专题13运用空间向量研究立体几何问题（原卷版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）2924143

专题13 运用空间向量研究立体几何问题 1、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面 ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3． (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 2、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中 点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的 正弦值．3、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A B C 的体积为4，△A BC的面积为2√2． 1 1 1 1 (1)求A到平面A BC的距离； 1 (2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A−BD−C的正弦值． 1 1 1 1 1 4、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点． (1)证明：OE//平面PAC； (2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．5、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且 ． （1）求 ； （2）求二面角 的正弦值． 6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点． （1）证明： ；（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? ABCABC AACC  7、（2019 浙江 19）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 ABC，ABC 90， 1 1 1 1 1 BAC 30,AA AC  AC,E,F 分别是AC，A B 的中点． 1 1 1 1 （1）证明：EF  BC； （2）求直线EF与平面A BC所成角的余弦值． 1 8、（2020全国Ⅰ理18）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值． 9、（2020 全国Ⅲ理 19）如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ． （1）证明：点 在平面 内； （2）证明：若 时，求二面角 的正弦值． 题组一、线面角 1-1、（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角 中， 分别为 的中点，将沿直线 翻折，得到如图2所示的四棱锥 ，若二面角 的大小为 ， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 1-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥 中，已知 底面 ， ， ， ， ， 是 上一点. （1）求证:平面 平面 ； （2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体 中，已知 均为边长为2 的等边三角形，平面 和平面 都与平面 垂直， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 题组二、面面角 2-1、（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点.（1）证明： 平面 ； （2）若平面 平面 ， 为等边三角形，求二面角 的正弦值. 2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥 的底面是矩形， ，侧面 底面OBCD． （1）求证： 底面OBCD； （2）若 ，二面角 的大小为120°，求四棱锥 的体积． 2-3、（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，平面 底面 ，且 .（1）证明： . （2）若 ，求二面角 的余弦值. 题组三、探索性问题 3-1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形， ， ， . （1）证明：平面 平面 ； （2） ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，若二面角 的平面角的大小为 ，试确定点 的位置.3-2、（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，Q为 的中点， 是边长为2的正三角形， ． （1）求证：平面 底面 ； （2）棱 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在， 说明理由． 3-3、（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 棱 ， 的中点， 为棱 上的动点.（1）求证： ， ， ， 四点共面； （2）是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的长度；若不存在，说明理由. 3-4、（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体 中， ， ．若平面 APSB与棱 ， 分别交于点P，S，且 ，Q，R分别为棱 ，BC上的点，且 ． （1）求证：平面 平面 ； （2）设平面APSB与平面 所成锐二面角为 ，探究： 是否成立？请说明理由． 1、（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线．（1）求证：OA⊥PB； （2）若C底面圆上一点，且 ， ， ， ，求直线PC与平面PAB所成角的 正弦值． 2、（2022·山东莱西·高三期末）在如图所示的三棱柱 中，侧面 为菱形， ， ， ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面ABC的夹角的余弦值.3、（2022·山东淄博·高三期末）如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ，E为PC的中点，点F在PD上且 ． （1）求证： 平面AEF； （2）求二面角 的余弦值． 4、（2022·湖北武昌·高三期末）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将 正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上． （1）求证： ； （2）若二面角 的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK 与平面CDEF所成角的正切值为 ？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．