专题1.1集合与常用逻辑用语七大题型（讲义）（举一反三）（新高考专用）（解析版）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_一、热点题型篇

专题 1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】 【新高考专用】 1、集合 集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考 查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以基础题为主。 2、常用逻辑用语 常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命 题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般 很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生 复习时需多注意加强这方面练习。 【知识点1 集合】 1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N ) Z Q R ＋ 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 文字语言 集合语言 图形语言 记法 运算 属于A且属于B的所有元素组 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 成的集合 属于A或属于B的元素组成的 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 集合 全集U中不属于A的元素组成 补集 的集合称为集合A相对于集合 {x|x∈U，x∉A} ∁ A U U的补集 【常用结论】 (1)若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真 子集有 个． (2)空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集． (3) ． (4) , ． 【知识点2 常用逻辑用语】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及 由p通过推理可得出 由条件p不能推出结论 符号表示 q，记作：p⇒q q，记作：p是q的充分条件 p不是 q的充分条件 条件关系 q是p的必要条件 q不是 p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此 时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词 含有全称量词的命题 命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 形式 “ x∈M，p(x)” 4.存在量词与存 ∀在 量 词 命 题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词 含有 存在 量词 的命题 命题 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为 形式 “ ∃ x ∈ M ， p ( x )” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设 . (1)若 ，则 是 的充分条件( )， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必 要条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；(2)若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件； (3)若 ，则 与 互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称 量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 0 (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x 使之成立即可，否则这个存 0 在量词命题就是假命题. 【题型1 集合中元素个数问题】 【例1】（2024·四川乐山·三模）已知集合A={−1,0,1},B={1,2},C={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}，则集 合C的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，a∈{−1,0,1}，b∈{1,2}， 当a∈{−1,0,1}，b=1时，a+b∈{0,1,2}， 当a∈{−1,0,1}，b=2时，a+b∈{1,2,3}， 所以C={0,1,2,3}， 所以集合C中的元素个数为4. 故选：C. 【变式1-1】（2024·山东济南·二模）已知集合A={1,2}，B={2,4}，C=¿ ，则C中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【解答过程】由题意，当x=1时，z=xy=1 ，当x=2，y=2时， z=xy=4 ， 当x=2，y=4时， z=xy=16 ， 即C中有三个元素， 故选：C. 【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=¿中只有一个元素，则实数a=（ ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 1 【解答过程】当a=0时，由ax2−2x+1=0可得x= ，满足题意； 2当a≠0时，由ax2−2x+1=0只有一个根需满足Δ=(−2) 2−4a=0， 解得a=1. 综上，实数a的取值为0或1. 故选：D. 【变式1-3】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A={x|mx2+2x+2=0}中有两个元素，则实数m的 取值范围为（ ） A．{m|m≠0} B．¿ C．¿ D．¿ 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 1 【解答过程】依题意，方程mx2+2x+2=0有两个不等的实根，则m≠0且Δ=22−4m×2>0，解得m< 2 且m≠0， 1 所以实数m的取值范围为m< 且m≠0. 2 故选：C. 【题型2 集合间的关系】 【例2】（2024·河南·模拟预测）已知集合A={x∣11，且B⊆A，则1 ， 2 又M={−2,−1,0,1,2,3}， 则M∩N={1,2,3}， 故选：B. 【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）若全集U=R，集合A={x|0≤x<3},B={x|x>1}，则 A∪(∁ B)= （ ） U A．{x|x<3} B．{x|0≤x<1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x≥0} 【解题思路】根据补集的定义可得∁ B={x|x≤1}，再由并集的定义求解即可. U 【解答过程】解：因为U=R，B={x|x>1}， 所以∁ B={x|x≤1}， U 所以A∪(∁ B)={x|0≤x<3}∪{x|x≤1}={x|x<3}. U 故选：A. 【变式3-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A、B、C为全集U的子集，A∩B= ∁ C≠∅，则 U (A∪B)∩C=（ ） A．A∪(B∩C) B．(∁ A)∩(∁ B) U U C．[ ∁ (A∩B)]∩(A∪B) D．[ ∁ (A∪B)]∪(A∩B) U U 【解题思路】根据A∩B= ∁ C得∁ (A∩B)=C，利用(A∪B)∩C=C∩(A∪B)即可得到结果. U U 【解答过程】∵A∩B= ∁ C， U ∴(A∩B)∪C=U， ∴∁ (A∩B)=C， U ∴(A∪B)∩C=C∩(A∪B)=[ ∁ (A∩B)]∩(A∪B). U 故选：C. 【变式3-3】（2024·江西·一模）已知集合A={n¿，B=¿，C=¿，则（ ） A．A∩BC B．B∪C=A C．CA∩B D．B∩CA∩B 【解题思路】根据题意，将集合A,B,C用整倍数形式表示，分别求出A∩B和B∩C，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【解答过程】依题意，A={n∣n=3k,k∈Z}，B={n|n=4k,k∈Z}，C={n∣n=6k,k∈Z}， 则A∩B={n∣n=12k,k∈Z}，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因B∩C={n∣n=12k,k∈Z}，即B∩C=A∩B，故D错误； 对于B项，任取3∈A，因3∉B,3∉C，则3∉B∪C，故B错误． 故选：A． 【题型4 集合中的含参问题】 【例4】（2024·湖北荆州·三模）已知集合A=¿，若A∩B=∅，则a的取值范围为（ ） A．(−∞,1] B．(1,+∞) C．(−∞,1) D．[1,+∞) 【解题思路】先求出集合A，再根据A∩B=∅，求得a的取值范围. 【解答过程】由题意知A={x|−1a}，若A⊆B，则 实数a的取值范围是（ ） A．(−∞,0] B．(−∞,0) C．(1,+∞) D．[1,+∞) 【解题思路】根据几集合中的元素化简集合A，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围. 【解答过程】因为集合A={x|x2≤1,x∈N}={0,1}，B={x|x>a}， 若A⊆B，则a<0，故实数a的取值范围是(−∞,0). 故选：B. 【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集 U=R,A={x∣x2+4x+3=0},B={x∣x2+(m+1)x+m=0}，若(∁ A)∩B=∅，则实数m的值为 U （ ）A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分 类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1) 2−4m=(m−1) 2≥0， 所以B≠∅， 根据题意得到集合A=¿，B={x∣(x+m)(x+1)=0}， 即A={−1,−3}，B={−1,−m}， 因为(∁ A)∩B=∅，所以B⊆A， U 所以B={−1}或B={−1,−3}， 若B={−1}，则¿，解得m=1， 若B={−1,−3}，则¿，解得m=3， 所以m=1或m=3. 故选：D. 【题型5 集合的新定义问题】 【例5】（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集 T={|a−b||a,b∈S,a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min(X)表示数集 X中的最小数）．对于集合M={−0.1,−1.1,2,2.5}、N={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，则（ ） A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集 C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集 【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【解答过程】集合M={−0.1,−1.1,2,2.5}中，2∈M,2.5∈M，则|2−2.5|=0.5<1， 即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集； 集合N={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，|−1.5−(−0.5)|=1,|−0.5−0.5|=1,|0.5−1.5|=1， |−1.5−0.5|=|−0.5−1.5|=2,|−1.5−1.5|=3， 即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集. 故选：C. 【变式5-1】（2024·安徽蚌埠·二模）对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b,a∈A,b∈B}， a A÷B={x|x= ，a∈A,b∈B)，若集合A= {1,2}，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为（ ） b10 15 21 23 A． B． C． D． 2 2 2 2 【解题思路】由题意，理解新定义，可得(A+A)={2，3，4}，通过A÷B的集定义与集合运算即可得 出结论. 【解答过程】试题分析：根据新定义，数集A，B，定义A+B={x|x=a+b,a∈A,b∈B}， a A÷B={x|x= ，a∈A,b∈B)，集合A= {1,2}，(A+A)={2，3，4}， b (A+A)÷A={1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5， 故选：D. 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔 积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人 员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这 样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为A×B．即A×B=¿且y∈B}．关于任意 非空集合M，N，T，下列说法一定正确的是（ ） A．M×N=N×M B．(M×N)×T=M×(N×T) C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T) D．M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T) 【解题思路】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【解答过程】对于A，若M={1},N={1,2}，则 M×N={(1,1),(1,2)},N×M={(1,1),(2,1)},M×N≠N×M，A错误； 对于B，若M={1},N={2},T={3}，则M×N={(1,2)},(M×N)×T={((1,2),3)}， 而M×(N×T)={(1,(2,3))},(M×N)×T≠M×(N×T)，B错误； 对于C，若M={1},N={2},T={3}，则M×(N∪T)={(1,2),(1,3)}， M×N={(1,2)}，M×T={(1,3)}，M×(N∪T)=(M×N)∪(M×T)，C错误； 对于D，任取元素(x,y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T， 于是(x,y)∈M×N且(x,y)∈M×T，即(x,y)∈(M×N)∩(M×T)， 反之若任取元素(x,y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x,y)∈M×N且(x,y)∈M×T， 因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T，所以(x,y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T)，D正确. 故选：D. 【变式5-3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x|x∈A且x∉B}，则对于集合 A={x|x=6n+5，n∈N}，B={y|y=3m+7，m∈N}，C=x|x∈A B且x<1000}，以下说法正 确的是（ ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪∁ ”，则∁ C中元素个数为13. N N 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合C，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】x=6n+5=3×(2n+1)+2，y=3m+7=3(m+2)+1，集合A,B无公共元素， 选项A中，集合C为空集，没有真子集，A错； 5 选项B中，由6n+5<1000得n<165 ，由3m+7<1000得m<331，因此C中元素个数为166+331=497 6 ，B正确； 选项C中，C中元素个数为166，非空真子集个数为2166−2，C错； 选项D中，∁ C= ∁ (A∪∁ B)= ∁ A∩∁ (∁ B)= ∁ A∩B，而B⊆∁ A，因此其中元素个 N N N N N N N N 数为331个，D错． 故选：B． 【题型6 充分条件与必要条件】 【例6】（2024·四川雅安·一模）已知a,b∈R，则“a>b”是“a>b+1”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】应用充分条件必要条件的定义去判断，对不充分条件或不必要条件可举例说明. 【解答过程】因为b+1>b，所以a>b+1>b， 所以“a>b+1”可推出“a>b”，即“a>b”是“a>b+1”的必要条件； 1 1 1 1 取a= ,b= ，可知a>b，而 < +1，即ab”不能推出“a>b+1”. 所以“a>b”是“a>b+1”的不充分条件. 所以“a>b”是“a>b+1”的必要不充分条件. 故选：B.【变式6-1】（2024·四川·一模）已知集合A=¿，B=¿，则“a=1”是“A⊆B”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【解答过程】当a=1时，B=¿，此时A=B，即a=1可以推出A⊆B， 若A⊆B，所以¿，得到a≥1，所以A⊆B推不出a=1， 即“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式6-2】（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为 （ ） A．−21或a<−3， 命题q:∀x∈[−1,2],x2+ax−8≤0为真命题，则¿，解得−7≤a≤2， 综上所述：实数a的取值范围为[−7,−3)∪(1,2]. 故选：C. y x 1．（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+ y=0”是“ + =−2”的（ ） x y A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 x y 【解题思路】解法一：由 + =−2化简得到x+ y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+ y=0得到 y x x y x y x=−y，代入 + 化简即可，证明必要性可由 + =−2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证 y x y x x y x y 明充分性可由 + 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+ y=0代入即可，证明必要性可由 + 通 y x y x 分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+ y=0代入，解方程即可. 【解答过程】解法一： x y 因为xy≠0，且 + =−2， y x 所以x2+ y2=−2xy，即x2+ y2+2xy=0，即(x+ y) 2=0，所以x+ y=0. x y 所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件. y x 解法二： 充分性：因为xy≠0，且x+ y=0，所以x=−y，x y −y y 所以 + = + =−1−1=−2， y x y −y 所以充分性成立； x y 必要性：因为xy≠0，且 + =−2， y x 所以x2+ y2=−2xy，即x2+ y2+2xy=0，即(x+ y) 2=0，所以x+ y=0. 所以必要性成立. x y 所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件. y x 解法三： 充分性：因为xy≠0，且x+ y=0， x y x2+ y2 x2+ y2+2xy−2xy (x+ y) 2−2xy −2xy 所以 + = = = = =−2， y x xy xy xy xy 所以充分性成立； x y 必要性：因为xy≠0，且 + =−2， y x x y x2+ y2 x2+ y2+2xy−2xy (x+ y) 2−2xy (x+ y) 2 所以 + = = = = −2=−2， y x xy xy xy xy (x+ y) 2 所以 =0，所以(x+ y) 2=0，所以x+ y=0， xy 所以必要性成立. x y 所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件. y x 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x−1<0}，则M∩N=（ ） A．{x∣−2≤x<1} B．{x∣−2−1}，选项B错误； U U M∩N={x|−11；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ） A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解题思路】对于两个命题而言，可分别取x=−1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解答过程】对于p而言，取x=−1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，¬p是真命题， 对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 故选：B.