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专题 01 集合与常用逻辑用语
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
【详解】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选D．
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的
交运算，属于基础题目.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=
A． B．{–3，–2，2，3)
C．{–2，0，2} D．{–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为 ，
或 ，
所以 .
故选D．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意， ，
故 中元素的个数为3.
故选B.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
4．【2020年高考天津】设全集 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知 ，则 .
故选C．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
5．【2020年高考北京】已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】 ，
故选D．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．【2020年高考天津】设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=
A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】 .
故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【2020年高考浙江】已知集合P= ，Q= ，则P Q=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
.
根据集合交集定义求解
【详解】 .
故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两
两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意， 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，
而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
10．【2020年高考北京】已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选C．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应
用，属于基础题.
11．【2020年高考江苏】已知集合 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】∵ , ，
∴ .
故答案为 .
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
12．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面
直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出
结论.
【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为
真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能
力，属于中等题.1．【2020·四川省阆中中学高三二模(文)】命题“若 ，则 ”的逆否命题是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】原命题的逆命题为：若 ，则 ，
原命题的逆否命题为：若 ，则 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查原命题的逆否命题，熟练掌握四种命题的关系为解题的关键，属于简单题.
2．【2020·广东省高三月考(文)】命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”.
故选D．
3．【广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考文科数学试题】设集合 ,集合
,则 等于
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】集合 ,集合
,则 ,
．
故选C．
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目．
4．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学(文)试题】设
集合 ，则
A． B． 或
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对集合 通过解绝对值不等式化简为 或 ，再和集合 取交集.
【详解】
因为 或 ， ，
所以 .
【点睛】
两个集合进行交运算时，注意大于取大、小于取小的原则.
5．【2020·广东省高三二模(文)】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，则A∩B=
A．{1，3} B．{1，3，5}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，5}【答案】A
【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}.
故选A．
【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.
6．【2020·山西省高三月考(文)】已知集合 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式得集合 ，再由交集定义求解．
【详解】
，∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题关键．本题属于基础题．
7．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】若集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
集合 ， 是数集，都是求函数的定义域，求出定义域，再利用交集运算求出公共部分.
【详解】∵ ， ，∴ .
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集，考查运算求解能力. .交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
8．【2020·四川省阆中中学高三二模(文)】已知集合 ，则集
合
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 ，按交集的定义，即可求解.
【详解】
由题意知 ，故 .
故选B．
【点睛】
本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.
9．【2020·河北省高三月考(文)】已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.【详解】
， ， .
故选B．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.
10．【2020·重庆八中高三月考(文)】设全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由补集和并集的定义直接求解即可.
【详解】
，集合 ，
，
.
故选A．
【点睛】
本题考查补集和并集的定义，属于基础题.
11．【2020·山东省高三期末】命题“ ”为真命题的一个必要不充分条件是
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意解得命题“ ”为真命题的充要条件时 ，结合四个选项即可得到其
必要不充分条件.
【详解】
即 ，
所以 ，解得 ，
只有D选项 是其必要不充分条件.
故选D．
【点睛】
此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和
必要性判断.
12．【2020·北京高三月考】已知集合 ， ，则在下列集合中符合条件的集合
可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合间的包含关系进行判断即可.
【详解】
因为 ，所以集合 是集合 的子集
对A项， ，故A正确；对B项， ，由于 ，则 不是 的
子集，故B错误；
对C项，由于 ， ，则 不是 的子集，
故C错误；
对D项，由于 ，则 不是 的子集，故D错误；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.
13．【2020·河南省高三月考(文)】若全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先求出 ， ，之后应用并集的定义求得结果.
【详解】
由题意可得 ， ，
因此 ，
故选C．
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有补集和并集的求解运算，属于基础题目.
14．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】 ， ，则A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合 与 ，再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】
； ，
.
故选A．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，
再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.
15．【2020·重庆巴蜀中学高三月考(文)】已知正实数 ，则“ ”是“ ”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由 可得， 成立，则 成立； 成立，可举例说明 不一定成
立，根据充分必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】
不充分性： ， ；
必要性：∵ ，∴ .故选B．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.
16．【2020·重庆南开中学高三月考(文)】设全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得到集合A、B，阴影部分表示的集合为 ，再按交集、补集运算即可.
【详解】
由 ，得 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，
阴影部分表示的集合为 .
故选C．
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题.
17．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】已知命题 若 ，则 ；命题 若函数
在 上单调递增，则实数 的取值范围为 ，下列说法正确
的是A． 为真命题 B． 为真命题
C． 为假命题 D． 为假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
结合指数函数与对数函数的性质，得到命题 是真命题，利用二次函数的性质，得到 是假命题，再
利用复合命题的真值表，即可求解．
【详解】
由题意，若 ，则函数 与函数 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 ，
即命题 是真命题，则 为假命题；
函数 在 上单调递增，则满足 ，解得 ，
所以命题 是假命题．
所以 为假命题，命题 为假命题．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，以及一元
二次函数的性质，求得命题 的真假是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
18．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知 ， ，“
且 ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
且 等价于 ， 等价于 ，
作出两个不等式组对应的平面区域都是以 ， ， ， 为顶点的正方形
∴“ 且 ”是“ ”的充要条件，
故选C．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题
的关键．
19．【2020·天津南开中学高三月考】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体
体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个
同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p
是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断可得.【详解】
由 ，反之不成立．
是 的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．【2020·天津一中高三月考】设 则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解绝对值不等式与分式不等式，根据充分必要条件的性质即可判断.
【详解】
解绝对值不等式可得 ，即 ，
将分式不等式变形可得 ，解得 ，
因为 ，
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故选B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，属于基础题.
21．【江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学(文)】下列命题错误的是
A．“ ”是“ ”的充要条件B．命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题
C．在 中，若“ ”，则“ ”
D．若等比数列 公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次方程即可判断A正确；根据一元二次方程有实根则 即可得解；由 及
正弦定理即可推出 ，C正确.
【详解】
由 ，∴A正确；
命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为命题“若方程 有实根，则
”，
∵方程 有实根 ，∴B正确；
在 中，若 (根据正弦定理)，∴C正确，
故选D．
【点睛】
本题考查命题的真假判断、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题.
22．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】已知“若 则 ”为真命题，“若 则 ”为假命题，则
成立是 成立的A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
“若 则 ”为真命题， 由 成立可以推出 成立，
成立是 成立的充分条件，
“若 则 ”为假命题，即“若 则 ”为假命题，
由 成立不能推出 成立，
成立是 成立的充分不必要条件.
故选B．
【点睛】
本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真
假性没有关系.判断 是 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 能否推出条件 ；二是由条
件 能否推出条件 .
23．【2020·山东省高三月考】已知直线 ，则“ ”是“直线 与圆 相
切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】【分析】
由题可知直线 过圆 上一定点 ,若直线 与圆 相切,则 ,据
此计算出 ,从而得出结论.
【详解】
直线 过定点 ,
又点 在圆 上,
若直线 与圆 相切,
则 ,即有 ,
因此“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件.
故选C．
【点睛】
本题考查了直线与圆相切的应用,考查了充分必要条件的判断,难度不大.
24．【2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(文)】下列说法正确的是
A．若 为假命题，则 、 均为假命题
B． ，“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”
D． 成立的充要条件是“ 且 ”
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合命题真假性、充分条件与必要条件的判定、含量词的命题的否定可依次判断各个选项得到结
果.
【详解】
对于A，若 为假命题，则 至少有一个假命题，A错误；
对于B，由 得： 或 ，则由 ， ，
“ ”是“ ”的必要不充分条件，B正确；
对于C，原命题的否定为： ，都有 ，C错误；
对于D，当 时， ， 且 不是 成立的充要条件，D错
误.
故选B．
【点睛】
本题考查命题与简易逻辑的相关命题的辨析，涉及到由复合命题真假性判断原命题真假性、充分条件
与必要条件的判定、含量词的命题的否定等知识.
25．【2020·江西省高三月考(文)】已知 ，表示的平面区域为 ，若“ ”
为假命题，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称
命题的真假关系得出“ ”为真命题，由恒等式的思想可得实数 的取值范围.
【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令 得 ，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程 得点 ，所以 的最大值为5，
因为“ ”为假命题，所以“ ”为真命题，所以实数 的取值
范围是 ，
故选A．
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
26．【2020·广东省高三月考(文)】若m，n表示互不重合的直线， ， 表示不重合的平面，则 的
一个充分条件是
A． ， B． ，
C． ， D． ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断各选项.
【详解】
对于A， ， 则当 时不能得到 ，因而不是充分条件，所以A错误；
对于B， ， 则当 时不能得到 ，因而不是充分条件，所以B错误；对于C， ， 则当 时不能得到 ，因而不是充分条件，所以C错误；
对于D， ， ， ，则 ，所以D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对空间想象能力要求较高，属
于基础题.
27．【2020·贵州省高三月考(文)】设 ， 为两个平面，命题 ： 的充要条件是 内有无数条直
线与 平行；命题 ： 的充要条件是 内任意一条直线与 平行，则下列说法正确的是
A．“ ”为真命题 B．“ ”为真命题
C．“ ”为真命题 D．“ ”为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面与平面平行的定义和判定定理可得命题 为假，命题 为真，根据复合命题间的真假关系，
逐项判断，即可求出结论.
【详解】
若 ，则在 中存在无数条直线与 平行，
也平行平面 ，所以命题 为假；
若 ，由面面平行的性质定理可知 内任意一条直线与 平行，
若 内任意一条直线与 平行，则在 内必存在两条相交的直线平行 ，
根据平面与平面平行的判定定理可得， ，所以命题 为真，
“ ”为假命题，选项A错误；
“ ”为假命题，选项B错误；
“ ”为真命题，选项C正确；“ ”为假命题，选项D错误.
故选C．
【点睛】
本题考查复合命题真假的判定，涉及到平面与平面平行的判定和性质，属于基础题.
