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专题十三 《解析几何》讲义
13.8 存在性问题
知识梳理 . 存在性问题
1.存在性问题的求解方法
(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤：
①假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；
②列出关于待定系数的方程(组)；
③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法
2.字母参数值存在性问题的求解方法
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利
用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应
的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条
件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程
题型 . 存在性问题
1．已知椭圆 x2 y2 的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个
C： + =1(a＞b＞0)
a2 b2
顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
1
（Ⅱ）过点S(0，− )的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存
3
在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．2．（2015·四川）如图，椭圆E：x2 y2 的离心率是√2，过点P（0，1）
+ =1(a＞b＞0)
a2 b2 2
的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线
段长为2√2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
|QA| |PA|
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 =
|QB| |PB|
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知直线l 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l ：3x﹣4y﹣6＝0，且l 与抛物
1 2 2
线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l 的距离之和的最小值等于
1 2
2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）点M在直线l 上运动，过点M做抛物线C的两条切线，切点分别为P ，P ，在
1 1 2
平面内是否存在定点N，使得MN⊥P P 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不
1 2
存在，请说明理由．
4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（m，2），且P到抛物线焦点的距离为2，直线l过
点Q（2，﹣2），且与抛物线相交于A，B两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点Q恰为线段AB的中点，求直线l的方程；
（3）过点M（﹣1，0）作直线MA、MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三
点能否共线？若能，求出直线l的斜率k；若不能，请说明理由．
课后作业 . 存在性问题
1．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1
相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是
否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．设椭圆E的方程为x2 （a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（a，
+ y2=1
a2
1
0），（0，1），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为 ．
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（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T（0，t）（t≠1），问是
否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．
