专题 1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................3
【题型2 子集的个数问题】......................................................................................................................................3
【题型3 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................4
【题型4 集合中的含参问题】..................................................................................................................................4
【题型5 集合的新定义问题】..................................................................................................................................5
【题型6 充分条件与必要条件】..............................................................................................................................5
【题型7 全称量词与存在量词命题】......................................................................................................................6
1、集合
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查
集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以
及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少
单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习
时需多注意加强这方面练习。
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
属于A且属于B的所有元素组
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
成的集合
属于A或属于B的元素组成的
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
集合
全集U中不属于A的元素组成
补集 的集合称为集合A相对于集合 {x|x∈U，x∉A} ∁ A
U
U的补集
【知识点2 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及 由p通过推理可得出 由条件p不能推出结论
符号表示 q，记作：p⇒q q，记作：
p是q的充分条件 p不是 q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是 p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号 ∀
全称量词
含有全称量词的命题
命题
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
形式
“ x∈M，p(x)”
4.存在量词与存 ∀在 量 词 命 题存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ∃
存在量词
含有 存在 量词 的命题
命题
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
形式
“ ∃ x ∈ M ， p ( x )”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合 ， ，则集
P={n|n=2k-1,k∈N*,k≤10} Q={2,3,5}
合 中元素的个数为（ ）
T={xy|x∈P,y∈Q}
A．30 B．28 C．26 D．24
【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，
且2∈A，则实数m为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【变式1-2】（2022上·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合 的元素只有一个，则
A={x|ax2-3x+2=0}
实数a的值为（ ）
9 9
A． B．0 C． 或0 D．无解
8 8
【变式1-3】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28个
元素，则∁ (S∩T)的元素个数最少是（ ）
S∪T
A．14 B．30 C．32 D．42
【题型2 子集的个数问题】
{ x }
【例2】（2023·河南·校联考二模）集合A= x|1< -1<3,x∈N 的子集的个数为（ ）
2
A．3 B．4 C．7 D．8【变式2-1】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件{2,3}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【变式2-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A={a,b}的所有非空子集的元素之和等于12，
则a+b等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【变式2-3】（2023·湖南·校联考模拟预测）设集合 ，若A的所有三元子集的三个元素之
A={a ,a ,a ,a }
1 2 3 4
和组成的集合为B={-1,3,5,8}，则集合A=（ ）
A．{-1,3,5,8} B．{-3,0,2,6} C．{4,8,10,13} D．{7,10,12,16}
【题型3 集合的交、并、补集运算】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知集合A=¿，则A∩B=（ ）
A．(-1,4] B．[-1,4) C．(-3,-1) D．(-3,-1]
【变式3-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设集合A={x|x-1≤1}，集合B={x|x≥-1}，则A∪B=
（ ）
A．(-∞,-1]∪[2,+∞) B．[-1,2] C．RD．∅
【变式3-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知全集U={x∈N∣0<x≤6}，集合
A={1,2,3,4},B={1,3,5}，则∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{6} B．{1,6} C．{2,4,5,6} D．{1,2,4,5,6}
【变式3-3】（2023下·河南新乡·高二统考期末）设全集U=R，集合M=¿，N=¿，则¿（ ）
A．∁ (M∩N) B．∁ (M∪N)
U U
C． D．
M∩(∁ N) N∪(∁ M)
U U
【题型4 集合中的含参问题】
【例4】（2023·陕西咸阳·武功县校考模拟预测）已知集合 ， ，若
A={x|-1<x<4} B={x|x-2a<0}
A∩B=∅，则实数a的取值范围为（ ）
{ 1} { 1} { 1}
A． a|a> B． a|a<- C． a|a≤- D．{a|a<0}
2 2 2
【变式4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合 ，若 ，则
A={x∈N||x|<2},B={x∣ax-1=0} B A
实数a=（ ）1 1
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
2 2
【变式4-2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若集合A=¿,则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为
（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|-1<x<3}，
B={x|3x-a<0}，且A∩(∁ B)={1,2}，则a的取值范围为（ ）
R
A．(0,4) B．(0,4] C．(0,3] D．(0,3)
【题型5 集合的新定义问题】
【例5】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合A÷B=¿．已知集合A={4,8}，B={1,2,4}，则A÷B的
元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-1】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合A-B=¿且x∉B}，已知
集合 ， ， ，则 （ ）
U={x|-3<x<7,x∈Z} E={-1,0,2,4,6} F={0,3,4,5}
∁
(E-F)=
U
A．{-2,0,1,3,4,5}B．{0,1,3,4,5} C．{-1,2,6} D．{-2,0,1,3,4}
【变式5-2】（2023·全国·校联考三模）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影
部分表示的集合．若 ， ，则 （ ）
A={x|x=2n+1,n∈N,n≤4} B={2,3,4,5,6,7} A⊗B=
A．{2,4,6,1} B．{2,4,6,9} C．{2,3,4,5,6,7} D．{1,2,4,6,9}
【变式5-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b,a∈A,b∈B}，
a
A÷B={x|x= ，a∈A,b∈B)，若集合A= {1,2}，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为（ ）
b
10 15 21 23
A． B． C． D．
2 2 2 2
【题型6 充分条件与必要条件】
【例6】（2023·山东德州·德州市校联考模拟预测）若a>0，则“a2<b2”是“a<-b”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
【变式6-1】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题p：∀x∈[-4,2]， x2-a≥0，则p为真命题的一个
2
充分不必要条件是（ ）
A．a≤-2 B．a≤0 C．a≤8 D．a≤16
【变式6-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合A=¿，B=¿，若x∈A是x∈B的必要
不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．{-1,0,1} B．{-1,1} C．{1} D．{-1}
【变式6-3】（2023·江苏南京·南京校考模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条
件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型7 全称量词与存在量词命题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知命题p:∀x∈R,sinx+√3cosx≤1，则¬p为（ ）
A．∃x∈R,sinx+√3cosx≤1 B．∃x∈R,sinx+√3cosx>1
C．∃x∈R,sinx+√3cosx≥1 D．∀x∈R,sinx+√3cosx>1
【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，√x+2x-3>0，命题q：∃x∈R，
2x2-4x+3=0，则（ ）
A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假
【变式7-2】（2022上·广西柳州·高二校考学业考试）已知命题P的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列
说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【变式7-3】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知命题p:∀x∈R，x2+1≥a，若¬p为真命题，
则a的取值范围是（ ）
A．(-∞,1) B．(-∞,1] C．(1,+∞) D．[1,+∞)1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x-1<0}，则M∩N=（ ）
A．{x∣-2≤x<1} B．{x∣-2<x≤1}
C．{x∣x≥-2} D．{x∣x<1}
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6}，则M∪∁ N=
U
（ ）
A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8} C．{1,2,4,6,8} D．U
3．（2022·浙江·统考高考真题）设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（ ）
A．{2} B．{1,2} C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
U=R M={x|x<1} N={x|-1<x<2} {x|x≥2}=
（ ）
A．∁ (M∪N) B．N∪∁ M
U U
C．∁ (M∩N) D．M∪∁ N
U U
5．（2023·天津·统考高考真题）已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4}，则∁ B∪A=（ ）
U
A．{1,3,5} B．{1,3} C．{1,2,4} D．{1,2,4,5}
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合A={0,-a}，B={1,a-2,2a-2}，若A⊆B，则a=（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．-1
3
7．（2023·天津·统考高考真题）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
y x
8．（2023·北京·统考高考真题）若xy≠0，则“x+ y=0”是“ + =-2”的（ ）
x y
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
