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2.7 二次根式
课堂知识梳理
二次根式：一般地，形如
√a(a≥0)
式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：a≥0．
二次根式的性质：
√a √a
= (a≥0,b≥0)
√ab=√a×√b(a≥0,b≥0), b √b
.
最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最
简二次根式。
二次根式的乘法法则和除法法则:
√a √a
=
√a⋅√b=√a⋅b √b b
(a≥0,b≥0)； (a≥0,b＞0)
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列各式： ， ， ， 中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3.二次根式 中字母 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．计算 的结果是（ ）
A．9 B．-3 C．3或-3 D．3
5．下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7． ＝ 成立的条件是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣5 C．﹣1＜m≤5 D．﹣1≤m≤5
8．若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．化简下列各式；
（1） _________； （2） _________； （3） _________；
（4） _________； （5） _________； （6） _________；（7）
______﹔ （8） _________；
10．计算；（1） __________________；（2） _________；（3） _________；（4）
=__________，（5） __________；（6） ____________；（7） __________；（8）
__________．
11．计算：（1） ________；（2） ________．
12．计算 的结果等于_______．
13．计算： =_____．
14．比较大小：（1） _________ ；
（2） _________ ；
（3） _________ ；
（4） _________ ．
15．已知最简二次根式 与 的被开方数相同，其中 ，则 ________.
16．化简：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
（5） ； （6） ； （7） ； （8） ．
17．计算：
（1） ； （2） ； （3）（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） ．
18．计算：
（1） （2）
（3） （4）
培优第二阶——拓展培优练
19．化简x ，正确的是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
20．若 ，则 的值为______．
21．已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
22．若记 表示任意实数的整数部分，例如： ， ，…，则
（其中“+”“－”依次相间）的值为______.
23．阅读，并回答下列问题：公元3世纪，我国古代数学家刘徵就能利用近似公式 得到 的近似值.
（1）他的算法是：先将 看成 ，利用近似公式得到 ，再将 看成 ，
由近似公式得到 ___________≈______________；依次算法，所得 的近似值会越来越精确.
（2）按照上述取近似值的方法，当 取近似值 时，求近似公式中的 和 的值.
24．先阅读，后解答：
， ；像上述解题过程中， 与
、 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题
过程也称为分母有理化．
(1) 的有理化因式是______； 的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
① ______； ② ______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
25．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．
这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问
题：
(1)若 ，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
，b= ；
(2)若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简： ．
培优第三阶——中考沙场点兵
26．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
27．（2022·山东青岛·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
28．（2022·天津·中考真题）计算 的结果等于___________．29．（2022·湖北武汉·中考真题）计算 的结果是_________．
30．（2021·湖南娄底·中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
31．（2020·重庆·中考真题）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 沿着AD
翻折，得到 ，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若 ， ， ， 的
面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
32．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已
知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
．现有周长为18的三角形的三边满足 ，则用以上给出的公式
求得这个三角形的面积为______．
33．（2022·新疆·中考真题）计算：
