1 4
【分析】将 代入反比例函数解析式，即可求y的值；将y=2代入反比例解析式，即可求x的值．
【解析】把 代入 的右边，解得 ，把y=2代入 的左边，解得 ，
故答案为：1；4．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、代数式求值等知识，是典型考点，难度容易，掌握相关知识是解题
关键．
11．若函数 是反比例函数，则m的取值为_____.
【答案】4
【分析】先根据反比例函数的定义列出关于m的方程和不等式，然后求出m即可．
【解析】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
解得m＝4．故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，其形式为 （k≠0）或 （k≠0）．
12．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=9，则函数解析式是________．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义设出表达式，再利用待定系数法解出系数则可得答案．
【解析】设 ，
∵x=3时，y=9，
∴9= ，
解得： ，
∴函数解析式是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式，属于基础题型．
13．香蕉每千克x元，花100元钱可买y千克的香蕉，则y与x之间的函数关系式为__________．
【答案】
【分析】根据题意列得xy=100，即可得到答案．
【解析】解：由题意得xy=100，
∴y与x之间的函数关系式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解销售问题中的数量关系是解题的关键．
14．已知:y与x成反比例，且当 时， .则y与x之间的函数关系式为______.；当 时，
______.
【答案】 2
【分析】设出反比例函数解析式，把 ， 代入 （k≠0）中可得k的值，进而得到函数解析式，
然后再把x＝−3代入函数解析式可得y的值．【解析】解：设反比例函数解析式为： （k≠0），
∵当x＝−2时，y＝3，
∴3＝ ，
∴k＝-6，
∴y与x的函数关系式是 ；
把x＝−3代入 得：y＝2，
故答案为 ，2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确把x，y的值代入所设解析式中．
三、解答题
15．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
（1）一个游泳池的容积为 ，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（单位： ）的
变化而变化；
（2）某长方体的体积为 ，长方体的高h（单位： ）随底面积S（单位： ）的变化而变化；
（3）一个物体重 ，物体对地面的压强p（单位： ）随物体与地面的接触面积S（单位： ）的变
化而变化．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据游泳池的容积=游泳池注满水所用时间×注水速度解答即可；
（2）根据长方体的体积=长方体的底面积×高求解即可；
（3）根据物体对地面的压强=物体重量÷物体与地面的接触面积解答即可．
【解析】解：（1）根据vt=2000得：游泳池注满水所用时间 ；
（2）根据1000=Sh得：长方体的高 ；
（3）根据题意，物体对地面的压强 ．【点睛】本题考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解答的关键．
16．已知y是x的反比例函数，且当 时， ．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当 时，求y值；
（3）当 时，求x值．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）用待定系数法设反比例函数，再代入x、y的值即可解题；
（2）将 代入（1）中的解析式即可解题；
（3）将 代入（1）中的解析式即可解题．
【解析】（1）设 把 ， 代入解析式的左右两边，解得 ，故函数解析式
是 ；
（2）把 代入 右边，解得 ；
（3）把 代入 的左边，解得 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、代数式求值等知识，是典型考点，掌握相关知识是解
题关键．
17．已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和
时， 的值都是1，求 关于 的函数关系式．
【答案】【分析】根据题意先分别表示出y 与x，y 与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后
1 2
根据已知条件，得到方程组，即可求解．
【解析】解：∵y 与x成反比例，y 与x成正比例，
1 2
∴设y= ，y=kx．
1 2
∵y=y-y，
1 2
∴y= -kx，
∵当 时，y=1；当x=1时，y=1，
∴ ，解得： ，
∴ 关于 的函数关系式为： .
【点睛】本题考查求函数解析式和反比例函数以及正比例函数，解决本题的关键是得到y与x的函数关系
式，需注意两个函数的比例系数是不同的．
18．已知y＝y+y，y 与x﹣2成反比例，y 与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝ ，求y
1 2 1 2
与x的函数关系式．
【答案】y= +
【分析】根据反比例函数与正比例函数定义可设y= ，y= ，则y= + ，再把两组
1 2
对应值分别代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b即可得到y与x的函数关系式；
【解析】解：设y= ，y= ，则y= + ，
1 2
把x=1，y=5；x=3，y= 分别代入得 ，
解得 ，所以y与x的函数关系式为y= + = + = +
∴y= + ；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k
为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求
出待定系数；写出解析式．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列函数中，y是x的反比例函数有（ ）
（1）y=3x；（2）y=﹣ ；（3）y= ；（4）﹣xy=3；（5） ；（6） ；（7）y=2x﹣2；
（8） ．
A．（2）（4） B．（2）（3）（5）（8） C．（2）（7）（8） D．（1）
（3）（4）（6）
【答案】A
【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．
【解析】（1）y=3x，是正比例函数，故此选项错误；
（2）y=- ，是反比例函数，故此选项正确；
（3）y＝ 是正比例函数，故此选项错误；
（4）-xy=3是反比例函数，故此选项正确；
（5）y＝ ，y是x+1的反比例函数，故此选项错误；
（6）y＝ ，y是x2的反比例函数，故此选项错误；
（7）y=2x-2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；
（8）y＝ ，k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错误．
故选A．【点睛】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．函数y=3x﹣1是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义即可解答.
【解析】∵函数y=3x﹣1= ，
∴函数y=3x﹣1是反比例函数.
故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的有3种表现形式：①y＝
（k≠0且k为常数）；②xy=k（k≠0且k为常数）；③y=kx﹣1（k≠0且k为常数）．
3．如果 是 的反比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
【答案】B
【分析】已知 是 的反比例函数， 是 的反比例函数，可得y= （a≠0）， （k≠0），即可求得
y= ，由此可得y是x的正比例函数.
【解析】∵y是m的反比例函数，
∴y= （a≠0），
∵m是x的反比例函数，
∴ （k≠0），
∴y= ，
∴y是x的正比例函数
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数定义，关键是熟练掌握两种函数的一般形式．
4．计划修建铁路lkm，铺轨天数为t（d），每日铺轨量s（km/d），则在下列三个结论中，正确的是（ ）①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当l一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
A．仅① B．仅② C．仅③ D．①，②，③
【答案】A
【解析】试题分析：根据工作总量=工作效率×时间，整理为反比例函数的一般形式： （k≠0），根据k
是常数，y是x的反比例函数判断正确选项即可．
解：∵l=ts，
∴t= 或s= ，
∵反比例函数解析式的一般形式 （k≠0，k为常数），
∴当l一定时，t是s的反比例函数；
只有①正确，
故选A．
考点：反比例函数的定义．
5．定义:[a,b]为反比例函数y= (ab≠0,a,b为实数)的“关联数”.反比例函数y= 的“关联数”为[m,m+2],
反比例函数y= 的“关联数”为[m+1,m+3],若m>0,则 ( )
A．k=k B．k>k
1 2 1 2
C．k<k D．无法比较
1 2
【答案】C
【分析】利用题中的新定义表示出k 与k，利用作差法比较即可．
1 2
【解析】根据题意得： ，
∵m＞0，
∴k-k= ＜0，
1 2
则k＜k．
1 2【点睛】此题考查了反比例函数的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二、填空题
6．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，则这点一定在函数____________图象上（填函
数关系式）
【答案】y=
【解析】设某一点(x、y),根据横坐标与纵坐标互为倒数得y= ，从而这点一定在函数y= 的图象上.
故答案为y=
7．某中学要在校园内划出一块面积为100m2的三角形土地做花圃，设这个三角形的一边长为xm，这条边
上的高为ym，那么y关于x的函数解析式是_____________，它是一个______函数．
【答案】 y＝ 反比例
【解析】根据等量关系“三角形的高=面积×2÷边长”即可列出关系式y= （x＞0），这是一个反比例函
数．
故答案为：y= （x＞0），反比例.
点睛：本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
8．将 代入函数 中，所得函数值记为 ，将 代人函数 中，所得函数值记为 ；
将 代人函数 中，所得函数值记为 ……依此继续下去，则 =________.
【答案】
【分析】根据题意计算可知每3次为一个循环，可得 .
【解析】由题意得 ， ， ， ……所以每3次计算
为一个循环，因为 ，所以 .故答案为 .
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，理解题中的计算方法得出规律是解题关键.
9．将 代入反比例函数 中，所得函数值记为 ，又将 代入函数中，所得函数值记为 ，
再将 代入函数中，所得函数值记为 ，如此继续下去，则 ________.
【答案】2
【分析】可依次求出y的值，寻找y值的变化规律，根据规律确定 的值.
【解析】解：将 代入反比例函数 中得 ；
将 代入函数得 ；
将 代入函数得 ；
将 代入函数得
由以上计算可知：y的值每三次重复一下
故y的值在重复670次后又计算了2次，所以
故答案为2
【点睛】本题属于反比例函数的求值规律题，找准函数值的变化规律是解题的关键.
三、解答题
10．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，当 时， ； 时， ．求：
关于 的函数解析式
【答案】
【分析】设 ， ，得到 ，将x与y的两组对应值代入得到二元一次方程组，求出解集即可得到答案.
【解析】解：设 ， ，
则 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则函数解析式是： .
【点睛】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正确理解正比例函
数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键.
11．如图，点M（0，m）为y轴上一点，m＜0，过点M作y轴的垂线l，与反比例函数 的图像交于点
P．把直线l下方反比例函数的图像沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图像称为“G图像”．(1)当m＝－1时，求“G图像”与x轴交点横坐标；
(2)过y轴上另一点N（0，n）作y轴垂线，与“G图像”交于点A、B．
①若n＝2，且AN＝2BN，求m的值；
②若AN＝2BN，求m与n的数量关系．
【答案】(1)
(2)① ，②当 时， ，当 时，
【分析】（1）根据题意设设“G图像”与x轴交点横坐标为 ， ，由 在 上，即可求解．
（2）①设 关于 的对称点为 ，求得 ，即可求解．
②分情况讨论， 时，当 时，方法同①．
(1)
设“G图像”与x轴交点横坐标为 ， ，
关于 的对称点的坐标为 ，
依题意 在 上，
则 ，
解得 ，
“G图像”与x轴交点横坐标为 ；
(2)
①如图，设 关于 的对称点为 ，∵n＝2，
，
在 上，则 ，
AN＝2BN，
，
将 代入 得 ，
即 ，
，
②由①可知当 时， 时，
，
在 上，则 ，
AN＝2BN，
，将 代入 得 ，
即 ，
，
即 ，
当 时，如图，
同理可得 ，
在 上，则 ，
AN＝2BN，
，
将 代入 得 ，
即 ，
，
即 ．【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，轴对称的性质，数形结合是解题的关键．
12．如图，点A，B在函数 （其中 ）的图象上，连接 ．取线段 的中点C．分别过点A，
C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G， 交函数 （其中 ）的图象于点D．小明运用几何知识
得出结论： ， ．设点E，F的横坐标分别为 ， ．
(1)①点G的横坐标为______．
②请你仔细观察函数 （其中 ）的图象，并由此得出一个关于 ， ， ，之间数量关系的
真命题：若 ，则______．
(2)请你说明在（1）中你提出的命题是真命题的理由；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG=2CF，可得 + ；
（2）根据分式的加减计算，利用求差法比较大小即可；
（3）根据（2）的结论证明即可
(1)
解：① 都垂直于 轴，是 的中点
是 的中点
设点E，F的横坐标分别为 ， ．
故答案为：
② 点 、 、 在 上
， ， ， ， ， ，
， ，
+ ；
故答案为：
(2)
证明：
(3)【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例，分式的加减，分别表示出 的长
是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·广西贺州·中考真题）在反比例函数 中，当 时，y的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】把x=-1代入函数解析式可得y的值．
【解析】把 代入 得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
2．（2019·广西梧州·中考真题）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用正比例函数以及反比例函数、二次函数、一次函数的定义分别分析得出答案．
【解析】解：A、 ，是正比例函数，符合题意；
B、 ，是反比例函数，不合题意；
C、 ，是二次函数，不合题意；
D、 ，是一次函数，不合题意；
故选A．
【点睛】考核知识点：反比例函数.理解反比例函数定义是关键.3．（2018·江苏淮安·中考真题）若点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
【答案】A
【解析】将A（﹣2，3）代入反比例函数y= ，得
k=﹣2×3=﹣6，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关
键．
4．（2008·黑龙江牡丹江·中考真题）用电器的输出功率 与通过的电流 、用电器的电阻 之间的关系是
，下面说法正确的是（ ）
A． 为定值， 与 成反比例 B． 为定值， 与 成反比例
C． 为定值， 与 成正比例 D． 为定值， 与 成正比例
【答案】B
【解析】解：当 为定值时， 2与 的乘积是定值，所以 2与 成反比例．
故选：B．
5．（2020·四川·中考真题）已知函数 ，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【解析】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣ =3，
解得：x=﹣ ，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键．
二、填空题
6．（2012·山东滨州·中考真题）下列函数：①y=2x-1；② ；③y=x2+8x-2；④ ；⑤ ；⑥
中，y是x的反比例函数的有______（填序号）
【答案】②⑤．
【解析】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：
①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；② 是反比例函数；
③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④ 不是反比例函数；
⑤ 是反比例函数；⑥ 中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．
故答案为②⑤．
7．（2013·湖南衡阳·中考真题）反比例函数 的图象经过点（2，－1），则k的值为______.
【答案】-2
【解析】解：由题意得， ，
8．（2012·江苏盐城·中考真题）若反比例函数的图象经过点P（－1，4），则它的函数关系式是______．
【答案】
【解析】设函数解析式为y="k/x" ，
将P（-1，4）代入解析式得，k=-4，
故函数解析式为y="-4/x" ．
