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第二章 实数
2.2 平方根
基础篇
一、单选题
1．【2022北京文江中学】求 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．±2
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义得出 即为4的算术平方根，进而求出即可．
【详解】
解： =2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，熟练利用算术平方根的定义是解题关键．
2．【郑州外国语中学期末】 的算术平方根是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】
先求出 =9，再根据算术平方根的定义求出即可．
【详解】
解：∵ =9，
∴ 的算术平方根是 =3，故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，能熟记算术平方根的定义的内容是解此题的关键．
3．【2022西安铁一中第二月考】若 为实数，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案．
【详解】
解：由题意得，x+1=0，y-3=0，
解得，x=-1，y=3，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是绝对值的性质、算术平方根的概念和非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0是解题的关键．
4．【2022交大附中一模】下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义分别计算，即可判断．
【详解】
解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项正确；
C、 ，故选项错误；D、 ，故选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根，解题的关键是掌握相应的定义和求法．
5．【2022西安市第一中学】已知一个数的平方根是 ，这个数是（ ）
A． B．9 C．81 D．
【答案】B
【分析】
直接利用平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵3或-3的平方等于9，
∴这个数是9．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，主要利用了被开方数应等于对应平方根的平方．
6．【2022成都七中初中学校期末】下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
A.根据算术平方根法则解题；
B.根据同类项定义解题；
C.根据幂的乘方法则解题；
D.根据单项式乘以多项式法则解题．
【详解】
解：A. ，故A错误；
B. 与 不是同类项，不能合并，故B错误；C. ，故C正确；
D. ，故D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、同类项的定义、单项式乘以多项式、算术平方根等知识，是重要考点，
难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．【2022厦门无缘实验中学】若 与 互为相反数，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．1
【答案】B
【分析】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入进行计
算即可得解．
【详解】
解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ， ，
∴x=-3，y=9，
∴x+y=-3+9=6，
故选B．
【点睛】
本题考查了相反数的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．【2022北京四中】下列说法正确的是（ ）
（1）若 ，那么
（2） 的算术平方根是8
（3）两个无理数的和仍是无理数，两个无理数的积有可能是有理数（4）单项式 的系数是 ，次数是2
A．（2）（4） B．（1）（3） C．（3） D．（2）
【答案】D
【分析】
根据平方根、算术平方根、实数的运算，单项式的定义分别判断即可．
【详解】
解：（1）若 ，那么 ，故错误；
（2） =64，64的算术平方根是8，故正确；
（3）两个无理数的和有可能是有理数，两个无理数的积有可能是有理数，故错误；
（4）单项式 的系数是 ，次数是3，故错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根、实数的运算，单项式的定义，属于基础知识，难度不大．
9．【2022衡水中学期末】若a，b为实数，且 ，则 的值是（ ）
A． B．2018 C．1 D．
【答案】A
【分析】
根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】
解：∵ ，
∴a+1=0，b-1=0，
∴a=-1，b=1，
∴-（ab）2018=-[（-1）×1）]2018=-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．
10．【2022天津中学期末】下列有四个结论：①若 ，则 或 ；
②若 ，则 的值为 ；
③若 的运算结果中不含x项，则 ；
④若 ，则 可表示为 ，以上结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】
根据多项式乘法的法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法，零指数进行计算即可得到结论．
【详解】
解：①若（1-x）x+1=1，
当1-x=1即x=0时， 11=1，
当x+1=0即x=-1时， 20=1，
当1-x=-1即x=2时， (-1) 3=-1(不满足题意舍去)
故①选项正确；
②∵（a-b）2=a2+b2-2ab=3-2ab=1，
∴ab=1，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=1+4=5，
∴a+b=± ，
∴（2-a）（2-b）=4-2（a+b）+ab=5±2 ，故②选项错误；
③∵
=
=
∵运算结果中不含x项，∴4+2a=0，
∴a=-2，故③选项正确；
∵4x=a，8y=b，
∴a=22x， ，
∴24x-3y= ，故④选项正确．
故选C．
【点睛】
本题综合考查了零次幂、多项式乘法、完全平方公式，利用平方根的含义解方程，等基本内容，熟练掌握
幂的运算性质是解题的关键．
提升篇
二、填空题
11．【2022杜郎口中学期末】若 ， 为实数，其 ，则 的值为______．
【答案】1
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵|x+2|+ =0，
∴x+2=0且y-3=0，
解得：x=-2、y=3，
则(x+y)2021=(-2+3)2021=12021=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为
0．12．【2022咸阳实验中学期末】若 ，则 的值为__________．
【答案】-2
【分析】
先根据非负数的性质得a、b、c的值，再代入计算可得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得：a=1，b=-1，c=-1，
∴b+c=-1+(-1)=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，掌握绝对值、平方和二次根式的非负性是解决此类问题的关键．
13．【2021西安交通大学附属中学期中】若 ， ．则 的值为_______
【答案】
【分析】
两式相加，构造 ，求16的平方根即可
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =±4，
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键．14．【2021陕师大附中期末】已知，字母a、b满足 ＝0，则 + +
+…+ 的值为_______
【答案】
【分析】
先利用非负数性质，求出：a＝1，b＝2，再利用裂项法求连续两数积的倒数和即可．
【详解】
解：∵ ＝0， ，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝1，b＝2，
则原式＝ ，
= ，
= ，
= ．
【点睛】
本题考查非负数性质，裂项法求值，掌握非负数性质，裂项法求值方法，把 是解题关
键．
15．【2022汉滨中学第二次月考】若a、b、c为三角形的三条边，则 +|b-a-c|=_______【答案】．2a
【分析】
根据三角形的三边关系可知， ，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答.
【详解】
根据三角形的三边关系可知，
∴
∴
【点睛】
本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关
键.
16．【2022北京二十七中】如图，OP＝1，过P作PP ⊥OP，得OP ＝ ；再过P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，
1 1 1 1 2 1 1 2
得OP ＝ ，又过P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，得OP ＝2，……依此法继续作下去，得OP ＝_____．
2 2 2 3 2 2 3 3 2017
【答案】
【分析】
首先根据勾股定理求出 ，再由 ， ， 的长度找到规律进而求出 的长．
【详解】
解：由勾股定理得：
， ， ， ；
依此类推可得： ，，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，解题的关键是由已知数据找到规律．
17．【2022西安85中学期末】已知a，b，c满足 ，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值． _______， _______， _______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长
度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】
（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：
（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的
表示方法．
18．【2022西安高新一中】（1）已知 ， 是9的算术平方根， ________
__________ _________ 的平方根＝___________．
（2）已知数 与 互为相反数， 与 互为倒数， ，式子
____________．
（3）已知 ，且 ，则 __________
【答案】（1）5，4，3， ；（2） ；（3）6或-6或0
【分析】
（1）根据算术平方根的定义求出x，y，z，再代入计算，最后求出 的平方根；
（2）根据相反数，倒数，有理数的加法得到a+b=0，cd=1，x=-2，再代入计算；
（3）根据绝对值的意义和性质得到x和y的取值，再代入计算．
【详解】
解：（1）∵ ， 是9的算术平方根，
∴x=5，y=4，z=3，∴ = =11，
∴ 的平方根为 ；
（2）∵ 与 互为相反数， 与 互为倒数， ，
∴a+b=0，cd=1，x=-2，
∴ = = ；
（3）∵ ，
∴x=±3，y=±3，
∵ ，
∴x+y≤0，
∴x=3，y=-3，或x=-3，y=3，或x=-3，y=-3，
∴ 6或-6或0．
【点睛】
本题考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，算术平方根和平方根的定义，属于基础知识，要熟练掌握
相应的运算方法．
三、解答题
19．【2022交大二附北校区】阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，
那么这个三角形的面积为 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条
边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称
为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在 中， ， ， ．（1）求 的面积；
（2）过点 作 ，垂足为 ，求线段 的长．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
（2）利用面积法求CD的长．
【详解】
（1）∵ ， ， .
∴ ，
∴
∴ 的面积是6
（2）如图过点 作 ，垂足为 ，
∵
∴ 是 的高∵
∵
∴ .
【点睛】
本题考查了求算术平方根和阅读理解能力，解题关键是理解题意，准确应用公式进行计算．
20．【南京实验中学期中】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的
日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可；
（2）设中间那个数为 ，列得 ，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
【详解】
解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，；
(2)证明：设中间那个数为 ，则：
∴ ．
．
【点睛】
此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题
的关键．
