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专题 13 立体几何与空间向量
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体
积为（ ）
A． B． C． D．
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC
所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．（全国甲卷数学（文））设 是两个平面， 是两条直线，且 .下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
4．（新高考北京卷）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ，
，该棱锥的高为（ ）.A．1 B．2 C． D．
5．（新高考天津卷）若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 相交
6．（新高考天津卷）一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（新高考上海卷）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为0
的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国甲卷数学（理））已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 和 ，母线长分别为 和
，则两个圆台的体积之比 ．
9．（新高考北京卷）已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、
三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ．
10．（新课标全国Ⅰ卷）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ．(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
11．（新课标全国Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF对折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
12．（全国甲卷数学（文））如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
13．（全国甲卷数学（理））如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
14．（新高考北京卷）已知四棱锥P-ABCD， ， ， ， ，E是 上
一点， ．
(1)若F是PE中点，证明： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
15．（新高考天津卷）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面 ，
，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
16．（新高考上海卷）如图为正四棱锥 为底面 的中心．
(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
一、单选题
1．（2024·内蒙古·三模）设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 则“ ”
是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·河南·模拟预测）设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条相交的直线，已知 ， ，
则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．（2024·河北石家庄·三模）设 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题为真命题
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（2024·辽宁·二模）设 ， 是两个平面， ， ， 是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
5．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，若三棱锥 外接
球的表面积为 ，则三棱锥 的高为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东泰安·三模）已知圆台 的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面 是边长为4的正方形， ， ， ，
均与底面 垂直，且 ，点E、F分别为线段 、 的中点，记该几何
体的体积为 ，平面 将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北·三模）已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，若三棱锥外
接球的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·云南曲靖·二模）在三棱锥 中， 两两垂直， ，则直线
与平面 所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱 中， ，E、F、G、H分别为 的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．E、F、G、H四点共面
B． 三线共点
C．设 ，则平面 截该三棱柱所得截面的周长为
D． 与平面 所成角为
12．（2024·辽宁·二模）长方体 中，四边形 为正方形，直线 与直线 所成角
的正切值为2，则直线 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则
下列结论正确的个数是（ ）
（1）三棱锥 的体积为定值；
（2）直线 与平面 所成的角的大小不变；
（3）直线 与 所成的角的大小不变，（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
14．（2024·河南新乡·三模）已知 为空间中三条不同的直线， 为空间中三个不同的平面，
则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 与 为异面直线
C．若 ，且 ，则
D．若 ，则
15．（2024·安徽·三模）已知四棱锥 的底面是边长为3的正方形， 平面 为等腰
三角形， 为棱 上靠近 的三等分点，点 在棱 上运动，则（ ）
A． 平面
B．直线 与平面 所成角的正弦值为
C．
D．点 到平面 的距离为
16．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形 中， ， ， ，
， ，将四边形 沿 进行折叠，使 到达 位置，且平面 平面 ，
连接 ， ，如图2，则（ ）
A． B．平面 平面
C．多面体 为三棱台 D．直线 与平面 所成的角为17．（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的有
（ ）
A．若 ， ， ，则
B． ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方体 中， 分别为棱
的中点，点 是面 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． 四点共面 B．平面 被正方体截得的截面是等腰梯形
C． 平面 D．平面 平面
19．（2024·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
，点E，M，N分别为AD，PD，BC的中点，记过点M，N，E的平面为 ，四棱锥P-ABCD的体
积为V，则（ ）A．AM⊥平面PCD
B．BM⊥PD
C．平面 截四棱锥P-ABCD两部分中较大部分几何体的体积为
D．平面PBC⊥平面PCD
三、填空题
20．（2024·上海·三模）已知空间向量 ， ， 共面，则实数
21．（2024·陕西·三模）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 的一点，则下面
结论中正确的序号是 ．（填序号）
① ；② ；③ 平面 ；④平面 平面 ．
22．（2024·福建福州·一模）已知三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，
， ，则三棱锥的外接球的半径为 ．
23．（2024·四川遂宁·三模）若长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 的
中点，现给出以下四个命题：
①②平面 平面
③三棱锥 的体积为
④三棱锥 的外接球的表面积为
则正确命题的序号是 ．
四、解答题
24．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱 中， 是棱BC上一点（点D与点 不重合），且
，过 作平面 的垂线 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，当三棱锥 的体积最大时，求AC与平面 所成角的正弦值．
25．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台 中，
， ， ．
(1)记平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
26．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥 中，点 在平面 内的投影为点 ，， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
27．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直
角梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
28．（2024·河北衡水·三模）如图，在三棱柱 中，四边形 是矩形， ，
．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
29．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台 中，平面 平面 ， ，
， ．
(1)求三棱台 的高；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
30．（2024·山东日照·二模）在三棱锥 中， ， 平面 ，点 在平面 内，且
满足平面 平面 ， ．
(1)求证： ；
(2)当二面角 的余弦值为 时，求三棱锥 的体积．31．（2024·辽宁大连·二模）已知一圆形纸片的圆心为 ，直径 ，圆周上有 两点.如图：
， ，点 是 上的动点.沿 将纸片折为直二面角，并连接 ， ， ， .
(1)当 平面 时，求 的长；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
32．（2024·四川·三模）正方体 的棱长为2， 分别是 的中点.
(1)求证： 面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
