文档文本内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1 集合 1. 集合作为高中数学的预备知识
2020-2024一年一考：集合的交并补运算
（5年几考） 内容,每年都是高考中的必考题，
题型为选择题,以集合的运算为主,
多与解不等式等内容交汇,新定义
运算也有较小的可能出现,属于基
础性题目，主要考查考生的运算
求解能力,提升考生的数学抽象、
逻辑推理和数学运算素养。
2. 常用逻辑用语是数学学习和思
考点2 常用逻
维的工具，主要考查充分条件与
辑用语 2020-2024一年一考：充分必要条件的综合判断
必要条件,容易与函数、不等式、
（5年几考）
数列、三角函数、立体几何内容
交汇,基础性和综合性题目居多.本
部分的出错原因主要是与其他知
识交汇部分的信息在提取、加工
上出现理解错误,主要考查考生的
逻辑思维能力。提升考生的逻辑
推理素养。
考点01 集合
1．（2024·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得 .故选：C.
2．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
3．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
4．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
5．（2020·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集定义直接得结果.
【详解】 ，
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点 02 常用逻辑用语
6．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，
代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
8．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
10．（2020·北京·高考真题）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
属于基础题.
1．（2024·北京西城·三模）设集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式求集合 ，再求并集即可.
【详解】由 得到 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：A.
2．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为递增数
列”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.
【详解】 为递增数列时，有 ，不能得到 为递增数列，充分性不成立；
为递增数列时，不一定有 ，即不能得到 为递增数列，必要性不成立.
所以“ 为递增数列”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．（2024·北京顺义·三模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合 ，根据交集运算法则求 .【详解】不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故选：B.
4．（2022·山东淄博·模拟预测）“角 与 的终边关于直线 对称”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据终边关于 对称，得两角的关系，再由 ，得两角满足
的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角 与 的终边关于直线 对称,则 ,
,则 ，
“角 与 的终边关于直线 对称”是“ ”的充分必要条件.
故选:A
5．（2024·北京通州·三模）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.
【详解】不妨设 ，此时满足 ，
但不满足 ，充分性不成立，
两边平方得 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，解得 ，必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6．（2024·北京通州·三模）已知 为整数集， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，故选：A.
7．（2024·北京海淀·二模）已知集合 .若 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-2
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系可得 求解.
【详解】由于 ，所以 ，
故 的最大值为 ，
故选：C
8．（2024·北京海淀·二模）设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和， .则“
”是“ 存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前 项和公式判断即可
【详解】若 且公比 ，则 ，所以 单调递增， 存在最小值 ，故充分条件成立.
若 且 时， ，
当 为奇数时， ， 单调递减，故最大值为 时， ，而 ,
当 为偶数时， ， 单调递增，故最小值为 ， ，
所以 的最小值为 ，
即由 ， 存在最小值得不到公比 ,故必要性不成立.
故 公比“ ”是“ 存在最小值”的充分不必要条件.
故选：A
9．（2024·北京朝阳·二模）已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知， ，
又 ，
所以 .
故选：B
10．（2024·北京朝阳·二模）已知 是两个互相垂直的平面， 是两条直线， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知， ，
若 ，当 时，有 ；当 时， 与 可能相交、平行、垂直.
若 ，由 ，得 .
故“ ”是“ ”是必要不充分条件.
故选：B
11．（2024·北京通州·二模）已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求 ，再求 即可.
【详解】由题意知， ，则 .
故选：B.
12．（2024·北京通州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将 代入 ，可得 ，
进而得到必要性成立，从而得到结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 得： ， ，，
，即 ，充分性成立；
由 得： ， ，即 ，
，
即 ，必要性成立；
“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
13．（2024·北京房山·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出 ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 可得： ，
解得： ，
所以“ ”能推出“ ”，
但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2024·北京房山·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 .
故选：B.
15．（2024·北京海淀·一模）设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，充分性满足，
如图：满足 ， ，但 不成立，故必要性不满足，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
16．（2024·北京海淀·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集 ，集合 ，
所以 .
故选：D
17．（2024·北京朝阳·一模）已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分 ， ， 讨论函数 的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当 时， ，为常数函数，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
18．（2024·北京朝阳·一模）已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得.
【详解】全集 ，则 ，
所以 .
故选：D
19．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义 其中 表示集合S的
元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水
平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 ， ， ， .
已知 {物理，化学，生物}， {地理，物理，化学}， {思想政治，历史，地理}，给出下列四个
结论：
①若 ，则 {思想政治，历史，生物}；
②若 ，则 {地理，物理，化学}；
③若 {思想政治，物理，生物}，则 ；
④若 ，则 {思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到 必为偶数，讨论
和 两种情况下的求解即可；对于④：通过举例 {物理，地理，历史}来说明.
【详解】对于①： ，所以 ，所以 ，
又 {地理，物理，化学}，所以 {思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②： ，即 ，
所以 ，所以 必为偶数，又 ，
当 时， ，不符合 ，
所以 ，且 ，此时 情况较多，比如 {物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若 {思想政治，物理，生物}，则 ，
所以 ，③正确；
对于④：当 {物理，地理，历史}时，，
满足 ，但不是 {思想政治，地理，化学}，④错误.
故选：①③
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时
候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.
20．（2024·北京西城·三模）记集合 .对任意
， ，记 ，对于非空集合
，定义集合 .
(1)当 时，写出集合 ；对于 ，写出 ；
(2)当 时，如果 ，求 的最小值；
(3)求证： .
（注：本题中， 表示有限集合A中的元素的个数.）
【答案】(1) ；
(2)5
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义直接写出集合 ，再根据 的定义写出 ；
（2）设 ，则 ，则由题意可得 ，从而可求得结果；
（3）设A中的所有元素为 ， ，…， ，其中 ，记 （ ），先利用
反证法证明这些 互不相等，再根据定义证明即可.
【详解】（1） ；
若 ，则 .
（2） 的最小值为5.
证明如下：
设 .
因为 ，除 外，其它7个元素需由两个不同的 ， 计算得到，
所以 ，解得 .
当 时，有 ，符合题意.
（3）证明：设A中的所有元素为 ， ，…， ，其中 .
记 （ ），则这些 互不相等.证明如下：如果存在 ， ，
则 ， 的每一位都相等，
所以 ， 的每一位都相等，
从而 ，与集合A中元素的互异性矛盾.
定义集合 ，则 .
又 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理
解，考查理解能力，属于难题.
21．（2024·北京海淀·二模）设正整数 ， ， ，这里
. 若 ，且 ，则称 具有性质 .
(1)当 时，若 具有性质 ，且 ， ， ，令 ，写出 的所有可能值；
(2)若 具有性质 ：
①求证： ；
②求 的值.
【答案】(1)27或32
(2)①证明见解析 ②
【分析】（1）对题目中所给的 ，我们先通过分析集合中的元素，证明 ，
，以及 ，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；
（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.
【详解】（1）对集合 ，记其元素个数为 . 先证明2个引理.
引理1：若 具有性质 ，则 .
引理1的证明：假设结论 不成立.
不妨设 ，则正整数 ，但 ，
故 一定属于某个 ，不妨设为 .
则由 知存在正整数 ，使得 .
这意味着对正整数 ，有 ，，但 ，矛盾.
所以假设不成立，从而一定有 ，从而引理1获证.
引理2：若 具有性质 ，则 ，且 .
证明：取集合 .
注意到关于正整数 的不等式 等价于 ，
而由引理1有 ，即 .
结合 是正整数，知对于正整数 ， 当且仅当 ，
这意味着数列 恰有 项落入集合 ，即 .
而 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，
故 中的元素属于且仅属于某一个 ，故 .
所以 ，
从而 ，这就证明了引理2的第一个结论；
再考虑集合 中全体元素的和.
一方面，直接由 知 中全体元素的和为 ，即 .
另一方面， 的全部 个元素可以排成一个首项为 ，公差为 的等差数列.
所以 的所有元素之和为 .
最后，再将这 个集合 的全部元素之和相加，
得到 中全体元素的和为 .
这就得到 ，所以有
.即 ，从而 ，这就证明了引理2的第二个结论.
综上，引理2获证.
回到原题.
将 从小到大排列为 ，则 ，
由引理2的第一个结论，有 .
若 ，则 ，
所以每个不等号都取等，从而 ，故 ；
情况1：若 ，则 ，矛盾；
情况2：若 ，则 ，所以 ，得 .
此时如果 ，则 ，矛盾；
如果 ，则 ，从而 ，故 ；
如果 ，由于 ，设 ， ，则 ， .
故对于正整数对 ，有 ，
从而 ，这与 矛盾.
综上， 的取值只可能是 或 .
当 时， ；当 时， .
所以 的所有可能取值是 和 .
（2）①由引理1的结论，即知 ；
②由引理2的第二个结论，即知 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到
了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.
22．（2024·北京朝阳·二模）设 为正整数，集合 对于
，设集合 .(1)若 ，写出集合 ；
(2)若 ，且 满足 令 ，求证： ；
(3)若 ，且 ，求证：
.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题意，即可直接写出 ；
（2）由 可得 ，结合 可得 ，即可证明；
（3）若 且 则 ，进而 ，由（2）可知 ，分类讨
论 、 时 与 的大小关系，即可证明.
【详解】（1） ；
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）对任意 ，令 ，
若 且 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
对 ，因为 ，
由（2）可知，令 ，则 .
若 ，因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
若 ，则 ，
所以 .
综上， 即 .【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、
运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的
性质，落脚点仍然是集合相关知识..
23．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列 中存在不相同的项 ，使
得 ，则称数列 具有性质 ，记集合 数列 具有性质 ．
(1)若数列 的通项公式为 写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 时，证
明： ；
(3)若 满足 ，证明： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）定义 ，可知 ，结合题中通项公式分析求解；
（2）根据题意可知 ，可得 ，即可分析证明；
（3）由题意可知： ，可知集合 在 均不在元素，分类讨论集合 是否为空集，结
合题意利用数学归纳法分析证明.
【详解】（1）定义 ，由题意可知 ，
若数列 的通项公式为 ，可知 ，
所以 ，
因为2只能写成 ，不合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
所以 .
（2）因为 ，由题意可知： ，且 ，
即 ，因为 ，即存在不相同的项 ，使得
可知 ，所以 .
（3）因为 ，
令 ，可得 ，则 ，即 ，
即集合 在 内均不存在元素，此时我们认为集合 在 内的元素相同；
（i）若集合A是空集，则B是空集，满足 ；
（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知 ，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且 ，
设存在 ，使得 ，
可知集合 在 内的元素相同,
可知 ，则 ，
因为 ，即 ，则 ，
可知 ，
且 ，
即集合 在 内的元素相同，可知集合 在 内的元素相同，
现证对任意 ，集合 在 内的元素相同，
当 ，可知集合 在 内的元素相同，成立；
假设 ，集合 在 内的元素相同，
可知集合 在 内的元素相同；
对于 ，因为 ，则 ，
若 ，则 ，可知 ，
可以认为集合 在 内的元素相同；
若 ，则 ，
若 存在元素 不属于集合C，
则元素 属于集合A，且 ，可知元素 属于集合B，
即数列 中存在不相同的项 ，使得 ，
则 ，可知 ，
可知 ，即集合 在 内的元素相同；
综上所述：对任意 ，集合 在 内的元素相同，
所以集合 在 内的元素相同，结合n的任意性，可知 ；
综上所述： .
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利
用数学归纳法分析证明.
