文档内容
第 22 课 相似多边形
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）．
①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形
状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列多边形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个正方形
3．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
4．如图，正五边形 与正五边形 相似，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那
么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B． :1 C．3:1 D． :1
6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一个角是100°的两个等腰三角形
B．各有一个角是90°的两个等腰三角形
C．各有一个角是60°的两个等腰三角形
D．各有一个角是50°的两个等腰三角形
7．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的
面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
8．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝
2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点O是四边形ABCD内一点， 、 、 、 分别是OA、OB、OC、OD上的点，且
，若四边形 的面积为12cm2，则四边形ABCD的面
积为（ ）
A．18cm2 B．27cm2 C．36cm2 D．54cm2
二、填空题
11．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
12．如图所示的两个五边形相似，则 _____， ______， _______， ______．13．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
14．若四边形 与四边形 相似， 与 ， 与 分别是对应边，
，则 ________ ．
15．如图，四边形 四边形 ，若 ，则 ________ ．
16．有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其
长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边
衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab= ___cm2
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上
的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．
18．小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为
和 ．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩
色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废
弃不用的彩色纸的面积是_________ ．
三、解答题
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度x．20．网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．
(1)在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
(2)在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为 ．
21．如图，一个矩形广场的长 米，宽 米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条
小路宽为b米，矩形 矩形EFGH．
(1)求 的值；
(2)若 ，求矩形EFGH的面积．
22．如图，四边形 四边形 ，且 ， ， ， ，
， ．求 、 的大小和 的长．
培优第二阶——拓展培优练一、单选题
1．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩
形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D． ：1
2．如图，矩形 矩形 ，连结 ，延长 分别交 、 于点 、 ，延长 、 交
于点 ，一定能求出 面积的条件是（ ）
A．矩形 和矩形 的面积之差 B．矩形 和矩形 的面积之差
C．矩形 和矩形 的面积之差 D．矩形 和矩形 的面积之差
3．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为 cm的纸
条、上下同时剪去宽为 cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则 与
满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形 的四个顶点分别在菱形 的四条边上， ．将 ， 分别沿边
， 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 面积的 时，则 为（ ）A． B．2 C． D．
5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新
三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与
原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
6．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形ABC D，然后顺次连接四边形
1 1 1 1
ABC D 四边的中点，得到四边形ABC D，再顺次连接四边形ABC D 四边的中点，得到四边形
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
ABC D，…，按此方法得到的四边形ABC D 的周长为（ ）
3 3 3 3 8 8 8 8
A． B． C． D．
7．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取 ABC和
DEF各边中点，连接成正六角星形AFBDC E，如图（2）中阴影部分；取 ABC 和 DEF 各边中
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
△
点，连接成正六角星形AFBDC E，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AFBDC E 的
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
△ △ △
面积为（ ）A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中， ， ，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形
，使矩形 矩形ADCB；再连接 ，以对角线 为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形
矩形 ，…，按照此规律作下去，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S，以PB为宽，以
1
AB为长的矩形面积为S，S______S（填“ ”或“ ”或“ ”）．
2 1 2
10．把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到ABC D 的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD的
1 1 1 1
面积的一半，若AC= ，则平移的距离是________.11．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴
影部分为空余部分，若AB=2AD，则 的值为________.
12．我们通常用到的一种复印纸，整张称为 纸（如图 ），按下图方式对折一分为二裁开成为 纸
（如图 ），再一分为二成为 纸（如图 ）…它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一
定值，这个定值是________．
13．如图，正六边形ABC DEF 的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形ABC DEF；正六边形
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
ABC DEF 的6条对角线又围成一个正六边形ABC DEF…；如此继续下去，则六边形ABC DEF 的
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4
面积是_____．
14．已知菱形 的边长为2， =60°，对角线 ， 相交于点O．以点O为坐标原点，分
别以 ， 所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以 为对角线作菱形 ∽菱
形 ，再以 为对角线作菱形 ∽菱形 ，再以 为对角线作菱形 ∽菱形 ，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点 ， ， ，．．．．．．， ，则点
的坐标为________．
三、解答题
15．如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1：4，其中小
五边形的边长为（x2﹣4）cm，大五边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这这根铁丝的总长．
16．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形
的“加倍矩形”
问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；
问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；
（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的 ，则称这个矩形是原矩形的“减
半矩形”．
问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；
问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；
问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）
问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）
（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的
“k倍矩形”（注意 ，且k可以取小于1的数）
问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（ 、 ，用含n、k的关系式
表示）
17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的
空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2xm，
根据题意，得x·2x＝288.
解这个方程，得x＝－12(不合题意，舍去)，x＝12，
1 2
所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)
答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与
B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d
应满足什么条件？请说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2019·甘肃甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的
情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．（2011·海南·中考真题）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部
分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
4．（2012·贵州·中考真题）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的
是（ ）
A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S
=2S
六边形ABCDEF 六边形GHIJKL
5．（2010·山东潍坊·中考真题）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形 沿
对开后，再把矩形 沿 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A． B． C． D．
6．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富
的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别
取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作
GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题
7．（2019·四川内江·中考真题）如图，点 在同一直线上，且 ，点 分别是 的
中点，分别以 为边，在 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别
记作 ，若 ，则 _____．
8．（2014·浙江绍兴·中考真题）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为
、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形
的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周
长之和的最大值是_______．
三、解答题
9．（2012·江苏南京·中考真题）“？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB A′B′，AD A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC
与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、
c、d应满足什么条件？请说明理由．
