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2.2 立方根与平方根
14大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（4道）
一、求一个数的算术平方根
1．（2025·江苏南京·二模）若❑√a=3，则a的值为（ ）
A．9 B．−9 C．±9 D．−3
2．（2025·湖北荆州·三模）❑√9的化简结果是（ ）
A．3 B．±3 C．2 D．4
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）❑√16的值是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．2
4．（24-25七年级下·广东潮州·期中）25的算术平方根是（ ）
A．±5 B．±25 C．−5 D．5
16
5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习） 的算术平方根为 ．
9
二、利用算术平方根的非负性解题
1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若|x−2)+❑√y−8=0，则❑√xy的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数 、 满足 ，则 的值为（ ）
x y ❑√x−4+|y2−9)=0 ❑√x+ y
A．❑√7 B．1 C．±1或±❑√7 D．1或❑√7
3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若|a+1)+❑√b−2=0，则a+b的相反数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1
4．（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）若实数 ， 满足 ，
a b ❑√a+3+(b−4) 2=0
则b+a的值是 ．
5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知 ， 为有理数，且 ，则 的值为
x y ❑√x−1+3(y−2) 2=0 x−y
．6．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若 ，则 ．
(2a+3) 2+❑√b−2=0 ❑√ab=
三、与算术平方根有关的规律探究
1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知❑√7=a,❑√70=b，则❑√700的值是（ ）
A．10a B．10b C．100a D．100b
2．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：❑√2.024≈1.422，❑√20.24≈4.499，则❑√0.02024≈ ．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表：
1000
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.001 0.1 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知❑√a=1900，❑√361=19，则a的值为 ；
（3）当a≥0时，比较❑√a和a的大小．
10
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 10000 …
0
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 …
4．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
❑√0.0001=0.01,❑√0.01=0.1,❑√1=1,❑√100=10,❑√10000=100,⋯⋯，
(1)已知❑√2≈1.414,❑√20≈4.47，则❑√0.2=_______；
(2)已知❑√3.68≈1.918,❑√a≈191.8，则a=_______；
(3)归纳：已知数a的小数点的移动与它的算术平方根❑√a的小数点移动间有何规律？
四、平方根的概念
1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．0 B．−1 C．1 D．2
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）若m+6与m−2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．4 B．−4 C．2 D．−2
五、求一个数的平方根
1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）±❑√0.16的值是（ ）
A．0.04 B．±0.04 C．0.4 D．±0.42．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中） 的平方根是
(−3) 2
六、利用平方根解方程
1．（24-25七年级下·四川广元·期中）若 ，则 ．
(x+3) 2=1 x=
2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程：
(1)m2−3=0
(2)81x2−49=0
3．（24-25七年级下·西藏林芝·期中）求x的值： ．
4(x−1) 2−25=0
4．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)2x2−8=0；
(2) ．
(x−1) 2=36
七、利用平方根的性质求解
1．（江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）若一个正数x的两个平方根是2−3a
和1+2a，则x的值为（ ）
A．3 B．7 C．−7 D．49
2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数a的两个平方根分别是2x+1和x−4，则这个正数a是
（ ）
A．9 B．−9 C．3 D．−3
3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是3−x和3x+5，那么这个正数m的
值为 ．
4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是2a+3与1−a，则这个正数是
．
5．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）一个正实数的平方根是2a−1和−3a+5，则a的值是多少？这个正
实数是多少？
6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程ax2−36=0的解．八、平方根的应用
1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能E （单位：焦耳），其大小由物体的质
k
1
量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为E = mv2．在2025年3月23日举行
k 2
的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60
千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米
❑
2的长方形苗圃ABCD(AB<BC)，
一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5:2．
(1)求BC的长；
(2)求出苗圃所用篱笆总长．
3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正
方形区域修改为面积为300cm2的长方形区域，且长、宽之比为5:3．
(1)求原来正方形区域的边长；
(2)求修改后长方形的周长；
(3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为210 cm2的长方形纸片，它的长与宽的比为3:2．
(1)求长方形纸片的长和宽；
(2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144 cm2正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由．
5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）学科实践：某中学计划修建一个面积为64m2的花坛，花坛四周用篱
笆围起来，数学小组成员洋洋和强强设计如下两种方案：洋洋：建设一个正方形花坛．强强：建设一个长
方形花坛，长是宽的4倍．请通过计算比较哪种方案建设花坛所需要的篱笆（周长）更短．九、立方根的概念
1．（重庆市江津区2024-2025学年下期期末检测七年级数学试卷A卷）下列说法中正确的有（ ）
A．4的平方根是 B． 的算术平方根是
±2 (−3) 2 −3
C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．1或0
3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．1的立方根是1 B．−8的立方根是−2
C．−1的立方根是−1 D．125的立方根是±5
十、计算立方根
1．（安徽省亳州市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）−64的立方根是（ ）
A．±4 B．4 C．−4 D．❑√4
2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）√3 x=2，则x的值为（ ）
A．4 B．8 C．−4 D．±8
3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）√364的相反数是 ．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）−√3−27= ．
十一、立方根的应用
1．（河南省濮阳市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图是一个正方体的魔方，它由27
个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是216cm3，则一个小正方体的棱长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为144cm3，而康师
傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为
cm．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了58mm．
如果玻璃杯内部的底面半径为95mm，那么正方体的棱长是多少毫米？（π取3.14，结果取整数．）
十二、立方根有关的规律探究
1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知√30.214≈0.5981，√32.14≈1.289，√321.4≈2.776，则
√321400≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.98
2．（24-25七年级下·青海海东·期中）观察
❑√613.7≈24.77,❑√6.137≈2.477,√36.137≈1.8308,√36137≈18.308．推测：若
√3 x≈0.18308,❑√y≈0.2477，则10x−y= ．
十三、平方根与立方根的估值
1．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算❑√7的值是（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
3．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知❑√102.1≈10.1，则❑√1.021的近似值为（ ）
A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01
4．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计❑√5+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
十四、平方根与立方根的综合应用
1．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，−27的立方根是y，则2x−y的值为 ．
2．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是2a+5和2a−1，b−10的立方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)求a+b的算术平方根．
3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数3a+10的算术平方根是2，a+b的立方根是2．(1)求a，b的值；
(2)求5a+2b的平方根．
4．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的算术平方根是5，求
3m+2n的立方根．
1．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）已知n,a ,a ,⋯,a ,a 均为自然数，整式
n n−1 1 0
，且满足 ，设 ，例如：
P =a xn+a xn−1+⋯+a x+a a >a >⋯>a >a G =a +a +⋯+a +a
n n n−1 1 0 n n−1 1 0 n n n−1 1 0
当 时， ．根据题意，对于下列说法：①当 时，若 ，则
n=2 P =a x2+a x+a ,G =a +a +a n=0 ❑√P2≤5
2 2 1 0 2 2 1 0 n
a 有6个不同取值；②当n=1,a =5，则使得整式P 的值为4的平方根的负数x值有7个；③若
0 1 n
a ,a ,⋯,a ,a 是一列从1开始的连续奇数，则G =625；④所有使得G =5成立的整式P 之和为
0 1 n−1 n 25 n n
7x2+15x+8．其中正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知2a−5的算术平方根是3，b−2a+1的立方根是−2，c是❑√15
的整数部分．
(1)求a,b,c的值；
(2)求2a+7b+5c的平方根．
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知m=b−√1a+4是a+4的算术平方根，n=a−√23b−1是
3b−1的立方根，求m−2n的立方根．
（2）若m=❑√1−a+❑√a−1+1，n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根．
4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，用两个面积为8 cm2的小正方形纸片拼成一个大的正方
形纸片．
(1)则大正方形的边长为___________cm；
(2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面
积为12 cm2？请说明理由．5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角
线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为
______，大正方形的边长为_______
【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两
个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小
正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为__________，大正方形ABCD的边长为__________
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为735cm2的长
方形纸片，使它的长与宽之比为5：3．请通过计算说明是否可行．
6．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例
如：
∵❑√4<❑√6<❑√9，即2<❑√6<3，
∴❑√6的整数部分为2，
∴❑√6的小数部分为❑√6−2．
(1)求❑√17的整数部分和小数部分．
(2)已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是❑√12的整数部分，求3a−b+c的平方根．
7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题：
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数❑√7 我们可以用以下方法求无理数❑√107的近似值
的小数部分． （保留两位小数）．
∵面积为107的正方形的边长是❑√107，且
10<❑√107<11，
∵4<7<9，∴❑√4<❑√7<❑√9，
∴设❑√107=10+x，其中0<x<1，
即2<❑√7<3
画出边长为10+x的正方形，如图1：
∴❑√7的整数部分为2．
根据图中面积，得102+2×10x+x2=107，
∴❑√7的小数部分为❑√7−2．
当x2较小时，忽略x2，得100+20x=107．
解得x≈0.35．∴❑√107=10+x≈10.35(1)利用材料一中的方法，❑√33的小数部分是__________；
(2)利用材料二中的方法，探究❑√145的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）我们发现： ＝3， ＝3， ＝
❑√6+3 ❑√6+❑√6+3 ❑√6+❑√6+❑√6+3
3，…， ⏟ ❑√ 6+❑√ 6+❑√6+…＋❑√6+❑√6+3=3 ，一般地，对于正整数a、b，如果满足
n个根号
⏟ ❑√ b＋❑√ b＋❑√b＋…＋❑√b＋❑√b＋a=a，那么称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
(a,b) (3，6)
n个根号
美方根数对．下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是
完美方根数对，则a2−a=380；④若(x,y)是完美方根数对，则x、y满足y=x2−x．其中正确的结论有几
个，说明理由．
2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散：
(1)完成下列填空
① ______，② ______，③ ______，
❑√32= ❑√0.52= ❑√(−6) 2=
④ ❑√02= ______，⑤ ❑ √ ( − 3) 2 = ______，⑥ ❑ √ ( − 1) 2 = ______；
4 3
(2)计算结果，回答： 一定等于 吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
❑√a2 a
_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若 ，则 ______；
x<2 ❑√(x−2) 2=(4)有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
化简： ．
❑√(b−c) 2−|a+b)+|−a+c)
3．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子：
① ；
√38+√3−8=2+(−2)=0
② ；
√31+√3−1=1+(−1)=0
③ ；
√31000+√3−1000=10+(−10)=0
√ 1 √ 1 1 1
④3 +3− = +(− )=0；
27 27 3 3
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若
______，则√3 a+√3 b=0；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若√32−3x与√32x+6的值互为相反数，求−❑√2x的值．
4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用[n)表示不大于n的最大整数，称为n
的整数部分，用{n)表示n−[n)的值，称为n的小数部分.例如：[1.3)=1，{1.3)=0.3，[5.4)=5，{5.4)=0.4；
请回答下列问题：
(1)当x≥0时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①{3)=0；②0≤{x)<1；③{x+1)={x)+1；④[x+1)=[x)+1；⑤若[x)=a（a为整数），则a≤x<a+1
(2)当x≥0时，解关于x的方程3x−6=2[x+2)+{x)
