专题13运用空间向量研究立体几何问题（2）（原卷版）_02高考数学_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题 13 运用空间向量研究立体几何问题（2） 1、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?题组一、运用向量解决几何体中的距离问题 1-1、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如图，在三棱柱 中， 平面 ABC，D，E分别为AC， 的中点， ， ． (1)求证： 平面BDE； (2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值； (3)求点D到平面ABE的距离． 1-2、（2023·安徽黄山·统考三模）如图，在直角梯形 中， ， ，四边形 为平 行四边形，对角线 和 相交于点 ，平面 平面 ， ， ， 是线 段 上一动点（不含端点） (1)当点 为线段 的中点时，证明： //平面 ； (2)若 ， ，且直线 与平面 成 角，求二面角 的正弦值．1-3、（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）如图，四棱柱 的侧棱 ⊥底面 ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为 ， 的中点. (1)证明： 四点共面； (2)若 ，求点A到平面 的距离.题组二、最值问题 2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A B C 中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8， 1 1 1 AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC B 为等腰梯形，且B C ＝CC ＝4，M为B C 中点． 1 1 1 1 1 1 1 （1）证明：平面ABC⊥平面AOM； （2）记二面角A－BC－B 的大小为θ，当θ∈[ ， ]时，求直线BB 平面AA C C所成角的正弦的最大值． 1 1 1 1 2-2、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）如图，四棱锥P- ABCD的底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2等边三角形， ，点E为CD的 中点，点M为PE上一点（与点P，E不重合）． （1）证明：AM⊥BD； （2）当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？2-3、（南京市2023届高三年级学情调研）（本小题满分12分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的 圆心，圆锥的底面直径AB4，母线PH 2 2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形. （1）设平面POH平面PBC l，证明：l∥BC； （2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点， 当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长. 题组三、探索性问题 3-1、（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形， ， ，M，N分别是线段AB，PC的中点． (1)求证：MN 平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由． 3-2、（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长 为 的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， . (1)求 到平面 的距离； (2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由. 3-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）如图，三棱柱 的侧棱 底面 ， ，E是棱 上的动点，F是 的中点， ， ， ．（1）当 是棱 的中点时，求证： 平面 ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值是 ？若存在，求出 的长；若不存 在，请说明理由． 3-4、（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图 ，菱形 的边长为 ， ，将 沿 向 上翻折，得到如图 所示得三棱锥 . (1)证明： ； (2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在， 求出 ；若不存在，请说明理由.ABCDABC D ABCD 1、（2021·山东济宁市·高三二模）（多选题）如图，直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为平行 1 四边形， AB  AA 1  2 AD1 ，BAD60，点P是半圆弧 A 1 D 1 上的动点（不包括端点），点Q是 BC 半圆弧 上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ） PBCQ A．四面体 的体积是定值 (cid:5) (cid:5) ADAP 0,4 B． 1 的取值范围是 1 tan C．若 C 1 Q 与平面ABCD所成的角为，则 2D．若三棱锥 PBCQ 的外接球表面积为S，则 S4,13 ABCDABC D DD 2、（2021·山东滨州市·高三二模）在正方体 1 1 1 1中，M是棱 1的中点，P是底面ABCD内 ABC AC MP// (包括边界)的一个动点，若 平面 1 1，则异面直线MP与 1 1所成角的取值范围是（ ）  π        0,   ,   ,   ,  A． 3 B．6 3 C．3 2 D．3  3、（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 为 的中点， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求点A到平面 的距离. 4、（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，点D为BC中点．(1)求二面角 的余弦值； (2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为 ，若存在，求出点M的位置；若 不存在，说明理由． 5、（2023·吉林·统考三模）如图，在多面体 中，四边形 和四边形 均是等腰梯形，底 面 为矩形， 与 的交点为 ， 平面 ，且 与底面 的距离为 ， (1)求证： 平面 ； (2)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ．若存在，请确定点 的 位置；若不存在，请说明理由．