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第 2 章第 06 讲 易错易混淆集训：实数(4 类热点易错题型讲
练)
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【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】.........................................................1
【易错二 易混淆a与√a的平方根】.............................................................................................................3
【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】........................................................................................5
【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对 √a 2 =|a|理解不透彻致错】...........................................6
【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2023春·广西梧州·七年级统考期末）在 ， ， ， ， ，3.14， ，
0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义进行判定即可．
【详解】解：在 ， ， ， ， ，3.14， ，0.1515515551…（两个1之间依次
多1个5）中，无理数有 ， ，0.1515515551…（两个1之间依次多1个5）中，共3个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，正确理解定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）在 、 、 、 、 、 、 、
、 、 中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D【分析】先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即．
【详解】解：根据题意可得： ， ，
∴无理数有： ， ， ， 、 ，共5个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：
开不尽方的数，含 的数，有规律但是不循环的数．
2．（2023春·河南信阳·七年级统考期末）下列各数： ， ， ， ， ， （每
两个 之间依次增加 个 ），其中无理数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有
理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可．
【详解】解： ， ， ， ， ， （每两个 之间依次增加 个 ），
其中无理数有： ， ， （每两个 之间依次增加 个 ）共 个，
故选： ．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分
数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
3．（2023春·江西赣州·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合中．
， ，π， ， ，0， ， ．
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据有理数的定义即可得；
（2）根据无理数的定义即可得；
（3）根据正实数的定义即可得．
【详解】解： ， ，
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：（3）正实数集合：
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ．
【点睛】本题考查了有理数、无理数、正实数的定义，掌握实数的概念与分类是解题关键．
4．（2023春·云南昭通·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的集合里：
．
有理数集合：{ ，…}；
无理数集合：{ ，…}；
正实数集合：{ ，…}；
负实数集合：{ ，…}．
【答案】： ； ； ；
【分析】直接利用有理数、无理数，正实数，负实数的定义得出答案．
【详解】有理数集合： ；
无理数集合： ；
正实数集合： ；
负实数集合： ．
【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握有理数、无理数，正实数，负实数的定义是解决本题的关键．
【易错二 易混淆a与√a的平方根】
例题：（2023春·甘肃武威·七年级统考期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A，81的平方根为 ， ，因此该选项正确；
B，16的算术平方根为4， ，因此该选项错误；
C， ，因此该选项错误；D，被开方数应大于等于0，因此该选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，注意两者的区别是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）下列说法中正确的是（ ）
A． 的算术平方根是 B． 是 的平方根
C． 的平方根是 D． 的算术平方根是
【答案】B
【分析】根据算术平方根和平方根的定义分别分析得出答案．
【详解】A、 ，4的算术平方根是2，故该选项错误．
B、12是144的平方根，故该选项正确．
C、 ，5的平方根是 ，故该选项错误．
D、 的算术平方根是 ，故该选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习） 的平方根是 ， 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义以及算术平方根的定义进行计算即可求解．
【详解】解： ， 的平方根是 ， 的算术平方根是
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根、算术平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一
个数的平方等于 ，那么这个数就叫 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
3．（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中） 的算术平方根是 ； 的平方根是
．
【答案】 3
【分析】先求出 ，再求9的算术平方根即可；求出 ，再求4的平方根即可．
【详解】解： ，9的算术平方根为： ，
，4的平方根为： ，
故答案为：3， ．
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握算术平方根和平方根的求法是解题的关键．
4．（2023春·广东惠州·七年级校考期中） 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ．【答案】 / 3
【分析】根据算术平方根概念即可解决问题．
【详解】解： ，
的算术平方根是 ；
，9的算术平方根是3，
的算术平方根是3．
答案： ；3
【点睛】本题主要考查了算术平方根概念的运用．此类问题要先计算再求算术平方根．
【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】
例题：（2023·河南洛阳·统考模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】根据被开方数是非负数， 有意义的条件是 ，列出不等式求解即可．
【详解】∵函数 有意义，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂有意义的条件，熟练掌握有意义的条件时解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·北京·九年级专题练习）若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解即可得到答案．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
由题意得： ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）二次根式 中字母 的取值范围是 ．
【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可知 即可．
【详解】解：∵要使二次根式 有意义，
则
∴ ，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
3．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到 ，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
即 的取值范围是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对 √a 2 =|a|理解不透彻致错】
例题：化简二次根式 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件可得 ，再利用二次根式的性质化简即可得．
【详解】
解： ，
，
则 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式训练】1．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴b<0，
∴ =－ ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键．
2．若 成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．实数 、 在数轴上的对应点如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据数轴上的点的位置判断出 的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号
合并同类项即可得到结果．
【详解】
∵由数轴上点的位置得：
∴
∴原式
．
故选：D
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．
4．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是（ ）
A．4 B．2a C．2b D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 在数轴上的位置可得： 再根据 化简计算即可．
【详解】
解：
故选A
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简，掌握“ ”是解本题的关键．
5．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是 的立方根，c是 的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)-2，-3，
(2) ，
【解析】
【分析】
(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
(1)
由题意得： ， ， ，
故答案是：-2，-3， ；
(2)
由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式= ．
当 ， 时
原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．(1)通过计算下列各式的值探究问题：
① ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ．
探究：对于任意非负有理数a， ＝ ．
② ＝ ； ＝ ； ＝ ； ＝ ．
探究：对于任意负有理数a， ＝ ．
综上，对于任意有理数a， ＝ ．
(2)应用(1)所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： － －
＋|a＋b|.【答案】（1）①4，16，0， ；a；②3，5，1，2；-a；|a| ；(2) －a－3b．
【解析】
【分析】
（1）①②根据要求填空即可；
（2）先根据数轴上点的位置确定：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0，再根据（1）中的公式代
入计算即可．
【详解】
① =4； =16； =0； = ．
探究：对于任意非负有理数a， =a．
② =3； =5； =1； =2．
探究：对于任意负有理数a， =－a．
综上，对于任意有理数a， =|a|．
(2)观察数轴可知：－2＜a＜－1，0＜b＜1，a－b＜0，a+b＜0．
原式=|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|
=－a－b＋a－b－a－b
=－a－3b．
【点睛】
本题属于阅读理解问题，主要考查了算术平方根和平方的定义、数轴的知识，正确把握算术平方根定义是
解题的关键．
