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专题突破卷 13 解三角形的图形归类（含中线、角平分线、
高）
1.四边形问题
1．如图，在四边形 中，已知 的面积为 ，记 的面积为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1(1)求 的大小；
(2)若 ，设 ， ，问是否存在常数 ，使得 成立，若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在 合题意
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得 的值，得 的大小；
（2）设 ，利用正弦定理得关于 的代数式，解出 ，利用三角形面积公式，求出 的值.
【详解】（1）在 中，由余弦定理， ，
因为 ，所以 ，
即 ，又因为 ，所以 .
（2）设 ，则 ， ， ，
在 中，由正弦定理， ，
在 中，由正弦定理， ，
两式作商，得 ，
即 ，因为 ，所以 ， ，
， ，
假设 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2解得 .
【点睛】设 ，由题目中角的条件，及 ，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系
式进行计算.
2．如图所示，在平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
(1)求BD的长；
(2)若AC与BD交于点O，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理在 中求解 ，进而根据和差角公式可得
，即可由余弦定理求解，
（2）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解 ，利用面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3在 中， ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可知 ，
所以 ．
（2）由（1）可知 ，又因为 ，所以 为等边三角形，
所以 ， ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ，
故 ，
所以 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可知 ，即 ，解得 ，
所以 ．
3．（ 2023·北京大兴·统考三模）如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
， ， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，结合 再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得 ，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得
，然后根据 ，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求
解 即可.
【详解】（1）∵ ， ，
， ， ;
（2） ， ， ，则 .
， ，
， ，
又 ，在 中，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5，
由正弦定理可知， ，
.
4．如图，四边形ABCD的内角 ， ， ， ，且 ．
(1)求角B；
(2)若点 是线段 上的一点， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，在 、 分别利用余弦定理可得出关于 、 的方程组，
解出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用正弦定理可求得 ，利用勾股定理求出 ，即可求得 的长.
【详解】（1）设 ，
在 中由余弦定理得 ，即 ①，
又在 中由余弦定理得 ，即 ②，
因为 ，则 ，
联立①②可得 （负值舍去）， ，因为 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理知， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6所以 ，
又 ，故 ，
在直角三角形 中，由勾股定理知， ，
此时 ．
5．如图，四边形 是由 与正 拼接而成，设 ， .
(1)当 时，设 ，求 ， 的值；
(2)当 时，求线段 的长.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由题意根据正弦定理可得 的长，由 和正 可求得 ，再根据
平面向量线性运算， ，进而得出 ， 的值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7（2）根据正弦定理和余弦定理可求出 的长，进而得出 ， ，利用余弦和差化积得到
，再根据余弦定理得出 的长.
【详解】（1）在 中，由 ，
可知 .
由于 ， ， ，
， ， ， .
（2）在 中， ，
所以 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8.
6．某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道， 为赛道（不考虑宽度），
为赛道内的一条服务通道 ， ．
(1)求服务通道 的长度；
(2)若 ，求赛道 的长度．
【答案】(1)5
(2) km
【分析】（1）连接 ，在 中，由余弦定理可得 的值，由 ，可得 ，
求出 ，再利用勾股定理可求 的值．
（2）根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）连接 ，∵ ， ， ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
，
， ，
又 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9在 中， ．
（2）在 中， ,
化简得 ,因为 ,所以 .
2.四边形的最值问题
7．如图，在梯形 中， ， ， ．
(1)求CD；
(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，在 与 中分别利用余弦定理得到关于 的方程，解得即可；
（2）首先求出 ，即可得到 ，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
在 中，记 ，
由余弦定理得 ，
在 中， ，
由 得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10即 ，
解得 或 ，
∵ 与梯形矛盾，舍去，又 ，
∴ ，即 ．
（2）由（1）知 ，
故 ， ，
故 ，
在 中， ，
∵ ，（当且仅当 时，等号成立）．
∴ ，
故当 时， 取得最大值 ．
8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ 区域）进行分区改造. 区
域为蔬菜种植区， 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理， 区域规划为
学生自主栽培区. 的周围将筑起护栏.已知 ， ， ， .
(1)若 ，求护栏的长度（ 的周长）；
(2)学生自主栽培区 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【答案】(1)
(2)有，
【分析】（1）利用余弦定理证得 ，从而判断得 是正三角形，由此得解；
（2）在 与 中，利用正弦定理求得 与 关于 的表达式，从而利用三角形的面积公式
得到 关于 的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.
【详解】（1）依题意，在 中， ， ， ，
所以 ，则 ， ，即 ，
所以 ，又 ，故 ，
所以 是正三角形，则 ， ，
所以护栏的长度（ 的周长）为 .
（2）学生自主栽培区 的面积有最小值 ，理由如下：
设 ( )，
在 中， ，则 ，
由正弦定理得 ，得 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，得 ，
所以
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12所以当且仅当 ，即 时， 的面积取得最小值为 ﹒
9．在平面四边形 中； ； ，
(1)若四边形 为圆内接四边形；求 ；
(2)求四边形 面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 和 中，均利用余弦定理表示出 ，可得 ，再由 ，
解出 的值，代入运算，得解；
（2）由（1）知， ①，利用三角形面积公式，可得四边形 的面积
②，由① ② ，并结合三角恒等变换公式，求得 的最大值，得解．
【详解】（1）连接 ，
在 中，由余弦定理知， ，
在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
又四边形 为圆内接四边形，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13（2）由（1）知， ，
所以 ①，
因为 的面积 ，
的面积 ，
所以四边形 的面积 ②，
由①②分别平方相加可得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，
故四边形 面积最大值为 ．
10．在圆 的内接四边形 中， ， ， ，示意如图．
(1)若 是圆 的直径，求 的长；
(2)若圆 的直径为 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）连接 ，利用圆的性质、直角三角形边角关系，结合差角的余弦公式求解作答.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14（2）连接 ，利用正弦定理、余弦定理求出 ，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ，因为 是圆O的直径，
则 与 为直角三角形，有 ，
又 ， ，即 ，整理得 ，
所以 .
（2）
连接 ，因为圆O的直径为 ，则在 中，由正弦定理得 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
设 ，则 ，即 ，解得 ，
设 ，同理在 中有 ， ，解得 ，
因此四边形 的面积
，
所以四边形 的面积为 或 .
【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余
弦定理求解.
11．（ 2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形 中， ， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(1)当四边形 内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形 面积最大时，求对角线 的长.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据 ，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形 的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的
性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以 .
又四边形 内接于圆 ，
所以 ，
所以 ，
化简可得 ，又 ，
所以 .
（2）设四边形 的面积为S，
则 ，
又 ，
所以 ，即
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16平方后相加得 ，即 ，
又 ，
所以 时， 有最大值，即S有最大值.
此时， ，代入 得 .
又 ，所以
在 中，可得：
，即 .
所以，对角线 的长为 .
12．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD.
(1)若AB=3，BC=2，CD=5，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；
（2）设 ，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积 ；
（2）设 ， ，则 ， ．
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
在 中，由正弦定理可得 ，则 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值 ；
综上， 的面积为 ， 的最大值 .
3.外接圆问题
13．在圆O的内接四边形ABCD中， ， ， ， ．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形ABCD的面积为 B．圆O的半径为
C． D．若 于点H，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B，利用正弦定理求
出该外接圆的直径；对于C，利用数量积公式求解判断；对于D，利用数量积公式求解判断．
【详解】对于A，连接 ，在 中， ， ，
， ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18， ， ，
，
，
四边形 的面积 ，故A正确；
对于B，设外接圆半径为 ，则由正弦定理得 ，
该外接圆的半径为 ，故B错误；
对于C，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
所以 ， ,
则由垂径定理得 ，
， ，
解得 ， ， ， ，
,
，故C正确；
对于D，由C选项得 ， ，
,故D正确．
故选：ACD．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1914．如图，已知圆O内接四边形ABCD中， ，则下列说法正确的是
（ ）.
A． B．四边形ABCD的面积为8
C．该外接圆的直径为 D．
【答案】ABD
【分析】A，连接BD，设 ，由 结合余弦定理可得 ，即可得 ；B，由A分析结合
面积公式可判断选项正误；C，由正弦定理可判断选项正误；D，注意到 ，后由数
量积几何意义可判断选项正误.
【详解】A选项，连接BD，设 ，由题可得 ，则 .则由余弦定理：
，则 ，故A正确；
B选项，四边形ABCD的面积 ，故B正确.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20C选项，注意到三角形BCD外接圆为圆O，则由正弦定理，外接圆直径为 ，
故C错误；
D选项， ，取BD，BC中点为F，G，由垂径定理结合向量数
量积几何意义可知 ，故D正确.
故选：ABD
15．平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 的顶点在同
一平面上，已知 ．
(1)当 长度变化时， 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记 与 的面积分别为 和 ，请求出 的最大值．
【答案】(1) 为定值，定值为1
(2)14
【分析】（1）法一：在 中由余弦定理得 ，在 中由余弦定理得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21，两式相减可得答案；法二：在 中由余弦定理得
，在 中由余弦定理得 ，两式相减可得答案；
（2）由面积公式可得 ，令 转化为二次函数配方求最值
即可．
【详解】（1）法一：在 中，由余弦定理 ，
得 ，即 ①，
同理，在 中， ，
即 ②，
① ②得 ，
所以当 长度变化时， 为定值，定值为1；
法二：在 中，由余弦定理
得 ，即 ，
同理，在 中， ，
所以 ，
化简得 ，即 ，
所以当 长度变化时， 为定值，定值为1；
（2）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22，
令 ，
所以 ，
所以 ，即 时，
有最大值为14．
16．已知平面四边形 中， ， ， ， ，且四边形 有外接圆 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，在 和 中，分别利用余弦定理结合 求解；
（2）在 中，利用正弦定理得到 ，再结合 求解.
【详解】（1）解：如图所示：
∵四边形 有外接圆E，∴ ．连接 ，
在 中，由余弦定理可得
①，
在 中，由余弦定理可得 ②，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23由①②可得 ．
∵ ，
∴ ．
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
即 ．
由（1）可知 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ .
17．如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足为 ， 交 于 ，且
．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接 ，由已知条件推导出 ， ，从而得到
，由此能证明 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24（2）由已知条件推导出 ， ， ，从而得到
，由（1）得 ，在 中，由 即可得出 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
又 是 的直径，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
是 的直径，
，
，
，且 为锐角，
，
由（1）得 ，
，
在 中，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25，即 ．
18．如图所示，四边形 的外接圆为圆 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得出 ，由余弦定理得出 ，最后由正弦定理求出 ；
（2）由 ， ，结合余弦定理得出 .
【详解】（1）由 ，可得 .
设 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
解得 （舍去）或 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26由正弦定理得 .
（2） ，
由已知得 ，
设 .
在 中，由余弦定理得 ，
，即 ..
4.内切圆问题
19．在 中，已知 ， ， ．
(1)求 面积；
(2)求 内切圆半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由三角形面积计算公式 ，代入计算即可；
（2）首先由余弦定理求出 ，再由等面积法即可求出 内切圆半径．
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ．
（2）由 ，
解得 ，
设 内切圆半径为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27则 ，
所以 ，
故 内切圆半径为 ．
20．如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，
BC，AC长度分别为30m，50m，70m．
(1)求圆形水域面积；
(2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧 上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，
并准备在 修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径
的最大值．
【答案】(1) 平方米
(2) 米．
【分析】（1）由余弦定理可得 ，结合正弦定理可得外接圆半径，即可由圆的面积求解，
（2）由余弦定理以及等面积法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为 中，由余弦定理得，
，又因为 ，所以 ．
设圆形水域半径为R米，由正弦定理 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28所以圆形水域面积为： 平方米．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ．①
设圆形观赏鱼饲养区的半径为r米，
则 ，
将①式代入上式得 ．
因为 ，解得 ．
当且仅当 时， 取得最大值为140m，
所以r的最大值为 米．
答：圆形观赏鱼饲养区半径的最大值为 米．
21．锐角 中，内角 所对的边分别为 ， 且 ， .
(1)求证： ；
(2)将 延长至 ，使得 ，记 的内切圆与边 相切于点 ， 是否为定值？若是，求
出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) 为定值
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到 ，结合 的范围和 可证得结论；
（2）将 进行角化边可整理得到 的关系，根据向量线性运算可得到 ，
根据向量数量积运算律可求得 长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.
【详解】（1）由 ， 得： ，
即 ，整理得： ，
由正弦定理得： ，
又 ， ，
， ，又 ， ，
， .
（2）由（1）得： ， ，又 ，
整理可得：
， ，
设内切圆圆心为 ，内切圆与边 分别相切于点 ，
则 ， ， ，
，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30， ，
又 ， .
22．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ． 的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理和余弦定理求得 ，进而得到A，B，C，D四
点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得： ，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦
函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在 中， ，
所以 ，由正弦定理， ，可得 ，
再由余弦定理， ，又 ，所以 .因为 ，
所以 ，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于 外接圆的半径.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31又 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 . ，
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ， ，则
，
又 ，所以 ，所以 ， ，所以 .
5.垂线问题
23．在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)设BC边上的高 ，求S的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积公式与三角形面积公式与三角恒等变换公式求解即可；
（2）由题意和（1）可得 ，再由余弦定理可得 的最小值，进而求出该三角形的面积最小值．
【详解】（1）由 可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32即 ，则 ，故 .
因为 ，故 ，则 .
（2）由题意 ，所以 ①
而
所以 ，当且仅当 时等号成立②
由①②两式可知， ，当且仅当 时取等，
所以 ，即 面积的最小值为 ．
24．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标运算，利用三角恒等变形的公式化简整理得 的值，然后通过
平方可得 的值；
（2）先利用（1）的结果得到 的值，综合得到 的值，再利用三角形的面积公式以及正弦
定理边化角可得 的值.
【详解】（1）由已知得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
，又 ，
，
，
，
，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3425．已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)设 为边 上的中点，点 在 边上，满足 ，且 ，四边形 的面积为 ，求
线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角化简所给式子，再借助 运用两角和的正弦公式化简即可
得到答案.
（2）由（1）的结论和三角形内角和可得角 的大小，再由正弦定理可表示出 和 中的边
长，进而求出两个三角形的面积，再由四边形的面积等于两个三角形的面积之差可求出 的值，再由余
弦定理可得线段 的长．
【详解】（1）证明： ， 由正弦定理得 ，
又 ，
，
即 ，
，
，即 ，或 ，即 （舍），
故：证得 ．
（2） ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35D为BC的中点， ， ，
， ，
，
解得 ， ， ， ，
在 中，由余弦定理可得：
，
故：线段CE的长为 ．
26． 中 在边 上,且 ．
(1)求 的长;
(2)若 于 ,求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先在 中由余弦定理求得 的长,再由 求得 的长,由
可求 ,最后在 中由余弦定理即可得 的长;
（2）由（1）可得 , , 的长,即有 的长,在 中由余弦定理可得 ,再求 ,
又有 ,又有 ,则有 ,将 写为 ,根据两角差的余弦公式
代入即可求出结果.
【详解】（1）解:由题知
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36是等腰三角形, ,
在 中,由余弦定理得:
,
即 ,
,
,
,
在 中,由余弦定理得:
,
即 ,
;
（2）由（1）知, ,
在 中,由余弦定理得:
,
,
,
,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37,
故 .
6.角平分线问题
27． 中， 的角平分线 交AC于D点，若 且 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】利用三角形面积公式得到 ，由基本不等式求出 ，从而得到面积
的最小值.
【详解】由三角形面积公式可知 ，
，
故 ，
又 ，
所以 ，即 ，
由基本不等式得 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38故答案为：
28．在 中， ， ，D为BC上一点，AD为 的平分线，则
.
【答案】
【分析】在 中，根据正弦定理可求出 ，从而可得 ，即得 ．
【详解】如图， 在 中， ， ，
由正弦定理可得 ，
，又 ，
， ，
又 为 的平分线，且 ，
，又 ， ，
．
故答案为：2．
29．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出 ，再由向量的运算得出 的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出 ，再由 得出 ，最
后由对勾函数的单调性得出 的最大值.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，即 .
由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
因为 为边 中点，所以 ，则 .
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
30．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b．c．若 ，角A的平分线 交 于点D，
， ，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． 的面积为 D．
【答案】AC
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41【分析】利用面积法求 边验证选项A；利用内角平分线定理验证选项B，面积公式计算 验证选项
C；余弦定理求 边验证选项D
【详解】如图所示，
，则 ， ，
由 ，即有 ，
所以 ，因为 ，所以 ，故A正确；
由内角平分线性质可知， ，即 ，故B错误；
，故C正确；
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，故D错误．
故选：AC
31．（ 2023·江苏盐城·统考三模）在 中, 为 的角平分线,且 .
(1)若 , ,求 的面积;
(2)若 ,求边 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设 , ,根据 得到 ,在 中,利用余弦定理
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42得到 ,由两者相等结合 的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为 ,
所以 ,
得: ,
解得 ,
所以 .
（2）设 , ,
由 得
,
即 ,
所以 ,
又在 中 ,
所以 ,
得 ,
因为 且 ,
得 ,
则 ,
所以 ,
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43即边 的取值范围为 .
32．在 中，点D是BC上一点，AD平分 ， ， ，求：
(1) 的值；
(2)若 ，求CD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积比可得 ，根据角平分线的性质有 ，再应用正弦边角关系和已知、
二倍角正弦公式得 ，即可得求解；
（2）由（1）得 ，利用三角形内角性质、和角正弦公式求 ，最后应用正弦定理求 ，再
由 求长度.
【详解】（1）由 ，又AD平分 ，即 ，
所以 ，
由正弦边角关系知： ，又 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44所以 .
（2）由 ，且 ，则 ，而 ，
由（1）及三角形内角知： ，则 ，
，
所以 ，
由 ，则
又 ，故 .
7.中线问题
33．在 中，内角 的对边分别为 .已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 为 的中点，求线段 的长.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，得出 的关系，再根据 得出 的关系，再利用余
弦定理即可得解；
（2）先根据三角形的面积公式求出 ，再向量化即可得解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45【详解】（1）由正弦定理 ，可得 ，
即 ，
又因为 ，得 ，
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
由 ，得 ，
所以 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ，
即线段 的长为3.
34．已知 中， ， ．
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①
；②周长为 ；③面积为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46【答案】(1) ；
(2)详见解析.
【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解，
（2）利用三角形内角和可得 为等腰三角形，进而利用周长或者面积可得 的值，进而利用余弦定
理即可求解.
【详解】（1）由 和正弦定理可得 ，由于 ，所以
.
（2）若选择①： ，又 ，
所以 ，
又由正弦定理可得 ，矛盾，这样的 不存在；
若选择②：由于 ，进而 ，故 .
此时 为等腰三角形，由余弦定理可得， ，
而周长为 ，所以 .
BC边上的中线 的长度为：
；
若选择③：由于 ，进而 ，故 ，
此时 为等腰三角形，面积为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47BC边上的中线的长度为：
．
35．在 中， ， ， 为 边上的中点，且 的长度为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，结合余弦定理可得到 ，由此可整理得
到 ；在 中，利用余弦定理可得 ，解方程组可求得 .
【详解】
在 中， ；
在 中， ；
， ，又 ，
，
整理可得： ，即 ，
， ；
在 中， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48，解得： （舍）或 ，
.
故选：A.
36．在① ，② ，③ 这三个条
件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求角B；
(2)若 ，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；
若选条件②，先去分母后，用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求
解；
若选条件③，先用三角形的内角之和为 结合诱导公式得到 ，再利用正弦定理和两角
差的余弦公式化简，即可求解；
（2）由向量的加法可得： ，平方后结合已知条件得到 （ ），
再由二次函数的图像与性质，即可求解.
【详解】（1）选择条件①：
由正弦定理，可得：
可得： ，
又由余弦定理，可得：
因为 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49选择条件②：由 ，得： ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
， ， ，
所以 ，则 .
选择条件③：
因为 ，可得： ，
由正弦定理可得：
可得： ，整理可得： ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
即 ，
则
，所以 ，
故线段BD的取值范围为 .
37．已知在 中， ， ．
(1)求A的大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
① 周长为 ；② ；③ 面积为 ；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）原式可化为 ，可得 或 ，通过分析即可解得 ；
（2）由（1）知， ， .根据正弦定理，可推得 .
若选① 周长为 ，则 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选② ，可推得 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选③ 面积为 ，根据面积公式可推得 ， ，然后根据余弦定理即可求得中线的长；
若选④ ，由（1）可推得 ，与条件 矛盾，即不存在这样的三角形.
【详解】（1）由 可得， ，
即 ，所以 ，
所以 或 .
当 ，即 时，又 ，所以 ；
当 时，
又 ，则由余弦定理知， ，
这与 矛盾，舍去.
所以， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51（2）
若选①，由（1）知， ， .
由正弦定理可得 ，
又 周长为 ，所以 ， ，则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选②，即 ，由（1）知， ， .
则 ，根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52若选③，即 面积为 .由（1）知， ， ，则 .
，所以 ，则 ，所以 ，
根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选④ .
由（1）知， ， .
根据正弦定理 ，可得 ，
与 矛盾，所以，不存在这样的 .
38．在 中， ，点D在边 上， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53(1)若 ，求 的值，
(2)若 ，且点D是边 的中点，求 的值.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出 的值；
（2）作出辅助线，得到 ，由余弦定理求出 ，从而求得答案.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得： ，
所以 ，解得 或 ，
经检验均符合要求；
（2）在 中，过D作 的平行线交 于E，
因为点D是边 的中点，所以点E为AC的中点，
在 中， ，
又 ，所以 .
由余弦定理得： ，
所以 ，所以 或 （舍去），
故 .
8.其余等分点问题
39．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 54(1)求证： ；
(2)若 ，点 为边 上一点， ， ，求边长 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可换成正弦值相等，利用三角恒等变换、正余弦定理求解.
（2）已知 ，可求出 的值，再由（1）可求出 ，再由正余弦定理可解三角形.
【详解】（1） ，
，
或
当 时， ， ， 即 ，
综上
（2） ， ， ，
，
，
设 ， ， ， ，
在 中：
，
40．已知三角形ABC， ，
(1)若 且AD为 的平分线，D为BC上点，求 的值.
(2)若 ， ，求AD的长
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 55【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等面积法求出 ，再利用余弦定理求出 ，即可得解；
（2）根据 ，利用双余弦定理求解即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，
即 ，
得 ，
在 中， ，
所以 ；
（2）因为 ， 知 ， ，
在三角形ABD中 ，
在三角形ACD中 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
解得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5641．在① ；② ；③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段 延长线上的一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.
选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.
选择③：由正弦定理边化角，再由 展开计算可得结果.
（2）设 ， ， ，在△ABC中，由 、 列等式①②，在 中，
由 列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.
【详解】（1）若选择①，∵ ．∴ ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∵ ∴ ；
若选择②，∵ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 57∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ∴ ；
若选择③，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ．∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ；
（2）设 ， ， ，
在 中，用余弦定理可得 ，
即 ①，
又∵在 中， ，
即 .即 ，即 ②，
在 中，用余弦定理可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 58即 ③，③ +①可得 ，
将②式代入上式可得 ， ．
42．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若BC边上点E满足 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由正弦定理可得 的值，进而根据向量的模长公式即可求解 .
【详解】（1） 在 中，点 在边 上， ，
，
，
， ．
由正弦定理可得
（2）由（1）知 ，且 为钝角三角形，由 得 ，
, ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59，
在 中,由正弦定理得 ，解得 ,
所以 ，
，
所以
43．某农户有一个三角形地块 ，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域 （点 在 上）用
来养一些家禽，经专业测量得到 .
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）在 中应用正弦定理得出 的长；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 60（2）由 结合面积公式得出 ，再由余弦定理得出 ， ，进而得出 的周长.
【详解】（1）解：在 中， ，且 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
在 ，由正弦定理可得 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，即： ，可得 .
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理可得
所以 的周长为 .
44．记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
【答案】(1)
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61【分析】（1）由余弦定理化简可得出 ，可求出 的值，再结合角 的取值范围可求得
角 的值；
（2）求出 、 的值，设 ，则 ，分别在 和 中，利用正弦定理
结合等式的性质可得出 、 的等式，即可求得 的值，即为所求.
【详解】（1）解：因为 ，
由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
（2）解：因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 62所以， .
1．在 中， ，D为BC的中点，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】先设 ，由三角形三边关系得到 ，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到
，从而利用换元与基本不等式求得 的最小值，结合 与 在 上
的单调性即可求得 的最大值.
【详解】设 ，则 ，
因为 为 的中点， ，所以 ，
由三角形三边关系，可知 且 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，解得 ，
则 ， ，
令 ，则 ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 63则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
因为 在 上单调递减， 在 单调递增，
所以当 取得最小值时， 取得最大值，
此时 ，则 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
.
【点睛】关键点睛：本题中突破口为 ，由此得到 ，再结合余弦定
理得到 ，最后利用基本不等式即可得解.
2．在锐角 中，角 的对边分别是 ， ， ，若
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求中线 长的范围（点 是边 中点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到 ，从而求出结果；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64（2）先利用向量的中线公式得到 ，再利用正、余弦定理及条件求出 的范围，进而求出
结果.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得：
即 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）得 ，且 ，由余弦定理知， ，得到 ，
因为点D是边BC中点，所以 ，两边平方可得:
，
所以 ，
因为 ，又 ， ，
所以 ,
又因为 为锐角三角形， 所以 ， ，得到 ，
所以 ，由 的图像与性质知， ，
所以 ，所以 ，得到
故 .
3．已知D是 的边BC上一点，且 ， ， ，则 的最大值为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 65．
【答案】 /
【分析】设 ， ， ，则 ， ，再在 和 中分别列出余弦定
理，根据 联立可得 ，再结合 ，得
到 ，进而消去 ，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设 ， ， ，则 ， ．
在 中， ；
在 中， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，整理 ①．
因为 ，所以 ．
在 中， ，
即 ，结合①可得
，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成
立．
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 664．如图，平面四边形 中， ， ， ， ，则四边形 的面积的最大
值为 ．
【答案】
【分析】令 ，利用余弦定理、三角形面积公式将四边形 的面积表示为 的函数，
再求出函数最大值作答.
【详解】连接 ，如图，令 ，
在 中，由余弦定理得： ，
因 ， ，则 ，
因此，四边形 的面积
，而 ，则当 ，即 时， ，
所以四边形 的面积的最大值为 .
故答案为：
5．在 中，点D在BC 上，满足AD＝BC， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得 ，再由 ，得到 ，即得证；
（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得 ，设 ，在△ABD与△ACD中，分别
使用余弦定理，解方程组可求出 或 ，依题意排除 ，利用余弦定理即可求出 .
【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ①，
由已知得： ②，
由①②联立得： ，
因为 ，所以 ．
故AB，AD，AC成等比数列；
（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，
故 ，由（1）知： ③，
在△ABD中，设 ，由已知得 ，
由余弦定理得： ，
即 ④，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 68在△ACD中，设 ，由已知得 ，
由余弦定理得： ，
⑤，
由⑤＋④×2整理得： ⑥，
由③⑥联立整理得： ，
解得： 或 ，
当 时，由 可求得 ，所以 故舍去，
当 时，由 可求得 ，满足 ，
在△ABC中，由余弦定理得
综上：
6．如图， 中， ， 的平分线AD交BC于 ．
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求AD的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质可得可得 ，即可利用余弦定理，联立方程即可求解，
（2）由向量的线性运算以及模长公式，即可求解.
【详解】（1）设A，B，C的对边分别是a，b，c,
因为AD是 的平分线，所以 到AB，AC的距离相等，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 69又 ，所以 ，所以 ．
由题意 ， ．
中， ①,
中， ②
联立①②得 ．又 ，则 ．
所以 ．
（2）因为 ， ， ．
所以
所以 ．
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
7．某市为提升城市形象，打造城市品牌，拟规划建设一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，
某主题公园为五边形区域ABCDE（如图所示），其中三角形区域ABE为健身休闲区，四边形区域BCDE
为文娱活动区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知 ，
， ， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 70(1)求道路BE的长度；
(2)求道路AB、AE长度之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连结 ，应用余弦定理求得 ， 中应用正弦定理可得 ，最后由
勾股定理求道路BE的长度；
（2）设 ， 中用正弦定理得 ，进而应用辅助角公式、正弦
型函数的性质求 最大值.
【详解】（1）如图，连结 ，
在 中，由余弦定理得
，则 ，
∵ ，则 ，又 ，
∴ ，
在 中 ， ， ，由正弦定理， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71∴ ， 或 （舍去），即 ，
由 ，得 ，即 的长度是
（2）设 ，由 ，得 ，
在 中，由正弦定理 ，
，
∴
∴ ，又 ，
∴ ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
即道路 长度之和的最大值为
8．在 中， 对应的边分别为 的外接圆 面积为 .
(1)求 的值；
(2)若点 在 上，且直线 平分角 ，求线段 的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可求得 ，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为 ，即可求出
；
（2）利用角平分线定理可得 ，再由余弦定理计算可得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 72【详解】（1）由 ，利用余弦定理可得
，所以 ；
因此 的外接圆 的半径为 ，
所以 的外接圆 的面积
（2）如下图所示：
由直线 平分角 ，利用角平分线定理可得 ，
又 ，所以 ，
因此在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，即线段 的长度为
9．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求角 ；
(2) 是 边上的点，若 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 73【分析】(1)由已知 ，切化弦，通分，用两角和的正弦公式化简，可求出角 ；
（2）结合图形，有 ， ，在 中，由余弦定理求出 ，
再由正弦定理得到 .
【详解】（1）由 ，得 ，
由两角和的正弦公式和正弦定理得：
，
， ， ，
∴ ，由 有意义， ，
， ，
，∴
（2）如图所示
由 ，有 ， ，在 中，由余弦定理，
有 ， ，
由正弦定理， ， .
10．在平面四边形 中， ， ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 74(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）分析可知 为等边三角形，求出 的长，以及 ，利用正弦定理可求得 的长；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，进而可求得四边形 周长的最大值.
【详解】（1）解：连接 ，
因为 ， ，故 为等边三角形， ，
，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 75由正弦定理得 ，所以， .
（2）解：由余弦定理可得
，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.
因此，四边形 周长的最大值为 .
11．如图， 是边长为3的等边三角形，线段 交 于点 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中由余弦定理及已知可求得 的长，再由正弦定理可得到 ；
（2）由（1）得到 ， 中由余弦定理可求得 的长.
【详解】（1）解：在 中，由余弦定理可得 ，代入数据可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 76， ，
由正弦定理可得 ，
所以 ；
（2）在 中，由（1）及余弦定理得 ，
，
又 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
故 .
12．如图，已知在 中，M为BC上一点， ， 且 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若AM为 的平分线，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 求得 ，由 可得 ，结合 得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 77，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得 ，根据角平分线性质定理可求得 ，再求得 ，由三角形面积公式
可得答案.
【详解】（1）因为 ， ,
所以 ，
因为 ，
所以由正弦定理知 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
在 中， ．
（2）由题意知 ，设 ，
由余弦定理得 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ，
因为AM为 的平分线，
所以 （h为底边BC的高）
所以 ，故 ，
而由（1）知 ，
所以 ．
13．从① ；② 条件中任选一个，补充到下面横线处，
并解答
：在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 78(1)求角A；
(2)若 外接圆的圆心为O， ，求BC的长.
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒
等变换即可.
（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.
【详解】（1）解：选择条件①：
因为 ，由正弦定理，可得 ，
即 ，所以 .
因为 ，所以 .
选择条件②：
因为
所以 ，即 .
因为
所以
所以 ， .
（2）由题意，O是 外接圆的圆心，所以 ，
所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 79故此 .
在 中，由正弦定理， ，即 ，解得 .
14．在 中， ， ， ．
(1)求 和 的值；
(2)求BC边上的高．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出 的值，然后利用正弦定理可得 的值；
（2）BC边上的高为 ，即可算出答案.
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以由余弦定理得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以由正弦定理可得 ， ；
（2）BC边上的高为 .
15．在① ，② ，③ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
【答案】(1)
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 80【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由
正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.
（2）根据面积公式可得 ，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）方案一：选条件①．
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以 ．
方案二：选条件②．
因为 ，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得 ，即
，
因为 ，所以 ，
又
所以 ，因为 ，所以 ．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得 ，
即 ，∴ ，∴由余弦下定得 ．
又 ，所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 81（2）由题意知 ，得 ．
由余弦定理得 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ．
16．如图，在平面四边形ABCD中， ， ，且 的面积为 .
(1)求A，C两点间的距离；
(2)设 的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 .作 的内切圆，
求这个内切圆面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求解；
（2）由所给条件求出B，再由内切圆性质求半径 ，法一利用正弦定理及正弦型函数的
性质求 最值得解；法二利用均值不等式求出 最大值得解.
【详解】（1）在 中，因为 ，所以 .
由余弦定理可得
，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82故A，C两点间的距离是 .
（2）根据三角形面积公式有 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，得 .
设 内切圆的半径是 ，
因为 ，则 .
所以
又 ，
因此 ，
解法一：在 中， ， .
由正弦定理得 ，
所以 ， ，
于是
.
又 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 83当 时， 取得最大值 ，从而 取得最大值2.
故内切圆面积的最大值为 .
解法二：
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，此时 .
内切圆面积的最大值为 .
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