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2.2 立方根与平方根
14大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（4道）
一、求一个数的算术平方根
1．（2025·江苏南京·二模）若❑√a=3，则a的值为（ ）
A．9 B．−9 C．±9 D．−3
2．（2025·湖北荆州·三模）❑√9的化简结果是（ ）
A．3 B．±3 C．2 D．4
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）❑√16的值是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．2
4．（24-25七年级下·广东潮州·期中）25的算术平方根是（ ）
A．±5 B．±25 C．−5 D．5
16
5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习） 的算术平方根为 ．
9
二、利用算术平方根的非负性解题
1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若|x−2)+❑√y−8=0，则❑√xy的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数 、 满足 ，则 的值为（ ）
x y ❑√x−4+|y2−9)=0 ❑√x+ y
A．❑√7 B．1 C．±1或±❑√7 D．1或❑√7
3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若|a+1)+❑√b−2=0，则a+b的相反数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1
4．（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）若实数 ， 满足 ，
a b ❑√a+3+(b−4) 2=0
则b+a的值是 ．
5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知 ， 为有理数，且 ，则 的值为
x y ❑√x−1+3(y−2) 2=0 x−y
．6．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若 ，则 ．
(2a+3) 2+❑√b−2=0 ❑√ab=
三、与算术平方根有关的规律探究
1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知❑√7=a,❑√70=b，则❑√700的值是（ ）
A．10a B．10b C．100a D．100b
2．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：❑√2.024≈1.422，❑√20.24≈4.499，则❑√0.02024≈ ．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表：
1000
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.001 0.1 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知❑√a=1900，❑√361=19，则a的值为 ；
（3）当a≥0时，比较❑√a和a的大小．
10
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 10000 …
0
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 …
4．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
❑√0.0001=0.01,❑√0.01=0.1,❑√1=1,❑√100=10,❑√10000=100,⋯⋯，
(1)已知❑√2≈1.414,❑√20≈4.47，则❑√0.2=_______；
(2)已知❑√3.68≈1.918,❑√a≈191.8，则a=_______；
(3)归纳：已知数a的小数点的移动与它的算术平方根❑√a的小数点移动间有何规律？
四、平方根的概念
1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．0 B．−1 C．1 D．2
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）若m+6与m−2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．4 B．−4 C．2 D．−2
五、求一个数的平方根
1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）±❑√0.16的值是（ ）
A．0.04 B．±0.04 C．0.4 D．±0.42．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中） 的平方根是
(−3) 2
六、利用平方根解方程
1．（24-25七年级下·四川广元·期中）若 ，则 ．
(x+3) 2=1 x=
2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程：
(1)m2−3=0
(2)81x2−49=0
3．（24-25七年级下·西藏林芝·期中）求x的值： ．
4(x−1) 2−25=0
4．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)2x2−8=0；
(2) ．
(x−1) 2=36
七、利用平方根的性质求解
1．（江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）若一个正数x的两个平方根是2−3a
和1+2a，则x的值为（ ）
A．3 B．7 C．−7 D．49
2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数a的两个平方根分别是2x+1和x−4，则这个正数a是
（ ）
A．9 B．−9 C．3 D．−3
3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是3−x和3x+5，那么这个正数m的
值为 ．
4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是2a+3与1−a，则这个正数是
．
5．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）一个正实数的平方根是2a−1和−3a+5，则a的值是多少？这个正
实数是多少？
6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程ax2−36=0的解．八、平方根的应用
1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能E （单位：焦耳），其大小由物体的质
k
1
量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为E = mv2．在2025年3月23日举行
k 2
的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60
千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米
❑
2的长方形苗圃ABCD(ABa >⋯>a >a G =a +a +⋯+a +a
n n n−1 1 0 n n−1 1 0 n n n−1 1 0
当 时， ．根据题意，对于下列说法：①当 时，若 ，则
n=2 P =a x2+a x+a ,G =a +a +a n=0 ❑√P2≤5
2 2 1 0 2 2 1 0 n
a 有6个不同取值；②当n=1,a =5，则使得整式P 的值为4的平方根的负数x值有7个；③若
0 1 n
a ,a ,⋯,a ,a 是一列从1开始的连续奇数，则G =625；④所有使得G =5成立的整式P 之和为
0 1 n−1 n 25 n n
7x2+15x+8．其中正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知2a−5的算术平方根是3，b−2a+1的立方根是−2，c是❑√15
的整数部分．
(1)求a,b,c的值；
(2)求2a+7b+5c的平方根．
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知m=b−√1a+4是a+4的算术平方根，n=a−√23b−1是
3b−1的立方根，求m−2n的立方根．
（2）若m=❑√1−a+❑√a−1+1，n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根．
4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，用两个面积为8 cm2的小正方形纸片拼成一个大的正方
形纸片．
(1)则大正方形的边长为___________cm；
(2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面
积为12 cm2？请说明理由．5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角
线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为
______，大正方形的边长为_______
【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两
个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小
正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为__________，大正方形ABCD的边长为__________
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为735cm2的长
方形纸片，使它的长与宽之比为5：3．请通过计算说明是否可行．
6．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例
如：
∵❑√4<❑√6<❑√9，即2<❑√6<3，
∴❑√6的整数部分为2，
∴❑√6的小数部分为❑√6−2．
(1)求❑√17的整数部分和小数部分．
(2)已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是❑√12的整数部分，求3a−b+c的平方根．
7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题：
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数❑√7 我们可以用以下方法求无理数❑√107的近似值
的小数部分． （保留两位小数）．
∵面积为107的正方形的边长是❑√107，且
10<❑√107<11，
∵4<7<9，∴❑√4<❑√7<❑√9，
∴设❑√107=10+x，其中0
