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专题 01 集合、常用逻辑用语、复数
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题型01 元素与集合的关系辨析应用..........................................................................................................................1
题型02 根据集合的包含关系求参数..........................................................................................................................1
题型03 集合交并补混合运算及参数问题.................................................................................................................2
题型04 集合中的新定义问题......................................................................................................................................2
题型05 充要条件及其求参数问题..............................................................................................................................2
题型06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题.................................................................................................2
题型07 复数综合运算..................................................................................................................................................3
题型 01 元素与集合的关系辨析应用
【解题规律·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合 ， ，若 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【详解】因为 且 ，所以 ，解得 .
故选：A．
2．（2024·四川内江·三模）若集合 有6个非空真子集，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出集合 中元素，再列出不等式求解即得.
【详解】由集合 有6个非空真子集，得集合 中有3个元素，为 ，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，若集合中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，从而可求出 的取值范围.
【详解】因为集合 中至少有2个元素，
所以 ，解得 ，
故选：D．
4．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合 ，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当 时， D．当且仅当 时，
【答案】C
【分析】利用 的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若 ，则 ，
将 代入不全部满足，此时可知 ，故A错误；
对B，当 时，则 ，
将 代入全部满足，此时可知 ，故B错误；
对C，若 ， ，解之可得 ，所以C正确；
对D，当 ，则 ，将 代入不全满足，
所以 ，故D错误.
故选：C二、填空题
5．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知集合 ，若集合
中有且只有一个元素，则
【答案】
【分析】根据两个集合的描述，结合抛物线的性质判断参数取值对应点集情况，即可得答案.
【详解】当 时， 表示抛物线的一部分；
当 时， 为空集，
因此当且仅当a=2时，集合 表示一个点 ，有且只有一个元素.
故答案为：
题型 02 根据集合的包含关系求参数
【解题规律·提分快招】
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做
到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互
异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点
值能否取到
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则m的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可．
【详解】由题意，因为 ，则 .
故选：C．2．（2024·湖北·一模）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得到 ，再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；
【详解】由 解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：C.
3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合 ，若集合
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式化简 ,即可根据 ，对集合 讨论求解.
【详解】由
，则 ,
故若 ，则 ，不等式无解，此时 ,符合题意，
当 时， ，
结合 ，则 ，解得 ，
综上可得 ，
故选：A
二、填空题
4．（2024·上海长宁·一模）已知 ，若 是 的充分条件，则实数m的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数 ，利用 的单调性解不等式，再由题意将 是 的
充分条件转化为包含关系，进而求得参数 范围.
【详解】设 ，
则 在 单调递增，又 ，所以 ，即 ，故 .
则 .
由题意 是 的充分条件，则 ，
所以有 ，故实数m的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2024高三·全国·专题练习）设 ， ，若对于任意 ，总存在
，使得 成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】把恒成立及存在问题转化值域的包含关系，再根据 列不等式求参.
【详解】当 ，函数 ， 单调递增，
单调递减，可得函数 ,f (x)的值域为 .
当 ，∵ ，函数 在其定义域内是增函数，函数 的值域 ，
∴ ，∴ 得 .
故答案为： .
题型 03 集合交并补混合运算及参数问题
【解题规律·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】化简集合 ，再结合集合交集、补集运算即可求解.
【详解】 ，
，
可得：
，
故选：C.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知全集 ，集合 ， 则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合A与集合B的补集，再由图可知图中阴影部分表示 .
【详解】由 可得 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
图中阴影部分表示的集合为 .
故选：D.
3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，
每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的
有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．43
【答案】C
【分析】由题意设出集合 得到集合 以及 中元素的个数，即可得出 中元素的个数．
【详解】设集合 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合 中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知 中有个 元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C．
4．（24-25高三上·江西赣州·期中）设全集 ，集合 ，集合
，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得 ，即可得到与集合 的关系.
【详解】由题知 ，
，
所以 又 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，集合 ，集合 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先分别解不等式求出集合 ，然后逐个分析判断即可.
【详解】由 ，得 ，所以 .
由 ，得 且 ，得 或 ，所以 或 .
由 ，得 ，所以 .
对于A， ，所以A错误；
对于B， ，所以B正确；
对于C，因为 { 或 }，所以 ，
所以 ，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 .
因为 { 1或 }，所以 ，所以D正确，故选：BCD.
题型 04 集合中的新定义问题
【解题规律·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集 的“和睦数 ”如下：将 中的元素按照递减的次
序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合 的“和睦数”是
， 的“和睦数”是 ， 的“和睦数”是1.对于集合
，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82 B．74 C．12 D．70
【答案】A
【分析】分别列举子集 ，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.
【详解】 ，非空子集有 个.
当子集 为单元素集 ， ， ， 时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集 为双元素集 ， ， ， ， ， 时，
“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集 为三元素集 ， ， ， 时，
“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集 为四元素集 时，“和睦数”为 .
故“和睦数”的总和为 .
故选：A
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合 ，若对于任意实数对 ，存在
，使 成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：① ；
② ；
③
④ ；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义
可判断③④,即可得答案.
【详解】对于①， ， 为偶函数，定义域为 ，
对于任意实数对 ，
则存在 ，满足 ，集合M是“垂直对点集”；
对于②， ，取实数对 ,
假设存在 ，使 成立，则 ，与 矛盾，
即 不是“垂直对点集”；
对于③， ,作出函数 的图象如图，
图象过点 ，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线 ，
在 的图象上任取一点A(x ,y )，连接OA，作 ，
1 1
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于B(x ,y )，
2 2
即对于任意实数对 ，总存在 ，使得 成立，故集合M是“垂直对点
集”；
对于④ ，作出函数 的图象如图，
图象向左向右无线延伸，在 的图象上任取一点A(x ,y )，连接OA，作 ，
1 1
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于B(x ,y )，
2 2
即对于任意实数对 ，总存在 ，使得 成立，故集合M是“垂直对点
集”；
故集合M是“垂直对点集”的有3个，
故选：D
二、多选题
3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德
国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科
学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空
的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每个元素都小于 中的每个元素，称 为戴
德金分割．下列结论正确的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割 ，使得 有一个最大元素， 没有最小元素
C．存在一个戴德金分割 ，使得 有一个最大元素， 有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割 ，使得 没有最大元素， 也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A，因为 ，所以A错误．
对于B，设 ，满足戴德金分割，则 有一个最大元素1， 没有最小元
素，所以B正确．
对于C，若 有一个最大元素， 有一个最小元素，则不能同时满足 ，所以C错误．
对于D，设 ，满足戴德金分割，此时 中没有最大元素， 中也没
有最小元素，所以D正确．
故选：BD
4．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合 ，若 ，则称 为对偶互存集，则下列为对偶互
存集的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，当 时， ，故A正确；
对于B， 为全体奇数构成的集合，
当 为奇数时， 也为奇数，故B正确；
对于C， ，则 ，
但 ，故C错误；
对于D， ，当 时， ，故D正确．
故选：ABD．
5．（2024·福建·模拟预测）若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有 ，则
称该点集 是 阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 是3阶聚合点集
B．存在 对任意正数 ，使 不是 阶聚合点集
C．若 ，则 不是 阶聚合点集
D．“ ”是“ 是 阶聚合点集”的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否
定 为 阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确.
【详解】对于A，由 可得 ，故 是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集 ，总存在 ，使得 是1阶聚合点集，故B错误；
对于C，因 ，而 ，故 不是 阶聚合点集，即C正确；
对于D，因 是 阶聚合点集等价于 ，
因 ，可得 ，又因 ，依题意可得 ，反之也成立，故“ 是 阶聚合点集”是“ ”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
题型 05 充要条件及其求参数问题
【解题规律·提分快招】
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式（组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能
够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位 的共轭复数为 ，则“ 为纯
虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为 ，
由 为纯虚数，即 且 ，
即 且 .
故选：D.
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）“直线 与圆 相交”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式,结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若直线 与圆 相交，则圆心 到直线的距离满足 ，故
，
由于 能推出 ，当 不能得到 ，
故“直线 与圆 相交”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知： ．若 是 的充分不必要条件，则
实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解分式不等式、对数不等式求对应 范围，结合充分不必要条件有 ，即可得范围.
【详解】由 ，可得 ；
由 ，
因为 是 的充分不必要条件，则 .
故选：C
4．（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
， 分别为 的中点，则 的一个充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积探求充要条件为 和 .
【详解】因为 平面 且底面 为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，设 ， ，则 ，则 ， ，
故 ， ，
的充要条件为 即：
的充要条件为 即：
的充要条件为 ，即 的充要条件为 ，
故C正确，D错误；
即 ，此时得不到 ，故A错误；
对于B， ， ，
若 ，则 即 即 ，
由A的分析可得 的充要条件为不是 ，故B错误；
综上，选C.
故选：C
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出.
【详解】因为 ，所以 ；
当 时， ，此时 显然单调递增，
所以 可以推出 为递增数列；
当 为递增数列时，不妨取 ，此时 为递增数列，但 不满足，
所以 为递增数列不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.题型 06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题
【解题规律·提分快招】
根据命题的真假求参数的值（范围）的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类
问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式
（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知命题 ， 或 ，则 为（ ）
A． ， 且 B． ， 且
C． ， 或 D． ， 或
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题 是全称命题，因为命题 ， 或 ，
所以 ， 且 .
故选：B.
2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的最小值
是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“ ， ”为真
命题，分离参数转化为 在 上恒成立，构造函数求解最小值即可．
【详解】因为命题“ ， ”为假命题，
所以命题“ ， ”为真命题，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
记 ， ，则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以实数 可取的最小值是 ．故选：D.
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论：
“ ”是“ ”的充分不必要条件；
①若命题 ，则 ；
②若 ，则 是 的充分不必要条件；
③若命题q：对于任意 为真命题，则
④其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真
求出 的范围判断④即可得解.
【详解】对于①， 不能推出 ，“ ”不是“ ”的充分不必要条件，①错误；
对于②， ，②错误；
对于③，若 ，则 且 ，反之， ， ， 成立，
因此 是 的充分不必要条件，③正确；
对于④， ，而 ，则 ，④正确，
所以正确结论的个数为2.
故选：B
4．（24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】存在性命题为假等价于“ ”为真，应用参变分离求解即可.
【详解】解：因为命题“ ”为假命题
等价于“ ”为真命题，
所以 ，
所以只需 .
设 ，
则 在 上单增，所以 .所以 ，即 .
故选：A
二、多选题
5．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）下列命题中，是真命题的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】AB选项，先得到 的范围，再用作商法比较大小；CD选项，先得到 ，再
用作商法比较大小.
【详解】A选项， ， ，
故 ，A错误，
B选项， ， ，故 ，B正确；
C选项， ，且 ，故 ，C错误；
D选项， ，且 ，故 ，D正确.
故选：BD
题型 07 复数综合运算
【解题规律·提分快招】
复数代数形式运算的策略
【典例训练】一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】由 ，且 ，则 ，
所以 ，可得其在复平面上对应的点为 ，即该点在第四象限.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的概念求解.
【详解】设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：A．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的
取 就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由复数的几何意义和模长公式可得 ，结合 的范围，即可
得出答案.
【详解】解析：设 ，则 ，
，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故选：D.
二、多选题
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是关于 的方程 的两根，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】计算 ，确定 的范围，分情况讨论，根据韦达定理判断A，B，D；由求根公式求出方程的根可
判断C.
【详解】关于 的二次方程 ．
当 时， ，所以 ， ，但 不一定成立．
当 时， ， 是方程的两个复数根， 仍成立，此时 ，故A正确，B错
误．
若 ，方程 的两根为 ，所以 互为共轭复数，C正确．
若 ，由于 ，所以 ，D正确．
故选：ACD
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 中至少有一个为0
C．
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D.
【详解】对于A,若 ，满足 ，但 ，故A错误，
对于B，由 ，则 或 ，故 中至少有一个为0，B正确，对于C， ，C正确，
对于D，设 ， ,故
，故
， ，故D正确，
故选：BCD
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求解集合 和集合 ，再找出它们的公共部分.
【详解】由 可得 且 .
解 得 ；解 得 .
所以集合 .
先对 因式分解，得到 .
解得 . 所以集合 .
集合 ，集合 .
那么 .
故选：C.
2．（2024·山西长治·一模）已知集合 ，则图中阴影部分表示的
集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式求集合 ，结合韦恩图，根据集合的交集及补集运算可得结
果.
【详解】因为 ，
图中阴影部分表示的集合为：
或 ，
故选：A.
3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知i是虚数单位， ，则 =（ ）
A． B． C．6 D．50
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得 ，根据复数模的计算公式，即得答案；另外
也可利用复数的模的性质 ，进行计算，求得答案.
【详解】由 可知 = = ，
所以 ，则 ．
另解：由 可知 ，
故 = ，所以 ，
故选：A
4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）设 ，则 是 的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由“ ”不能推出“ ”， “ ”能推出“ ”，据此可判断选项.
【详解】令 ，则 ，但 ，故“ ”不能推出“ ”.
设 ，由 得 ，，
故“ ”能推出“ ”.
综上得， 是 的必要非充分条件.
故选：B.
5．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，
每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的
有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．43
【答案】C
【分析】由题意设出集合 得到集合 以及 中元素的个数，即可得出 中元素的个数．
【详解】设集合 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合 中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知 中有个 元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，
故选：C．
6．（2024高三下·江西新余·专题练习）已知集合 ，
，则：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合之间的关系判断即可.
【详解】 集合表示半径为1的圆形除去圆心，
集合表示半径为1的圆形除去与坐标轴重合的部分，
故选：B.
7．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 ， ，若 中
有且仅有两个元素，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 中元素，代入集合 即可.
【详解】因为 中有且仅有两个元素，
则 ， ，所以 ，解得 ，且 .
故选：D.
8．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集 ， ，
则集合B的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不确定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由 可知 中肯定有1，3，5，7， 中肯定没有1，3，
5，7，从而可求出 中的元素.
【详解】因为全集 ， ，
所以 中肯定有1，3，5，7， 中肯定没有1，3，5，7， 和 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7， 中有的其他数字， 中也一定会有， 中没有的数字， 中也一定会有，
所以 ，
故选：B
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】首先判断命题 为假命题，令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可
判断命题 为真命题，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ， 恒成立，
所以命题 为假命题，则 为真命题；
令 ， ，则 ，
当 时 ， ，所以 ，
当 时 ， ，所以 ，
所以 对任意的 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 对任意的 恒成立，故命题 为真命题，则 为假命题；
所以 和 都是真命题.
故选：B
10．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合： ， ， ，然后他们三人各用一句话来正
确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小
于5的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件.则“ ”表
示的数字是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到 ，再推出 是 的真子集， 是 的真子集，
从而得到不等式，求出 ，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以 ，
.因为 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件，
所以 是 的真子集， 是 的真子集，
所以 且 ，解得 ，所以“ ”表示的数字是1或2，故 正确.
故选：C.
11．（23-24高三下·重庆·开学考试）设集合 ，那么集合 满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】由题意对 谁取0分类讨论即可求解.
【详解】若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，
同理若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，
若 ，则 ，即有序数对 有4种取法，
综上所述，集合 满足条件“ ”的元素个数为 .
故选：D.
12．（24-25高三上·青海·期中）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】构建 ，利用导数判断 的单调性，结合单调性分析充分性，再举反例说明必要性不
成立即可.
【详解】令 ，则 .
当 时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0；
可知 在 内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，
若 ，则 ，即 ，可得 ，即充分性成立；
若 ，例如 ，则 ，
但不满足 ，即必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
13．（2024高三·全国·专题练习）设 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D． ，使得
【答案】BC
【分析】由 即可判断A；利用基本不等式及充分条件与必要条件的概念可判断B；解不等式
，结合充分条件与必要条件的概念可判断C；由不等式的性质可判断D.
【详解】当 时，显然有 ，故A错误；
因为 时， ， 当且仅当 时，等号成立，
所以“ ”可以推出“ ”，充分性成立；
而 只需 即可，故必要性不成立，故B正确；
由 可得 ，即 ，解得 或 ，
所以，由“ ”不能推出“ ”；由“ ”可以推出“ ”，
则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故C正确；因为 有 ，故D错误.
故选：BC.
14．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的定义域、值域化简集合 ，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D.
【详解】函数 中 ， ，则 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，则 ，C正确；
对于D，集合 的元素是数，集合 的元素是有序实数对，因此 ，D正确.
故选：BCD
15．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知复数 的共轭复数分别为 ，则下列命题为真命题的
是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】设出 ， ， ，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项计算可
判断A、B、D；举出反例可判断C.
【详解】设 ， ，且 ，则 ， ；
对A： ，
所以 ，所以 ，故A正确；
对B： ，
，故B正确；
对C：当 时，满足 ，但不能得出 ，故C错误；对D：
，故 ，故D正确.
故选：ABD.
16．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合 ，若实数 ， 满足：对任意的
，都存在 ，则称 是集合 的“围栏实数对”．若集合 ，则
下列集合中存在集合 的“围栏实数对”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】有序实数对 所构成的集合为以 ， ， ， 为顶点的正方形及其内部，判
断四个选项表示的图形是否与集合A有交点求解.
【详解】由题意可知，所有满足题意的有序实数对 所构成的集合为 ，
则点 分布的范围为以 ， ， ， 为顶点的正方形及其内部，
A，B，C项分别表示直线，圆，抛物线，它们与该正方形及其内部均有公共点，
选项D为双曲线，它与正方形没有公共点．
故选：ABC.
17．（2024·浙江·一模）对于集合 中的任意两个元素 ，若实数 同时满足以下三个条件：
①“ ”的充要条件为“ ”；
② ；
③ ，都有 ．
则称 为集合 上的距离，记为 ．则下列说法正确的是（ ）
A． 为
B． 为
C．若 ，则 为
D．若 为 ，则 也为 （ 为自然对数的底数）
【答案】AC
【分析】由 的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A， ，即 ，①， ，即 ，即 ，
若 ，则 ，
所以“ ”的充要条件为“ ”.
②， ，成立，
③， ， ，故A正确；
对于B， ，
①， ，即 ，即 ，
此时若 ，则 ，故B错误；
对于C， ，
①， 即 ，即 ，得 ，
若 ，则 ，
所以“ ”的充要条件为“ ”.
②， ，成立；
③，
，故成立，故C正确；
对于D，设 ， ，则 ，
①,若 ，则 ，即 ， ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
三、填空题
18．（2024高三·全国·专题练习）设 ，集合 ，则 ．
【答案】0
【分析】由题意可得 ， ，则 ，从而可求出 ，进而可求得结果.【详解】由题意知 ，因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ．故 ．
故答案为：0
19．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数a的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】由对数运算可得 ，再由元素与集合的关系代入解不等式可得结果.
【详解】易知 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
可得实数a的取值范围是 .
故答案为：
20．（24-25高三上·河南许昌·期中）若 ，使得 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】将带存在量词的不等式成立命题转化为不等式在给定区间上的能成立问题，继而转化成求函数的
最值问题即得.
【详解】由 ，使得 ，即 在 上能成立，
即要求 在 上的最小值.
因 在 上为增函数，故 ，
故得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为：[1,+∞).
21．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 .
【答案】15
【分析】根据题意可求得所求集合即由1， ，“3和 ”，“2和 ”这“四大”元素所组成的集合的非
空子集，然后利用公式可求得结果.
【详解】因为 ， ； ， ； ， ； ， ，这样所求集合即由1， ，“3和 ”，“2和 ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集.
所以满足条件的集合的个数为 .
故答案为：15
