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专题突破卷 20 立体几何的截面问题
1.作出截面图
1．如图，直四棱柱 的底面为正方形， 为 的中点．
(1)请在直四棱柱 中，画出经过 三点的截面 并写出作法（无需证明）．
(2)求截面 的面积．
2．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为 的中点.过 作该正方
体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；3．如图，正方体 的棱长为6， 是 的中点，点 在棱 上，且 .作出过
点 ， ， 的平面截正方体 所得的截面，写出作法；
4．如图，在正方体 ，中，H是 的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证：
(1)证明；F，G，H，B四点共面；
(2)平面 平面 ﹔
(3)若正方体棱长为1，过A，E， 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．5．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为 的中点.
(1)过 作该正方体的截面，使得该截面与平面 平行，写出作法，并说明理由；
(2)设 分别为棱 上一点， 与 均不重合，且 ，求三棱锥 体积的最大
值.
2.截面的周长及面积问题
6．如图，在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 的中点，过 作该正方体
外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体 的棱长为2，点 为线段 的中点，若点 平面 ，且 平面 ，
则平面 截正方体 所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．8．在棱长为2的正方体 中，P，Q是 ， 的中点，过点A作平面 ，使得平面
平面 ，则平面 截正方体所得截面的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在棱长为4的正方体 中， 的中点是P，过点 作与截面 平行的截面，
则该截面的周长为（ ）
A． B． C． D．4
10．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱 为一
“堑堵”， 是 的中点， ，则在过点 且与直线 平行的截面中，当截面图形为
等腰梯形时，该截面的面积等于_____，该“堑堵”的外接球的表面积为_____.11．在正三棱柱 中， ， ， ， ，平面CMN截三棱柱所得
截面的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3.截面分体积
12．在斜三棱柱 中， ， 分别为侧棱 ， 上的点，且知 ，过 ， ，
的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，正方体 ，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点 ､E､F的截面将正方体分
割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，记 ，则 _____.14．如图，在长方体 中， ．分别过 的两个平行截面将长方
体分成三部分，其体积分别记为 ，若 ，则截面
的面积为（ ）
A． B． C． D．16
15．如图，正方体 中，点 ， ，分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的截面将正
方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为 ，则 （ ）A． B． C． D．
16．在棱长为a的正方体 中，E，F分别为棱BC， 的中点，过点A，E，F作一个截面，
该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为_____.
17．如图所示，已知平行六面体 ，E是 中点，过 的截面 把平行六面体分成两个部分，
求左右两部分体积之比.
4.球截面问题
18．在三棱锥 中， 和 都是等边三角形， ，平面 平面 ，M是棱
AC上一点，且 ，则过M的平面截三棱锥 外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ）
A．24π B．25π C．26π D．27π
19．已知正四面体ABCD的表面积为 ，E为棱AB的中点，球О为该正四面体的外接球，则过DE的平
面被球О所截得的截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．在矩形 中， ，将 沿对角线 翻折至 的位置，使得平面 平
面 ，则在三棱锥 的外接球中，以 为直径的截面到球心的距离为（ ）
A． B． C． D．
21．已知三棱锥 满足 底面 ，在 中， ， ， ， 是线段
上一点，且 ，球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，若所得截面圆的面积的
最小值与最大值之和为 ，则球 的表面积为（ ）
A．72π B．86π C．112π D．128π
22．如图，已知正四棱锥 的所有棱长均为4，平面 经过 ，则平面 截正四棱锥
的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知三棱锥 中，Q为BC中点， ，侧面 底面 ，则过
点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_____．5.求截面图形的个数
24．过正四面体 的顶点P作平面 ，若 与直线 ， ， 所成角都相等，则这样的平面的
个数为（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
25．正方体 中 与 的交点 称为正方体 的中心，平面 经过点 ，
且顶点 ， 到平面 的距离相等，则这样的平面 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．无数个
26．设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则
这样的平面
A．有无数多个 B．恰有 个 C．只有 个 D．不存在
27．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数为_____.
6.截面的最值问题
28．在三棱锥 中， ，平面 经过 的中点E，并且与BC垂直，当
α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
29．在正方体 中，平面 经过点B、D，平面 经过点A、 ，当平面 分别截正方
体所得截面面积最大时，平面 所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．30．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大
时，则点O到截面的距离为_____.
31．如图，在棱长都等于1的三棱锥 中， 是 上的一点，过 作平行于棱 和棱 的截面，
分别交 ， ， 于 ， ， ．
(1)证明截面 是矩形；
(2) 在 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．
32．如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交
AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?
1．如图所示，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 则棱锥 的体积与
剩余部分的体积之比为（ ）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
2．已知正四面体 的体积为 ， 为棱 的中点，球 为该正四面体的外接球，则过点 的平面
被球 所截得的截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直四棱柱 的底面为正方形， ， 为 的中点，过 三点作平
面 ，则该四棱柱的外接球被平面 截得的截面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥 中， 两两垂直，且 ，半径为1的球 在该三棱锥内部且
与面 ､面 ､面 均相切.若平面 与球 相切，则三棱锥 的外接球被平面 所截得的截
面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努
力培育工人们执著专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神．这是传统工艺革新技术的重要基石．
如图所示的一块木料中，四边形 是正方形， ．(1)要经过点 将木料锯开，使得截面平行于侧棱 ，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截
面面积．
(2)已知点 是侧棱 上的动点，要经过点 将木头锯开，使得截面垂直于侧棱 且截面面积最大，在木
料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．
6．直三棱柱 中， ，P为BC中点， ，Q为 上一点，
，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A． B．4 C． D．5
7．如图，直三棱柱 ， ， ，侧棱长为 ，点 是侧面 内一点．当
最大时，过 、 、 三点的截面面积的最小值为_____．
8．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面
：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到 的距离是前三个点到 的距离的2倍，这样的平面 的个数是___________个
9．过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为 ，
这样的截面有（ ）
A．6个 B．12个 C．16个 D．18个
10．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 为线段 上的一动点，
则过 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为_____．
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝
CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
12．矩形ABCD中， （如图1），将 沿AC折到 的位置，点 在平面ABC上的射影E在AB边上，连结 （如图2）.
(1)证明： ；
(2)过 的平面与BC平行，作出该平面截三棱锥 所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所
得两部分的体积分别为 ，求 .
13．在三棱锥S—ABC中， ABC是边长为2的等边三角形，∠SCA=90°，D为SA的中点，SC=BD=2.
△
(1)如图，过BD画出三棱锥S—ABC的一个截面，使得这个截面与侧面SAC垂直，并进行证明；
(2)求（1）中的截面将三棱锥S—ABC分割成两个棱锥的体积之比.
14．在棱长为2的正方体 中，平面 ，则以平面 截正方体所得的截面面积最大时
的截面为底面，以 为顶点的锥体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
