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专题22.42 二次函数的图象与性质常考知识点分类专题（基础练）
一、单选题
【考点一】二次函数的定义➼➻定义★★参数★★求值
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数 是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【考点二】二次函数性质➼➻对称轴★★顶点坐标★★开口方向
3．（2022·浙江杭州·校考一模）二次函数 的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2020·西藏日喀则·统考一模）关于抛物线y＝4x2－3的下列说法，正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为（0，－3） B．抛物线开口向下
C．抛物线的对称轴是直线x＝－3 D．抛物线与x轴有一个交点
【考点三】二次函数图象➼➻二次函数图象★★与其他函数图象综合
5．（2023·江西吉安·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 的图象和二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函
数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【考点四】二次函数图象➼➻图象的平移★★图象的旋转
7．（2023·贵州铜仁·统考三模）将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移
2个单位后，顶点在直线 上，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，再
向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=2（x﹣1）2﹣2 B．y=2（x+1）2﹣2
C．y=﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2
【考点五】二次函数图象➼➻图象的对称
9．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数 ，其图象过点
，则h的值应该是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右
两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用 表示，则右面抛物
线的表达式是（ ）A． B．
C． D．
【考点六】二次函数图象与性质➼➻求解析式
11．（2022秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）二次函数 的图象关于 轴对称的抛物线
解析式是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）把抛物线 向右平移 个单位，再向下平
移 个单位，得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
【考点七】二次函数图象与性质➼➻二次函数的增减性（比较大小）
13．（2022春·福建福州·八年级校考期末）若 ， ，点 ， 均
在二次函数 的图象上，且 则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时， ；14．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考期中）已知抛物线 ，当 时，则
（ ）
A． B． C． D．
【考点八】二次函数图象与性质➼➻二次函数化为顶点式
15．（安徽省合肥市部分学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）将二次函数
化成 的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）抛物线 ，点 ， ， ，则 、
、 的大小关系是（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C． a>b>c D．无法比较大小
【考点九】二次函数图象与性质➼➻二次函数化的图象求参数
17．（2021·浙江杭州·校考一模）已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，
则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2022春·九年级课时练习）二次函数 的图象经过原点，则 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．0
【考点十】二次函数图象➼➻二次函数化各项系数符号
19．（2023·山东青岛·校考一模）抛物线 的图象如图所示，则下列四组中正确的
是（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
20．（2023秋·九年级课时练习）抛物线 如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点十一】二次函数图象➼➻判断代数式的符号
21．（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）已知二次函数 的图象的对称轴为直线
，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．其中正确结论的是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．①②⑤
22．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于
两点，与 轴交于点 ．对称轴为直线 ．直线 与抛物线 交于 两点，点在 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：① ；② ；③ ；④
．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点十二】二次函数图象与性质➼➻二次函数综合
23．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线
的顶点为A，过点A作y轴平行线交抛物线 于点B，连接 、 ，则
的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
24．（2023·安徽黄山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，过
点 平行于 轴的直线交抛物线 于 、 两点，点 在抛物线 上且在 轴的上方，连
接 ， 则 面积的最大值是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
【考点一】二次函数的定义➼➻定义★★参数★★求值
25．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如果函数 是二次函数，
则m的值为 ．
26．（2023·四川南充·统考一模）点 在函数 的图象上，则代数式 的值
等于 ．
【考点二】二次函数性质➼➻对称轴★★顶点坐标★★开口方向
27．（2021·山东威海·统考一模）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，
那么 的最大值是 ．
28．（2020·浙江·模拟预测）已知函数 在自变量 的范围内，相应的函数最小
值为0，则 的取值范围是 ．
【考点三】二次函数图象➼➻二次函数图象★★与其他函数图象综合
29．（2023·上海·一模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象
不经过 象限．30．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）若一次函数 的图象与x轴的
交点坐标为 ，则抛物线 的对称轴为
【考点四】二次函数图象➼➻图象的平移★★图象的旋转
31．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）将抛物线 先向左平移2个单位长度，
再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
32．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点 旋
转 ，当 时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
【考点五】二次函数图象➼➻图象的对称
33．（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点 ， 和 在抛物线 的
图象上，那 ， ， 之间的大小关系是 ．
34．（2022·河南鹤壁·统考一模）已知二次函数 的图象上两点 ，若
，则 ．
【考点六】二次函数图象与性质➼➻求解析式
35．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）图象的顶点为 ，且经过原点的二次函数的解
析式是 ．
36．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由 元降为 元，设平均每次降价的百分率是 ，则 关于 的函数表达
式为 ．
【考点七】二次函数图象与性质➼➻二次函数的增减性（比较大小）
37．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知抛物线 上有三点 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为 （从小到大排列）
38．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）在二次函数 （ ）中， 与 的部分
对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 2 m n 0 …
则 ， 的大小关系为 n．（填“ ”“ ”或“ ”）
【考点八】二次函数图象与性质➼➻二次函数化为顶点式
39．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）若抛物线 的顶点在 轴上，则
．
40．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）抛物线 的顶点坐标是 ．
【考点九】二次函数图象与性质➼➻二次函数化的图象求参数
41．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数 ，当x＜a时，y随x的增大
而增大，则实数a的取值范围是 ．
42．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知函数 ，则使 成立的 值恰好有三个，
则 的值为 ．【考点十】二次函数图象➼➻二次函数化各项系数符号
43．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图是二次函数 图象的一部分，则
0（填“ ”“ ”“ ”）
44．（2023·上海·一模）如图所示的抛物线 的图像，那么 的值是 ．
【考点十一】二次函数图象➼➻判断代数式的符号
45．（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数 的图象过点 ，
对称轴为直线 ，则下列结论：① ；②方程 的两个根是 ， ；③当
时， 随着 的增大而增大；④ ．其中正确结论是 （填写序号）．
46．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，二次函数 的图像与 轴的交于与 点，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①
②
③抛物线与 轴的另一个交点坐标是
④若点 ， ， 在抛物线上，则
⑤一元二次方程 的
【考点十二】二次函数图象与性质➼➻二次函数综合
47．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，二次函数 的图像的顶点为A，与y轴的交点
为点B，过点B作 轴交函数图像于点C，连接 、 ，则 的面积为 ．
48．（2023秋·浙江·九年级专题练习）华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，
‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质
上去研究．如图，已知抛物线 的图象与f的图象关于直线 对称，我们把探索线的变化
规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为 ．若抛物线 与g的图象关于 对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
参考答案
1．A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
2．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
3．D
【分析】根据 ，即可求得．
解：
该二次函数的对称为直线 ，
故选：D.
【点拨】本题考查了求二次函数的对称轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的方法是解决本题
的关键．
4．A
【分析】根据抛物线的解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵ 抛物线y＝4x2－3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，－3），故A正确，
a＝4＞0，抛物线开口向上，故B错误，
抛物线对称轴为y轴，故C错误，
抛物线与x轴有两个交点，故D错误，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．A
【分析】先由一次函数 图象与二次函数 的图象分别求出对应的 ， 的范围，
再相比较看是否一致即可．
解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题的关键．
6．B
【分析】先根据抛物线对称轴为直线 推出 ，再根据当 时， ，得到 ，
由此即可得到答案．
解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出 ， 是解
题的关键．
7．D
【分析】先求出二次函数 的图象平移后的顶点坐标，再将它代入 ，即可
求出k的值．
解：∵二次函数 的顶点坐标为 ，
将 的图象向右平移 个单位，向上平移 个单位后顶点坐标为 ， ．
根据题意，得 ，
解得 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数 的图象平移后的顶点坐标是解题的关
键．
8．C
【分析】抛物线y=2x2绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方
程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．
解：∵把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y=﹣2x2，
∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解
题的关键．
9．C
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线 由于A、B的纵坐标都是2，求得对称
轴为直线 ，即可得出 ．
解：由解析式可知抛物线的对称轴为直线
∵点 ，它们的纵坐标相同，
∴对称轴为直线 ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的
关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．
10．A
【分析】根据题意可得抛物线开口方向和大小不变，顶点坐标关于 轴对称，即可求解．
解：∵左面抛物线可以用 表示，
∴顶点坐标为则右面抛物线的顶点坐标为
∴右面抛物线的表达式 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，关于 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握顶点式是解题的
关键．
11．A
【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可．
解：∵二次函数 的图象关于 轴对称的抛物线解析式是 ，
化简得， ，
故选：A．
【点拨】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确熟知基本变换性质是解题的关
键．
12．A
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移2个单位，
得到的抛物线是： ，即 ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题
的关键．
13．B
【分析】由题意可知抛物线开口向上，抛物线与 轴的交点为 ， ，即可求得抛物线对称轴
为直线 ，然后根据二次函数的性质判断即可．
解： ，
抛物线开口向上，
， ，
抛物线与 轴的交点为 ， ，抛物线对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
点 ， ， ， 均在二次函数 的图象上，且 ，
A、当 时，无法确定 、 的大小，故A不合题意；
B、当 时，则 ，故B符合题意；
C、当 时，则点 ， 到对称轴的距离大于点 ， 到对称轴的距离，故 ，故C不
符题意；
D、当 时，则点 ， 到对称轴的距离大于点 ， 到对称轴的距离，故 ，故D
不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
14．A
【分析】根据题意可得图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，从而得到当 时，
y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，再分别求出当 时，当 时的函数值，即可
求解．
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15．D
【分析】利用配方法化成顶点式即可得到答案．
解： ，
将二次函数 化成 的形式为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了把 化成顶点式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式
是解题的关键．
16．A
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 ，然后比较三个点都直线 的
远近得到 、 、 的大小关系．
解： 二次函数的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
、 ， ，
点 离直线 最远， 离直线 最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：A．
【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
17．D
【分析】首先在坐标系中画出已知函数 的图象，利用数形结合的方法即可找到
使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．
解：函数 的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，∴k＝3．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根
据函数图象找交点的问题．
18．C
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二
次函数的定义确定a的值．
解：把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不
要掉了a+1≠0．
19．D
【分析】根据函数图象可以判断 、 、 的正负情况，从而可以解答本题．
解：由函数图象，可得
函数开口向上，则 ，
顶点在 轴右侧，则 、 异号， ，
图象与 轴交点在 轴负半轴，则 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确 、 、 的符号根据图象如何判断．
20．A
【分析】根据抛物线的顶点在第一象限即可得出结论．
解： 抛物线 的顶点坐标为 ，由图象可知，抛物线的顶点在第一象限，，
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
21．C
【分析】根据图象可得 ， ， 符号，根据对称轴为直线 可得 ，从而判断①②，
根据 时 可判断③，由 时 取最大值可得 ，从而判断④，由抛物线对
称性可得 时， ，即 ，由 可得 ，从而判断⑤．
解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
，①错误，
，②正确．
时， ，
，③错误．
当 时， 取最大值，
，
令 ，则 ，即 ，
④正确．
时 ，
抛物线对称轴为直线 ，
，
，即 ，
，⑤正确．
∴正确的有②④⑤，故选：C．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
22．B
【分析】利用抛物线与 轴的交点位置得到 ，利用对称轴方程得到 ，则 ，
于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，则当 时，
，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到 时，二次函数有最大值，则
，于是可对③进行判断；由于直线 与抛物线 交于 、 两点，
点在 轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得 时，一次函数值比二次函数值大，即
，然后把 代入解 的不等式，则可对④进行判断．
解： 抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，所以①正确；
抛物线与 轴的一个交点在点 左侧，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点在点 右侧，
当 时， ，
，所以②错误；
时，二次函数有最大值，
，
，所以③正确；
直线 与抛物线 交于 、 两点， 点在 轴下方且横坐标小于3，
时，一次函数值比二次函数值大，
即 ，
而 ，
，解得 ，所以④正确．
故选：B．【点拨】本题考查了二次函数与不等式（组 ：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求
自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
23．B
【分析】根据已知条件得到抛物线 的顶点 的坐标为 ，求得点 的横坐标为
2，把 代入 得， ，得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：抛物线 的顶点 的坐标为 ，
轴，
点 的横坐标为2，
把 代入 得， ，
，
，
的面积为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
24．D
【分析】先确定 ，再解方程 得 ， ，所以 ，设 ，利用
三角形面积公式表示出 ，然后利用二次函数的性质解决问题．
解：当 时， ，则 ，
当 时， ，解得 ，则 ， ，
，
设 ，当 时， 面积的最大值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
解：∵ 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：2．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
26．3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，将其代入 中即可
求出结论．
解： 点 在函数 的图象上，
，
，
则代数式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是
解题的关键．
27．-2
【分析】根据根与系数的关系求出 和 的值，代入 ，然后根据二次函数的性
质求解即可．解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-（k+1）2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答
本题的关键．
28．1≤m≤3
【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得．
解：画出函数y= 的图象如图：
在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3，
故答案为1≤m≤3．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，画出函数的图象，根据图象求得m的取值是解题的关键．
29．第一
【分析】由抛物线开口向上可知 ，抛物线与 轴交于正半轴得 ，抛物线的对称轴 在
轴右侧，即 ，得 ，则直线 中 ， ，它经过二、三、四象限，可得答
案．解：由抛物线开口向上可知
抛物线与 轴交于正半轴，
抛物线的对称轴 在 轴右侧
，得
则直线 中 ， ，它经过二、三、四象限，即不经过第一象限
故答案为：第一
【点拨】此题考查了一次函数图像与系数的关系，根据抛物线图像性质得 、 、 正负是解题关键．
30．直线x=-2
【分析】根据一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，可得 ，再代入，即
可求解．
解：∵一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，
∴当y=0时， ，
解得： ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
故答案为：直线x=-2
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及抛物线的对称轴，属于基础题型，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
31．
【分析】先把 配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标 ，再把点 先向左平移2
个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得出答案．
解：
即抛物线的顶点坐标为
把点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故 不变，所以求平移后的抛
物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析
式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
32．
【分析】先确定旋转后抛物线的开口方向和对称轴，再由题意列出关于k的不等式进行求解．
解：∵ ， ，
∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，
∵将该抛物线绕点 旋转 后开口向下，
∵旋转后的对称轴为直线 ，开口向下，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的图象与性质的应用能力，关键是掌握二次函数的图象和性质．
33． /
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
解： 抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而减小， 关于称轴是直线 的对称点是 ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此
题的关键．34．
【分析】根据抛物线的轴对称的性质即可求解．
解：∵抛物线的对称轴为： ， 两点在抛物线上，且 ，
，
解得， ，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的轴对称的性质是解本题的关键．
35．
【分析】已知了抛物线的顶点坐标，适合用二次函数的顶点式 来解答．
解：根据题意，
图象的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
由于抛物线经过原点，则有：
，
，
这个二次函数的解析式为： ，即 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，在已知抛物线顶点坐标的情况下，
通常用顶点式设二次函数的解析式．
36．
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
解：某药品经过两次降价，每盒零售价由 元降为 元，设平均每次降价的百分率是 ，则 关于
的函数表达式为：，
即 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
37．
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为 ，图象开口向上，根据二次函数图象的对
称性可判断 ，根据二次函数的性质即可判断 ．
解：因为 ，开口向上，在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知， 和 关于直线 对称，
因为 ，
故 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，
熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
38．
【分析】根据表格的 、 的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
解：由表格知：图象对称轴为：直线 ，当 时， ,
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∵ ， 分别为点 ， 和 ， 的纵坐标，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的
关键．
39．【分析】将抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标，然后根据顶点在x轴上，可得顶点纵坐标为
0，然后求解即可．
解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∵顶点在 轴上，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，求出顶点坐标是解题的关键．
40．
【分析】首先把 配方成为 ，然后即可确定抛物线 的顶点
坐标．
解：
，
抛物线 的顶点坐标是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，二次函数 的顶点坐标为 ；此题也考查了
配方法求顶点式．
41．a≤1
【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．
解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴a≤1，
故答案为a≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
42．
【分析】画出函数图像，结合函数图像可得 的值．
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
如图：点 关于 轴的对称点为 ，
∵ 成立的 值恰好有三个，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质．涉及顶点坐标，图像的对称变换等知识点。利用图像变换
画出函数图像，数形结合解题是关键．
43．
【分析】分别根据开口方向，与y轴交点，对称轴的位置，可判断出a，b，c的符号，即可得解．
解：由图可知：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，准
确读图．44．
【分析】把原点坐标代入抛物线解析计算即可求出b的值，再跟进抛物线的对称轴在y轴的右边判断
出b的正负情况，然后求解即可．
解：有图可知，抛物线经过原点（ ），
将（ ）代入 中得，
，
解得： ，
∵抛物线的对称轴在 轴的右边，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，准确识图判断出函数图像经过原点坐标是解题的
关键．
45．①②③
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴与y轴的交点，判断①正确；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②正确；
③根据二次函数的增减性即可判断③正确；
④根据 时， ，即可判断④错误．
解：①∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的正半轴交于一点，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵抛物线与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ，∴抛物线与x轴的另外一个交点为 ，
∴方程 的两个根是 ， ，故②正确；
③∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随着 的增大而增大，故③正确；
④根据函数图象可知，当 时， ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，数
形结合．
46．①③④
【分析】根据函数图像可得 ， ，对称轴为直线 ，由此可判定①；根据图示，令 ，
函数值小于零可判定②；根据点 的坐标与对称轴可判定③；根据函数的对称轴，增减性可判定④；根据
图像确定二次函数系数的符号可判定⑤；由此即可求解．
解：二次函数 的图像与 轴的交于 与 点，且对称轴为 ，
∴点 ， ，且 ， ，
∴ ，
∴结论① ，
∵ ，
∴ ，故结论①正确；
结论② ，
根据图示，当 时， ，故结论②错误；
结论③抛物线与 轴的另一个交点坐标是 ，
∵ ，对称轴为 ，
∴ ，故结论③正确；
结论④若点 ， ， 在抛物线上，则 ，∵对称轴为 ，
∴当 与 时的函数值相等，即 ，
当 时， 随 的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故结论④正确；
结论⑤一元二次方程 的 ，
∵ ， ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，故结论⑤错误；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握根据图像判定系数的符合，函数值的大小，函数的
增减性等知识是解题的关键．
47． /1.5
【分析】过点A作 ，垂足为D，根据二次函数的性质和顶点坐标公式可求出A、B、C三点
的坐标公式，即可求出答案．
解：过点A作 ，垂足为D，如图所示，
由题意得，二次函数解析式为 ，
令 ，解得： ，∴B点坐标为 ，
∵ 轴，
∴C点纵坐标也等于c,
∵二次函数的顶点是A点，
根据顶点坐标公式 ，把a，b，c代入得：
， ，
∴A点坐标为 ，
∵二次函数关于对称轴 对称且B点坐标为 ，
∴C点坐标为 ，
∴ 的长为 ， 的长为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图形和性质，灵活运用所学知识是解题关键．
48．
【分析】设 ， 为图象 上任意点，则关于 的对称点为 ， ，把 ， 代入抛
物线 后即可得出要求的函数解析式；
解：设 ， 为图象 上任意点，则关于 的对称点为 ， ，
把 ， 代入 得∶
∴ ，故答案为∶ ．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换的知识，明确关于的对称的点的坐标特征是解题的关键．
