文档内容
专题突破卷 21 立体几何的轨迹问题
1.已知平行求轨迹
1．在棱长为1的正方体 中，E在棱 上且满足 ，点F是侧面 上的动点，
且 面AEC，则动点F在侧面 上的轨迹长度为_____．
2．如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点．若侧面 的中心
为 ， 为侧面 内的一个动点， 平面 ，且 的轨迹长度为 ，则三棱柱
的表面积为_____．3．如图，在三棱柱 中，M为AC 的中点N为侧面 上的一点，且MN//平面 ，若
1 1
点N的轨迹长度为2，则（ ）
A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
4．如图，正方体 的棱长为2， E是棱 的中点，平面 截正方体
所得截面图形的周长为_____，若F是侧面 上的动点，且满足 平面 ，则点F的轨迹长度为
_____.5．如图，正方体 的棱长为1，点 是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内
一动点，若 平面 ，则 点轨迹在正方形 内的长度为_____.
6．如图所示，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面
内（包括边界）一动点，且 ∥平面EFG，则P点的轨迹长度为_____
2.已知垂直求轨迹
7．如图，正方体 的棱长为 ，点 是棱 的中点，点 是正方体表面上的动点．若
，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（ ）A． B．
C． D．
8．（多选）如图，已知直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ，点 为 的中
点，点 为底面 上的动点，则（ ）
A．当 时，存在唯一的点 满足
B．当 时，存在点 满足
C．当 时，满足 的点 的轨迹长度为
D．当 时，满足 的点 轨迹长度为
9．（多选）如图，正方体 的棱长为3，动点 在侧面 内运动（含边界），且
，则（ ）A．点 的轨迹长度为 B．点 的轨迹长度为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
10．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底
面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为_____，点S与P距离的最小值是_____．
11．如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
与 交于点 ，现将 ， ， ， 分别沿 ， ， ， 把这个矩形折
成一个空间图形，使 与 重合， 与 重合，重合后的点分别记为 ， ， 为 的中点，则多面
体 的体积为_____；若点 是该多面体表面上的动点，满足 时，点 的轨迹长度为_____．12．（多选）正方体 的棱长为3，点 是正方体表面上的一个动点，点 在棱 上，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．若 在侧面 内，且保持 ，则点 的运动轨迹长度为
B．沿正方体的表面从点 到点 的最短路程为
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．当 在 点时，三棱锥 的外接球表面积为
3.已知定长求轨迹
13．已知正方体 的棱长为1，点P在该正方体的表面 上运动，且 则点P的轨迹长度是_____．
14．在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面 内一动点（含边界），若 ，则
点Q的轨迹长度为_____．
15．（多选）已知正方体 的棱长为 为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 为线段 上任一点，则 与 所成角的范围为
B．若 在正方形 内部，且 ，则点 轨迹的长度为
C．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
D．若三棱锥 的体积为 恒成立，点 的轨迹为椭圆或部分椭圆
16．已知正方体 的棱长为3，动点 在 内，满足 ，则点 的轨迹长度为
_____.
17．几何中常用 表示 的测度，当 为曲线､平面图形和空间几何体时， 分别表示其长度､面积和体积．
是边长为4的正三角形， 为 内部的动点（含边界），在空间中，到点 的距离为1的点的轨
迹为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
18．（多选）如图，在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 和 的中点，点
在正方形 内运动，则下列选项正确的是（ ）A．直线 与直线 是异面直线
B． 与面 所成角小于
C．点 与点 到面 的距离相等
D．若点 到点 的距离为 ，则动点 的轨迹长度为
4.已知定角求轨迹
A B C D
19．如图，正方体 的棱长为1，点P为正方形 1 1 1 1内的动点，满足直线BP与下底面
ABCD所成角为 的点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面 所成的角
为45°，则点 的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
21．已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直
线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹的长度为_____．
22．已知 是半径为2的球面上的四点，且 ．二面角 的大小为 ，
则点 形成的轨迹长度为_____．
23．已知正方体 的棱长为2， 为 的中点，且点 在四边形 内部及其边界上运
动，（1）若总是保持 平面 ，则动点 的轨迹长度为_____；（2）若总是保持 与 的夹角
为 ，则动点 的轨迹长度为_____.
24．如图，已知正三棱台 的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面
内运动（包含边界），且AP与平面 所成角的正切值为 ，则所有满足条件的动点P形成的轨迹
长度为（ ）A． B． C． D．
5.翻折过程求轨迹
25．如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将 AED沿AE折起，使点
D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为_____ ．
26．在矩形ABCD中， ， ，点E在CD上，现将 沿AE折起，使面 面ABC，
当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
27．如图所示，在平行四边形 中， 为 中点， ， ， .沿着 将 折
起，使 到达点 的位置，且平面 平面 .若点 为 内的动点，且满足 ，
则点 的轨迹的长度为_____.28．如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折成
（点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法正
确的是（ ）
①平面 平面 ② 与 的夹角为定值
③三棱锥 体积最大值为 ④点 的轨迹的长度为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
29．在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿 折起得到 ，设 的中点
为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度为_____.
1．如图，正方体 的棱长为2，点 是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内一动点，若 平面 ，则 点轨迹在正方形 内的长度为_____.
2．已知面积为 的菱形ABCD如图①所示，其中 ，E是线段AD的中点．现将 沿AC折起，
使得点D到达点S的位置.
(1)若二面角 的平面角大小为 ，求三棱锥 的体积；
(2)若二面角 的平面角 ，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持 ，求点F
的轨迹长度的取值范围.
3．如图，在正方体 中， ， 为棱 的中点， 是正方 内部（含边界）
的一个动点，且 ∥平面 ，(1)求动点 的轨迹长度
(2)求平面 与平面 夹角的正切值
4．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面 平面
，M为底面内一动点．当 时，M点在底面内的轨迹长度为_____．
5．如图，在长方形ABCD中， ， ，E为BC的中点，将△ 沿AE向上翻折到 的位
置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥 体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥 外接球的表面积有最小值6．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，动点 在 内（包括边
界上），且始终满足 ，则动点 的轨迹长度是_____.
7．已知四棱柱 的底面 为正方形，侧棱与底面垂直，点 是侧棱 上的点，且
.若点 在侧面 （包括其边界）上运动，且总保持 ，则动点 的
轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体 的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且 ，则点P的轨迹
长度是_____．9．（多选）如图，正方体 的棱长为2， 是 的中点， 是侧面 内的一个动点
（含边界），且 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 截正方体 所得截面的面积为
B．动点 的轨迹长度为
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为
10．（多选）已知图所示的正方体ABCD-ABC D 的外接球表面积为12π，点P在正方体的对角面BDD B
1 1 1 1 1 1
内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）A．若 平面AC D，则P的轨迹长度为
1 1
B．若BP⊥平面AC D，则P的轨迹长度为
1 1
C．若点P到平面ABC D 的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹是椭圆的一段
1 1 1 1
D．PA+PA 的最小值为
1
11．正方体 的棱长为3，点 ， 分别在线段 和线段 上，且 ，
，点 是正方形 所在平面内一动点，若 平面 ，则 点的轨迹在正方形
内的长度为_____.
12．（多选）已知正方体 的各顶点均在表面积为 的球面上， 为该球面上一动点，则
（ ）
A B C D
1 1 1 1
A．存在无数个点 ，使得 平面
B．当平面 平面 时，点 的轨迹长度为
C．当 平面 时，点 的轨迹长度为
D．存在无数个点 ，使得平面 平面
13．已知 ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将 BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在
平面BCD△内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D△的变化，点P的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．π
14．已知正方体 的棱长为 ，动点P在 内，满足 ，则点P的轨迹长度为
_____．
15．如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折成
（点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则在翻折过程中，给出下列四
个结论：
①平面 平面 ；
② 与 的夹角为定值 ；
③三棱锥 体积最大值为 ；
④点 的轨迹的长度为 ；
其中所有正确结论的序号是_____．
