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专题 1-1 集合与常用逻辑用语
目录
专题1-1 集合与常用逻辑用语.........................................................................................................1
..................................................................................2
题型一：元素与集合.........................................................................................................................2
题型二：集合中元素的特征.............................................................................................................3
题型三：集合的表示方法.................................................................................................................3
题型四：集合间的基本关系.............................................................................................................4
题型五：集合的基本运算.................................................................................................................5
题型六： 图应用.......................................................................................................................6
题型七：集合中的新定义题.............................................................................................................7
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构............................................................................9
题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构............................................................................9
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数..................................................................10
.............................................................12
一、单选题.......................................................................................................................................12
二、多选题.......................................................................................................................................13
三、填空题.......................................................................................................................................14
题型一：元素与集合
【典型例题】例题1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知集合 ，若 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·上海青浦·二模）已知集合 ，其中 且 ，函
数 ，且对任意 ，都有 ，则 的值是_________．
【提分秘籍】
1、元素与集合的关系：属于（ ），不属于（ ）；
2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内.
【变式演练】
1．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知集合 ，集
合 中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））等差数列 中 ， .
若集合 中仅有2个元素，则实数 的取值范围是______．
题型二：集合中元素的特征
【典型例题】
例题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知集合
，则 的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【提分秘籍】
1、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；
2、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要讨论，或者检
验.【变式演练】
1．（2022·广东·揭西县河婆中学模拟预测）已知集合 、集合 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B．
C． D．
题型三：集合的表示方法
【典型例题】
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合
，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
例题2．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）设集合 ，试用
列举法表示集合 _________.
【提分秘籍】
1、集合的表示方法主要有列举法，描述法， 图法；灵活
2、灵活选择合适的方法表示集合，如列举法，注意不重复，不遗漏；
描述法注意书写规范，认清一般元素代表.
【变式演练】
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））已知集合 ，集合
，则 （ ）A． B． C． D．
题型四：集合间的基本关系
【典型例题】
例题1．（2022·重庆十八中高一阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：
把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如
的交替和是 ；而 的交替和是5，则集合 的所有非空子集的
交替和的总和为（ ）
A．32 B．64 C．80 D．192
例题2．（2022·上海市南洋模范中学高一期中）设集合 ，
， ， ，其中 ， ，
下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集，对任意的 ， 不是 的子集
B．对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
C．存在 ，使得 不是 的真子集，对任意的 ， 是 的子集
D．存在 ，使得 不是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
【提分秘籍】
1、集合点的基本关系：相等，子集，真子集；
2、特别在表示子集关系时，要讨论 是否符合题意.
【变式演练】
1．（多选）（2022·浙江·德清县教育研训中心高一期中）当两个集合中一个集合为另一个
集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集
时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 ， ，若
与 构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是（ ）A． B． C． D．
2．（多选）（2022·河北·高一期中）已知集合 ， ，
若使 成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
题型五：集合的基本运算
【典型例题】
例题1．（2022·上海市香山中学高一期中）已知集合 ，集合
，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏省苏州第十中学校高一阶段练习）已知 表示不超过 的最大整数，
称为高斯取整函数，例如 ，方程 的解集为 ，集合
，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【提分秘籍】
1、集合的基本运算包含：并（ ），交 ，补（ ）；
2、 ， 注意讨论 .
【变式演练】
1．（2022·河北张家口·高一期中）不等式 的解集为 ，若集合
， ，则 ____________．
2．（2022·上海中学高一期中）已知全集 ， ，，且 ，求a的取值范围.
题型六： 图应用
【典型例题】
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，
全集为 ，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·浙江·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显
示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有
47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中
任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是虚数单位，集合 （整数集）和
的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个2．（2022·全国·高三专题练习（文））2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出
“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群
体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有
50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大
典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟
业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短
视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
题型七：集合中的新定义题
【典型例题】
例题1．（2022·江苏南通·高三期中）对于集合 ， ，我们把集合 记
作 ．例如， ， ， ，则 ，
．现已知 ，集合 ， 是 的子
集，若 ， ，则 内元素最多有（ ）个
A．20个 B．25个 C．50个 D．75个
例题2．（2022·上海市建平中学高三开学考试）设集合 ，如果 满足：对任意
，都存在 ，使得 ，那么称 为集合 的聚点，则下列集合中：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
以0为聚点的集合有______（写出所有你认为正确结论的序号）
【提分秘籍】
集合中新定义题考查范围广，解题时注意严格按照题意定义求解
【变式演练】
1．（2022·四川·模拟预测（理））设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的
函数 满足：(i) ；(ii)对任意 ，当 时，恒有
，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（
）
A． B． ， 或C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在整数集中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个
“类”，记为 ，即 .给出下列四个结论.
① ；② ；③ ；④“整数 属于同一“类””的充
要条件是“ ”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，集合
，若 的子集 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 为
“稀疏集”.那么使 能分成两个不相交的稀疏集的并集时， 的最大值是___________.
题型八：充分性与必要性中“是”字正序结构
【典型例题】
例题1．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）“ ”是“函数
在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（2022·江苏镇江·高三期中）“ ”是“函数 的最大值小
于1”的___________条件.(在“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不
必要”中选择一个填空)
【提分秘籍】
1、充分性和必要性主要考查两种结构， 是 的 条件，是典
型的正序结构，如： 是 的必要不充分条件，翻译成数学语言为：
且【变式演练】
1．（2022·上海市进才中学高三期中）若“ ”是“ ”成立的
必要不充分条件，则实数 的取值范围是__________.
2．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则“
”是“ 是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
题型九：充分性与必要性中“的”字倒序结构
【典型例题】
例题1．（2022·重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））关于 的不等式
恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）若关于 的不等式 成立的
充分条件是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
1、倒序结构， 的 条件是 ，如： 的必要不充分条件是 ，
翻译成数学语言： 且 .
【变式演练】
1．（2022·福建省厦门第六中学高三阶段练习）函数 在 上单调
递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）命题“ ”为真命题的一个
充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．
题型十：根据全称命题（特称命题）的真假求参数
【典型例题】
例题1．（2022·江西江西·高三阶段练习（文））若存在 ，使不等式
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若 ，使得 成立是
假命题，则实数 可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知命题 ： 为真，
则实数 的取值范围__________.
例题4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））命题“
”为真，则实数 的范围是__________
【提分秘籍】
1、任意 ，存在 的问题，主要有 判别法（二次型+ 区间）；变
量分离法
2、 判别法：如 , 恒成立，注意需要在 区间上，
才能使用 判别法；如果不是在 区间上，即便是二次不等式，也不
能单独使用 判别法.
3、变量分离法：将参变量分离到一边，如： ，
， ；， ；
，
【变式演练】
1．（多选）（2022·山东·济宁市育才中学高三阶段练习）命题“ ，使
”是假命题，则实数m的取值可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·河南省实验中学高三阶段练习）已知命题“ ， ”是假命
题，则m的取值范围是_________.
3．（2022·上海市延安中学高三期中）命题 ：“ ， ”为假命题，
则 的取值范围是_________．
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，C＝A∪B，C中元素
和为6，则元素积为（ ）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
2．（2022·江苏·盐城中学高三阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设命题 ，命题
，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西南昌·高三阶段练习（理））已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·高三期中）设集合X是实数集R的子集，如果点 满足：对任意
，都存在 ，使得 ，称 为集合X的聚点，则在下列集合中：①
；② ；③ ；④ ，以0
为聚点的集合有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．0
6．（2022·福建龙岩·高三期中）“方程 表示的图形是圆”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数 ，则“函
数 为偶函数”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·山东·宁阳县第四中学高三阶段练习）若命题“ ， ”
为假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、多选题
9．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）设Z表示整数集，且集合
， ，则（ ）
A． B．C． D．
10．（2022·河北秦皇岛·三模）定义：不等式 的解集为 ，若 中只有唯一整数，
则称 为“和谐解集”．若关于 的不等式 在 上存在
“和谐解集”，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个
充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对 ， 表示不超过x的最大整数．十八
世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函
数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A． ，
B． ， 的奇函数
C．函数 的值域为
D． 恒成立
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）定义 ， ，已
知 ， ，则 _____.
14．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知集合 ，
若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，则“方程 在区间 和 上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．
（写出满足条件的一个值即可）
16．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））若命题“ ， ”为
假命题，则实数a的取值范围是___________.
