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专题 12 不等式选讲
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 ．
(1)画出 的图像；
(2)求不等式 的解集．
【解析】(1)由题设知
的图像如图所示．(2)函数 的图像向左平移1个单位长度后得到函数 的图像．
的图像与 的图像的交点坐标为 ．
由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方，
故不等式 的解集为 ．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，
属于基础题．
2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．
(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．
【解析】(1)当 时，因此，不等式 的解集为 ．
(2)因为 ，故当 ，即 时， ．
所以当a≥3或a≤-1时， ．
当-1<a<3时， ，
所以a的取值范围是 ．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a，b，c∈R， a+b+c=0，abc=1．
(1)证明：ab+bc+ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
【解析】(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以
.
(2)不妨设 max{a，b，c}=a，因为 ，所以 a>0，b<0，c<0.由 ，可得
，故 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
设 ，解不等式 ．
【解析】当x>0时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ．
综上，原不等式的解集为 ．1．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)当 ， 时，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1)由 得 ，
当 时，得 ，所以 ；
当 时，得 ，所以 ；
当 时，得 ，所以 ；
综上，此不等式的解集为： ；
(2)由 ，
由绝对值不等式得 ，
又因为 同号，所以 ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含
绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查
了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】设a、b、c均为正数，
(Ⅰ)证明： ；
(Ⅱ)若 ，证明 .
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】(Ⅰ)因为 ， ， 均为正数，由重要不等式可得
， ， ，
以上三式相加可得 ，
即 ；
(Ⅱ)因为 ，由(Ⅰ)可知 ，
故 ，
所以 得证．
【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．
3．【2020·四川省泸县第二中学高三二模】已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若函数 的最小值记为 ，设 ， ，且有 .求 的最小值.
【答案】(1) (2)【解析】(1)因为
从图可知满足不等式 的解集为 .
(2)由图可知函数 的最小值为 ，即 .
所以 ，从而 ，
从而
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 .
【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.4．【2020·辽宁省高三三模】设函数 ．
(1)解不等式 ；
(2)若 最小值为 ，实数 、 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) 或 ；(2) ．
【解析】(1) ，
由 得 或 或 ，
得 或 或 ，∴不等式解集 或 ．
(2)根据图象知： ，∴ ，
所求可看做点 到直线 的距离的平方， ．
∴ 的最小值为 ．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为
点到直线的距离是解题的关键.
5．【2020·山西省高三其他】已知函数 ， .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 对于任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)由 ，得 ，
平方得 ，
得 ，
得 ，
得 ，
解得 或 .故不等式 的解集是 .
(2)若 恒成立，即 恒成立.
只需 即可.
而 ，
所以 ，得 ，
解得 .
故实数 的取值范围是： .
【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等式的恒成立问题，考察了数学运算技能和逻辑
推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.
6．【2020·河北省高三其他】已知函数 ， .
(Ⅰ)求函数 的最小值；
(Ⅱ)对于任意 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ) ，
上单调递减，在 上单调递增，
，
故当 时， 取得最小值2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ，
而 ，
当 时等号成立，
由题意知，对任意 ，存在 使得 成立，
则 ，
即 ，
所以 ，
解得： ，
即 的取值范围为 .
【点睛】本题考查根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式
的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考查转化思想和运算能力．
7．【2020·山西省太原五中高三月考】已知函数 ， .
(1)解不等式： ；
(2)记 的最小值为 ，若实数 ， 满足 ，试证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1) ., 或 或 ,
或 或 ,
,
不等式的解集为 ;
(2)因为 (当且仅当 等号成立),
所以 的最小值 ,即 ,
所以
(当且仅当 , 等号成立).
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.
8．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】已知函数 ，
.
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
【答案】(1) ；(2)【解析】(1)当 时， ，
由 得： ；由 得： ；由 得： ，
综上所述： 的解集为 .
(2)由题意可知：当 时， 恒成立，
即 恒成立，
， ，当 时， ， ， ，
， 在 上恒成立，
，又 ，可解得： ，
的取值集合为 .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为
在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的
大小关系求解问题.
9．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】函数 ，其中 ， ， ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为3，求证： ．【答案】(1) ．(2)见解析
【解析】(1)当 时，不等式 ，
即 ，即 ．
当 时，化为 ，解得 ；
当 时，化为 ，此时无解；
当 时，化为 ，解得 ．
综上可得，不等式 的解集为： ．
(2)由绝对值三角不等式得
．
由基本不等式得 ， ， ，
三式相加得 ，
整理即得 ，当且仅当 时，等号成立．
【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综
合应用能力.
10．【2020·银川高级中学高三月考】已知 ，不等式 的解集为 .
(1)求集合 ；
(2)当 时，证明： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1) ，
所以 等价于
或 或 ，
或 或 ，
；
(2)当 时，即 ，
，
.
【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法
证明不等式，属于中档题.
11．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他】已知函数 ， .
(1)当 ， 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为2，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】(1)依题意 ，当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，解得 成立，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
综上所述，不等式的解集为 .
(2) ，
所以
.
当且仅当 时，取等号.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.
12．【2020·重庆高三月考】已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)当 时，若关于x的不等式 的解集为空集，求实数b的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)当 时，不等式可化为
或 或
或 或故不等式 的解集为
(2)当 时，
( 当且仅当 时取等号)，则不等式
因此 的解集为空集等价于 ， 解得
故实数b的取值范围是
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、绝对值三角不等式应用，考查基本分析求解能力，属
中档题.
13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】已知 ， ， 均为正实数，求证：
(1) ；
(2)若 ，则 .
【答案】证明过程详见解析
【解析】(1)要证 ，
可证 ，需证 ，
即证 ，当且仅当 时，取等号，由已知，上式显然成立，
故不等式 成立．
(2)因为 均为正实数，
由不等式的性质知 ，当且仅当 时，取等号，当且仅当 时 ，取等号， 当且仅
当 时，取等号，
以上三式相加，得
所以 ，当且仅当 时，取等号．
【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行
化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．
14．【2020·河南省高三三模】关于x的不等式|x﹣2|＜m(m∈N*)的解集为A，且 ∈A， ∉A．
(1)求m的值；
(2)设a，b，c为正实数，且a+b+c＝3m，求 的最大值．
【答案】(1)m＝1；(2)最大值为3．
【解析】(1)∵ ∈A， ∉A，
∴| 2|＜m，| 2|≥m，
∴ m ，
∵m∈N*，∴m＝1；
(2)a，b，c为正实数，且a+b+c＝3，
∴
．
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴ 的最大值为3．
【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题.
15．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他】已知 ， .
(1)解不等式 ；
(2)若方程 有三个解，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)不等式 ，即为 .
当 时，即化为 ，得 ，
此时不等式的解集为 ，
当 时，即化为 ，解得 ，
此时不等式的解集为 .
综上，不等式 的解集为 .
(2)
即 .
作出函数 的图象如图所示，当直线 与函数 的图象有三个公共点时，方程 有三个解，所以 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
