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2.2 平方根
课堂知识梳理
算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a，那么这个正数x就叫做a的算术平方
√a √0=0
根，记为“ ”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ．
平方根：若x2＝a，则x叫a的平方根，x＝±.
平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方
根．
开平方及相关运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平
方与平方互为逆运算．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．4的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念进行求解即可．
【详解】
解：4的算术平方根是 ；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
2．下列各式中，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方根以及算术平方根进行化简计算即可．
【详解】
解∶ A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，符合题意；
D． ，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根以及算术平方根的计算，正确地计算能力是解决问题的关键．
3．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0和1 D．±1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方根的定义求解即可，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根．
【详解】
解：∵（±1）2=1，02=0，
∴平方根等于本身的数是0，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查对平方根的理解，熟练掌握平方根的意义是解答本题的关键．
4．6的平方根是（ ）
A．6 B． C． D．±
【答案】D【解析】
【分析】
根据平方根的定义解答即可．
【详解】
6的平方根是 ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平方根的判断，掌握定义是解题的关键．注意：正数有两个平方根，0有一个平方根是它
本身，负数没有平方根．
5．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的上一个自然数的平方根．
【详解】
解：由题意可知：该自然数为 ，
∴该自然数相邻的下一个自然数为 ，
∴ 的平方根为 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型．
6．下列说法正确的是（ ）
A．-4的平方根是 B． 的算术平方根是
C． 的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义及求法，即可一一判定．【详解】
解：A. 负数没有平方根，故该选项不正确；
B. 负数没有平方根，也没有算术平方根，故该选项不正确；
C. 的平方根是 ，故该选项不正确；
D. 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根及算术平方根的定义及求法，熟练掌握和运用平方根及和算术平方根的定义及求法是解
决本题的关键．
7．若一个正数 的平方根为 和 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正数的平方根互为相反数，可得 ，可求 ，即可求 ．
【详解】
解：由题意知 ，
解得 ，
则 ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查平方根的性质，熟练掌握正数的平方根的特点，是解题的关键．
8．若 是正整数，则满足条件的m的最小正整数值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根得出 ≥0，根据 为正整数得出80m是完全平方数，求出即可．【详解】
解：∵ 为正整数，
∴80m＞0，80m是完全平方数，
∵80×5＝400＝202，
∴m的最小正整数值为：5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了对算术平方根的应用，注意：a（a≥0）的算术平方根是 ．
9． 的平方根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方根的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】
的平方根是：
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个
数x就叫做a的平方根．
10．计算： __________， ________．
【答案】 5 8
【解析】
【分析】
根据平方根的性质，即可求解．
【详解】解： ；
．
故答案为：5；8.
【点睛】
本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
11．已知a，b满足 +（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵ +（b+3）2＝0，而 ，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为
0．
12．已知x、y都是实数，且 ，则xy=______________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】
解： ， ，
， ，
，将 代入 ，
得： ，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．
13．下列各数的平方根：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【解析】
【分析】
根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，计算即可．
【详解】
解：（1）因为 ，所以 的平方根是 ，即 ；
（2）因为 ，所以 的平方根是 ，即 ；
（3）因为 ，所以 的平方根是 ，即 ；
（4）因为 ，所以 的平方根是 ，即 ；
（5） 的平方根是 ．
【点睛】
本题考查了平方根，熟记平方根的定义是解本题的关键．
14．解方程：（1） ＝9；
（2）16 －25＝0
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）根据平方根的意义求解即可.
【详解】
（1） ＝9，
，
；
（2）16 －25＝0，
16 =25，
= ，
，
或
【点睛】
此题考查平方根的意义，掌握平方根的意义是解答此题的关键.
15．（1）已知 ，求x的值．
（2）已知 与 是正数m的平方根，求m的值．
【答案】（1）3或-1．（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．（2）根据一个正数的平方根互为相反数可得出a的值，继而得出这个正数m．
【详解】
解：（1）∵（x-1）2=4，
∴x-1=±2，
∴x=3或-1．
（2）∵ 与 是正数m的平方根，
∴ =0，
解得：a=-1，
则这个正数的值为m=[2×（-1）-1]2=9．
【点睛】
此题主要考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的知识，掌握一个正数的平方根互为相反数．
16．己知 ．
(1)如果x的算术平方根为4，求a的值；
(2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．
【答案】(1) ；(2)25。
【解析】
【分析】
（1）根据平方运算，可得 ，解一元一次方程，可得答案；
（2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．
(1)解：∵ 的算术平方根是4，
∴ ，
∴ ．
(2)∵ ， 是同一个数的两个不同的平方根，
∴ ，
解得： ，
∵ ．
∴这个数是25．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，是解题的
关键．
17．我们以前学过完全平方公式 ，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都
可以看作是一个数的平方，如 ，
下面我们观察： ，
反之， ，
∵
∴
仿上例，求：
（1） ；
（2）计算： ；
（3）若 ，则求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）0
【解析】
【分析】
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可得解；
（2）根据前面几个式子可猜想出其中的变化规律，直接利用规律进行化简，然后再求和即可得解；
（3）对 依次进行分母有理化可得 ，再通过移项、平方等变形可得 、
，然后将其代入所求代数式，进行化简即可得解．
【详解】
（1）（2）
（3） ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
则 的值为0．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够
灵活运用是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练
18．求下列式子中的x：(1)25(x﹣ )2＝49；
(2) (x+1)2＝32．
【答案】(1)x＝2，x＝
1 2
(2)x＝7，x＝﹣9
1 2
【解析】
【分析】
（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；
（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．
(1)
解： 25（x﹣ ）2＝49，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
x﹣ ＝ 或x﹣ ＝﹣ ，
解得：x＝2，x＝ ；
1 2
(2)
（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x＝7，x＝﹣9．
1 2
【点睛】
此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．
19．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：，其中 表示车速（单位：千米时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦
因数．在某次交通事故调查中，测得 米， ，而该路段的限速为80千米时，肇事汽车当时的
车速大约是多少？此车是否超速行驶？
【答案】96千米/时，此车超速行驶
【解析】
【分析】
此题只需把d=25米=0.025千米，f=1.44，代入 ，求得v的值后，再进一步和80千米比较，作出
判断即可．
【详解】
解：由题意知 （千米/时）．
96千米/时>80千米/时，
答：肇事汽车当时的速度大约是96千米/时，此车超速行驶．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．
20．(1)填写下表：
a 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000
(2)由上表你发现了什么规律？请用文字语言叙述你发现的这一规律；
(3)根据你发现的规律填空.
①已知 ， ，那么 ______， ______， ______，
______；
②若 ，则 ______.若 ，则 ______.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①14.14， 44.72，0.4472，0.1414；②20000 ，0.002
【解析】
【分析】（1）利用算术平方根定义计算，填写即可；
（2）找出得到的规律，用语言叙述即可．
（3）利用（2）中发现的规律进而分别得出各数据答案．
【详解】
解：（1）填表如下：
（2）规律为：a的小数点向左（或向右）移到两位，算术平方根小数点向左（或向右）移到一位．
(3)①14.14 44.72 0.4472 0.1414 ②20000 0.002
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互
换关系, 熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
21．你能找出规律吗？
(1)计算： ， ， ， ；
(2)根据找到的规律计算： ；
(3)若 ， ，用含a，b的式子表示 ．
【答案】(1)6；6；20；20；规律见解析；
(2)9
(3)
【解析】
【分析】
（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律： （a≥0，b≥0），据此判断即可．
（2）根据 进行解答即可．
（3）根据 ， ，可得 ，据此解答即可．
(1)∵ ， ， ， ，
∴总结出的规律是： （a≥0，b≥0）．
故答案为：6；6；20；20
(2)
；
(3)
∵ ， ，
∴ ，
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正
确的应用规律．
22．【初步感知】
(1)直接写出计算结果．
① ___________；
② _______；
③ ________；
④ ________；
…
【深入探究】观察下列等式．
① ；
② ；
③ ；
④ ；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(2)_________ ；
(3) _______，
【拓展应用】计算：
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)①1 ②3 ③6 ④10
(2)
(3)
(4)5050
(5)41075
【解析】
【分析】
（1）直接计算即可；
（2）根据前4个式子的规律填空即可；
（3）根据规律可得1+2+3+ +n+（n+1）= ；
⋯
（4）根据（1）的计算可得原式=1+2+3+…+100；
（5）根据规律可得原式=（13+23+33+ +193+203）-（13+23+33+ +93+103），再根据规律计算即可．
(1) ⋯ ⋯
解：① 1；
② 3；
③ 6；④ 10；
故答案为：①1 ②3 ③6 ④10
(2)
解：由规律可得：1+2+3+…+2022= ，
故答案为：1+2+3+…+2022；
(3)
解：1+2+3+ +n+（n+1）= ．
⋯
故答案为： ；
(4)
解：原式=1+2+3+…+100= =5050；
(5)
解：原式=（13+23+33+ +193+203）-（13+23+33+ +93+103）
⋯ ⋯
=（ ）2-（ ）2
=（1+2+…+20）2-（1+2+…+10）2
=（ ）2-（ ）2
=2102-552
=41075．
【点睛】
本题考查规律型：数字的变化类，能够根据式子的变化得到规律是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵23．（2022·四川凉山·中考真题）化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】
解： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
24．（2022·四川泸州·中考真题） （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义可求．
【详解】
解： -2，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定
义．
25．（2021·四川凉山·中考真题） 的平方根是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】A
【解析】【分析】
先求得 ，再根据平方根的定义求出即可．
【详解】
，
∴ 的平方根是 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，能熟记算术平方根的定义的内容是解此题的关键．
26．（2020·广西·中考真题）若 ＝0，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用算术平方根性质确定出x的值即可.
【详解】
解：∵ ＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1，
则x的值是1．
故选：C.
【点睛】
此题考查算术平方根的性质的应用，解一元一次方程，正确理解算术平方根的性质得到x﹣1＝0是解题的
关键.
27．（2021·四川南充·中考真题）若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方根的定义解答．【详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查平方根的定义：一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，熟记定义是解题的关键．
28．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足 ，则 __________．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．
【详解】
解：由题意知，m，n满足 ，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次
根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这
类题目．
29．（2022·浙江台州·中考真题）计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】
先化简各数，然后再进行计算．
【详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
