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专题 03 导数及其应用
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
.
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数 ．若 ，则a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最
大，即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙
企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
【解析】(1)当a=1时，f(x)=ex–x–2，则 =ex–1．
当x<0时， <0；当x>0时， >0．
所以f(x)在(–∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增．
(2) =ex–a．
当a≤0时， >0，所以f(x)在(–∞，+∞)单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．
当a>0时，由 =0可得x=lna．
当x∈(–∞，lna)时， <0；
当x∈(lna，+∞)时， >0．所以f(x)在(–∞，lna)单调递减，在(lna，+∞)单调递增，故当x=lna时，
f(x)取得最小值，最小值为f(lna)=–a(1+lna)．
(i)若0≤a≤ ，则f(lna)≥0，f(x)在(–∞，+∞)至多存在1个零点，不合题意．
(ii)若a> ，则f(lna)<0．
由于f(–2)=e–2>0，所以f(x)在(–∞，lna)存在唯一零点．
由(1)知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，
．
故f(x)在(lna，+∞)存在唯一零点，从而f(x)在(–∞，+∞)有两个零点．
综上，a的取值范围是( ，+∞)．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，
根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线
和直线 有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f(x)=2lnx+1．
(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范围；
(2)设a>0时，讨论函数g(x)= 的单调性．
【解析】设h(x)=f(x)−2x−c，则h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)， .
(1)当00；当x>1时，h'(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.
从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即c≥−1时，f(x)≤2x+c.
所以c的取值范围为[−1，+∞).(2) ，x∈(0，a)∪(a，+∞).
取c=−1得h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即
1−x+lnx<0.故当x∈(0，a)∪(a，+∞)时， ，从而 .
所以 在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了
数学运算能力，是中档题.
6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
【解析】(1) ．
当k=0时， ，故 在 单调递增；
当k<0时， ，故 在 单调递增．
当 k>0 时，令 ，得 ．当 时， ；当 时，
； 当 时 ， ． 故 在 ， 单 调 递 增 ， 在
单调递减．
(2)由(1)知，当 时， 在 单调递增， 不可能有三个零点．当k>0时， 为 的极大值点， 为 的极小值点．
此时， 且 ， ， ．
根据 的单调性，当且仅当 ，即 时， 有三个零点，解得
．因此k的取值范围为 ．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻
辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
7．【2020年高考天津】已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求函数 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
【解析】(Ⅰ)(i)当 时， ，故 ．可得 ， ，所
以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
(ii)依题意， ．从而可得 ，整理可
得 ．令 ，解得 ．当 变化时， 的变化情况如下表：
1
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 的极小值为 ，无
极大值．
(Ⅱ)证明：由 ，得 ．
对任意的 ，且 ，令 ，则
． ①
令 ．当 时， ，由此可得
在 单调递增，所以当 时， ，即 ．
因为 ， ，
所以，． ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ． ③
由①②③可得 ．所以，当 时，对任意的
，且 ，有 ．
8．【2020年高考北京】已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【解析】(Ⅰ)因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程 为： ，即 .
(Ⅱ)显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
9．【2020年高考浙江】已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
【解析】(Ⅰ)因为 ， ，所以 在 上存在零点．
因为 ，所以当 时， ，故函数 在 上单调递增，
所以函数以 在 上有唯一零点．(Ⅱ)(ⅰ)令 ， ，
由(Ⅰ)知函数 在 上单调递增，故当 时， ，
所以函数 在 单调递增，故 ．
由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．
令 ， ，
令 ， ，所以
故当 时， ，即 ，所以 在 单调递减，
因此当 时， ．
由 得 ，
因为 在 单调递增，故 ．
综上， ．
(ⅱ)令 ， ，所以当 时， ，
故函数 在区间 上单调递增，因此 ．
由 可得 ，
由 得 ．
10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN
的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距
离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端
点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0)，问 为多少米时，桥墩CD与
EF的总造价最低？
【解析】(1)设 都与 垂直， 是相应垂足.
由条件知，当 时，
则 .
由 得
所以 (米).(2)以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系 (如图所示).
设 则
.
因为 所以 .
设 则
所以
记桥墩 和 的总造价为 ，
则
，
令 得
所以当 时， 取得最小值.
答：(1)桥 的长度为120米；
(2)当 为20米时，桥墩 和 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；
(2)若 ，求k的取值范围；
(3)若求证： ．
【解析】(1)由条件 ，得 ，
取 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ，此式对一切 恒成立，
所以 ，则 ，此时 恒成立，
所以 ．
(2) .
令 ，则 令 ，得 .
所以 .则 恒成立，
所以当且仅当 时， 恒成立．
另一方面， 恒成立，即 恒成立，
也即 恒成立．
因为 ，对称轴为 ，
所以 ，解得 ．
因此，k的取值范围是
(3)①当 时，
由 ，得 ，整理得令 则 ．
记
则 恒成立，
所以 在 上是减函数，则 ，即 ．
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
．
设 ，
令 ，得 ．
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数．
， ，则当 时， ．
(或证： ．)
则 ，因此 ．
因为 ，所以 ．
③当 时，因为 ， 均为偶函数，因此 也成立．综上所述， ．
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导
数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
【解析】 的定义域为 ， ．
(1)当 时， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ．
因此所求三角形的面积为 ．
(2)当 时， ．
当 时， ， ．
当 时， ；当 时， ．
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，从而 ．
当 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨
论思想和等价转化思想，属较难试题.
1．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知函数，则函数 的单调递增区间为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
令 得 ，
．
函数 的单调递增区间为 ．
故选C．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．
2．【2020·安徽省高三三模(文)】直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于
A．2 B．－1 C．1 D．－2
【答案】C
【解析】 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，
点 在直线y＝kx＋1，得 ，
且点 在曲线y＝x3＋ax＋b上， ，
，
.
故选C.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
3．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学(文)试题】已知函数 是偶函数，
当 时， ，则曲线 在 处的切线方程为A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ， ，
，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
故选A.
【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
4．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】已知 为正实数，若函数 的极小值为
0，则 的值为
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由已知 ，
又 ，
所以由 得 或 ，即函数在 和 上单调递增，
由 得 ，函数在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值0，
即 ，
又 ，解得 ，
故选A．
【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题.
5．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考(文)】函数 的图象大致是A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，
则 ，令 ，
解得 的两个极值点为 ，故排除AD，
且当 时， 恒为正，排除C，
即只有B选项符合要求，
故选B.
【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.
6．【2020·云南省云南师大附中高三月考】已知函数 ，若 ，
， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，故 为偶函数，
故只需考虑 的单调性即可.
，当 时，设 ，则
所以 在 上单调递增，即 ，故 ，
而 显然成立，故 ，
故 在 上单调递增.
， ，
，
由函数单调性可知 ，即 ，
故选B.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题.
7．【2020·山东省高三三模】已知函数 ．则下面结论正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上为增函数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，函数 的定义域为 ，
，则函数 为偶函数，A选项错误；
对于B选项，当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，B选项正确；
对于C选项，当 时，由基本不等式可得 ，由于函数 在 上为增函数，此时 ，
由于函数 为奇函数，当 时， ，
.
综上所述，当 时， ，C选项正确；
对于D选项，由于函数 为偶函数，由 得 ，
由于函数 在 上为增函数，则 ，解得 ，D选项正确.
故选BCD.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，同时也考查了函数不等式的求解，考查计算能力与推
理能力，属于中等题.
8．【2020·山西省太原五中高三月考(文)】已知函数 ，若 ，
其中 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ， ，则 ，
作函数 的图象如下：由图可知，当 时， 有唯一解，故 ，且 ，
∴ ，
设 ， ，则 ，令 ，解得 ，
易得当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故 ，即 的最大值为 .
故选A.
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查化简变形能力及数形结合思想，属于中档题．
9．【2020届河北省石家庄市高考模拟数学(文)试题】已知函数 对于任意 ，均满足
，当 时， (其中 为自然对数的底数)，若存在实数
满足 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 知 关于 对称，如图，因此 ，所以
，又因为 ，所以 ，因此 ，
由题意知 ，令 ， ，令 得
，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，由
，则 ，故
.
故选D.
【点睛】本题考查导数，函数性质，函数图象的综合应用，重点考查导数研究函数的单调性，最值，数
形结合分析问题的能力，函数与方程思想的应用，属于中档偏难题型，本题的关键是转化
，并根据数形结合得到条件 .
10．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学(文科)试题】已知偶函数 在上存在导函数 ，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
由于 为偶函数，则 为奇函数，
所以 .
因为当 时， ，
即 ，
所以 ，
即 .
所以当 时， ，
所以 在 上单调递增.
因为 在 上为奇函数且在 上具有导函数，
所以 在 内单调递增.
因为 ，
所以 ，又 等价于 ，
所以 ，
解得 或 .
综上所述， 的取值范围为 .
故选C.
【点睛】本题考查了导数的综合应用,重点考查了函数的性质,属中档题.
11．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】已知函数 ，若 ， ，使
得 ，且 ，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ，即 ，解得 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
在 处取得极大值，极大值为 ；
在 处取得极小值，极小值为 .
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或 ；
令 ，即 ，即 ，解得 (舍)或 ；
的最大值为 .故选C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值
与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
12．【2020·河北省高三一模(文)】已知定义域为 的函数 满足 ，其中
为 的导函数，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，故 在 上单调递增.又
，且 ，故原不等式可转化为 ，所
以 ，解得 .
故选D.
【点睛】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧：利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求
解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构
造的辅助函数形式有：
(1) )；(2) ；
(3) ；(4) ；(5) .
13．【2020届广东省珠海市高三下学期学业质量监测数学(文)试题】函数 的零点的个数为A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】A
【解析】 在 上是增函数， 的零点个数为 .故选A.
【点睛】函数的零点的判断方法有三种：一、直接求零点：令 ,如果能求出解，有几个解就
有几个零点；二、零点存在性定理：函数在连续的区间 上有定义且 ，则函数在
上存在零点；三、先把所求的函数分解成两个简单的函数，再由两函数图象看交点个数，交点
横坐标即为函数的零点.
14．【2020·四川省泸县五中高三月考(文)】已知函数 ，若对任意的
在区间 上总存在唯一的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上总存在唯一的零点，即 与 的图象在 上仅有一个交点，
，即 ， ，， ， ，
即 的取值范围为 .
故选B.
【点睛】本题考查根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题，涉及到恒成立思想的应用；关
键是能够根据导数求得函数的单调性，进而确定 与 的关系.
15．【2020·山西省太原五中高三月考(文)】函数 在点 处的切线方程为
__________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，所以
所以切线方程为 ，即
故答案为 .
【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.
16．【2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(文)试题】若曲线 在 处的切线方
程为 ，则 __________
【答案】
【解析】将 代入 ，得切点为 ，
①，
又 ，
， ②.联立①②解得 ， ，
故 .
故答案为 .
【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.
17．【2020·重庆八中高三月考(文)】曲线 在点 处的切线方程为 ，则
______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
切线的斜率 ，
解之得 ， ，
所以切点坐标为 ，
由于切点在切线上，故 ，
解之得 .
故答案为 .
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
18．【2020·山东省高三月考】函数 在点 处的切线方程为 ，
则 ______．
【答案】-1
【解析】 ,则 ,故当 时, ,
又函数 在点 处的切线方程为 ,
所以 ,
故答案为 .
【点睛】本题考查导数几何意义的应用,属于简单题.
19．【2020·盐城市第一中学高三二模】函数 在 上的单调递减，则实数 的取值
范围为______.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为函数 在 上的单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以
所以 ，即 .
故答案为 .
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.20．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 ，若曲线 在 处的切线恰
好平分圆 ： 的周长，则实数 的值为______.
【答案】-3
【解析】圆 即为 ，故圆心为 ．
又 ， ， ，
故切线方程为 ．
将 代入得 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，同时考查圆的弦的性质．
21．【2020·江苏省高三月考】若函数 在区间[1，9]上的最小值为 ，则 的值为
_______.
【答案】
【解析】由题可知， 在区间[1，9]上的最小值为 ，
设 ，则 ，
则原题转化为函数 在区间 上的最小值为 ，
则 ，
当 时， 恒成立，则 在区间 上单调递增，则 ，解得： (舍去)；
当 时，令 ，解得 或 (舍去)，
若 ，即 时， 在区间 上单调递增，
则 ，解得 ，符合题意；
若 ，即 时， 在区间 上单调递减，
则 ，解得 (舍去)；
若 ，即 时， 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，则 ，无正数解，
综上所述， 的值为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数的单调性和最值，从而求出参数值，同时考查转化和分
类讨论思想.
22．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知函数
．
(1)求 在 处的切线方程：(2)已知实数 时，求证：函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
【解析】(1)因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 在 处的切线方程 ；
(2)当 时，函数 的图象与直线 交点的个数等价于函数 的零点个
数，
因为 ， ，
设 ，
因为二次函数 在 时， ， ，
所以存在 ， ，使得 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 ， ，
因此 在 上存在一个零点 ；
又因为当 时， ，
所以 在 上存在一个零点；
当 时， ，
所以 在 上存在一个零点.所以，函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考
查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
23．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷 文科数学试题】设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，当 ，且 时， ，求 的取值范围．
【解析】(1)依题得， 的定义域为 ， ， ，
令 ， ，
①若 ，即 ，则 恒成立，
从而 恒成立，当且仅当 ， 时， ，
所以 在 上单调递增；
②若 ，即 ，令 ，得 或 ．
当 时， ；
当 时， ，
综合上述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增．
(2)依题意可知： ，
令 ，可得 ， ，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
故 ，
要使 在 时恒成立，需要 在 上单调递减，
所以需要 ，
即 ，此时 ，故 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】(1)考查了利用导数求函数的单调性，含参问题分类讨论.
(2)考查了对题目的理解，分析，将恒成立问题转化成函数单调性问题，利用导数值的正负与函数的单
调性关系列式求解.
24．【2020·重庆八中高三月考(文)】已知函数 ．( 为自然对数的底数)
(1)设 为 的导函数，求证：当 时， ；
(2)若 ，且 是 的极小值点，求实数 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，即证 ，即 ，
先证： ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ；
再证： ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ，又 ，所以 ；
所以 ，即 ，所以 ；
(2) ， ，所以 在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，且 ，解之得 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
此时 在 处取得最小值，
综上 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、单调性，考查逻辑推理、抽象概括和核心素养,属于常考题.
25．【2020·河南省高三月考(文)】已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，对任意的 ，证明： .
【解析】(1)函数 的定义域为 ， .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递增；
令 ，得 ，所以 在 上单调递减.(2)由题意得 ，由(1)知，当 时，不满足题意，
故 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故只需 即可.
令 ，则 ，
所以当 时， ；当 ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 .
又∵ ，
所以 ，解得 .
综上，m的取值范围是 .
(3) ，
因为 ，所以 ，
由(2)得， 时， ( 时，等号成立)
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 .因为 ，所以 ，即 .
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及的知识点有利用导数研究函数的单调性，
根据恒成立求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于较难题目.
26．【2020·四川省棠湖中学高三一模(文)】已知函数 ， .
(1)若 的切线过 ，求该切线的方程；
(2)讨论 与 图像的交点个数.
【解析】(1) ， ，
设切点为 ，则 ，
化简得 ，所以 ， ，
所以切线方程为 .
(2)设 ，即讨论 零点的个数.
，
时， 只有一个零点；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， 时， 均 ，此时， 有两个零点，
时， 时， ， 时 ，
由 得 ， ，若 时， 在 上单调递增，只有一个零点；
若 时， ， ，
极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点.
综上， 时，只有一个交点； 时，有两个交点.
【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程，两个函数图像交点个数的判断，难度较大.求函数的切线
方程时，要注意区分“在某点”和“过某点”，这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时，常
用构造函数法，转化为求解零点个数的题型.
27．【2020·重庆巴蜀中学高三月考(文)】函数 .
(1)若函数 在 处的切线为 ，求函数 的单调递增区间；
(2)证明：对任意 时， .
【解析】(1) ，
由题有
所以 ，
又定义域为 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
(2)由(1)有 ，，
由
，
下证 ，等价于 .
设 ，由 ，则 .
原式等价于： .
设 ， ，
恒成立，所以 在 上单调递增，
， 得证.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调区间、不等式的证明等知识，
考查等价转化思想，以及逻辑推理和数学计算能力，属于较难题.
28．【2020·云南省昆明一中高三月考(文)】已知函数 .
(1)若 ，求 的零点个数；(2)若 ，证明： .
【解析】(1)当 时， ， ，
若 ，因为 ，所以 在 上单调递增，
又 ，且 ，
结合零点存在性定理可知 在 上有且仅有一个零点，
若 ，则 且 ，所以 ，
若 ，因为 ，所以 ，
综上， 在 上有且仅有一个零点.
(2)当 时， ，且 ，故 ，
构造函数 ， ，
则 ，
若 ，则 ，故 在 上单调递增，
若 ，则 ，故 在 上单调递减，
故 ，即 对任意 恒成立，当且仅当 时取得等号，
当 时， ，故 对任意 恒成立.
【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的零点个数及利用导数证明不等式，属于较难题.
29．【2020·海南省海南中学高三月考】设函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；(2)当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值.
【解析】(1) , ,
,
曲线 在点 处的切线与 轴平行,
,即 ,解得 ,
经验证 满足题意.
(2)令 ,即 ,则 ,
①当 时,即 ,
对于任意 有 ,故 在 上单调递减；
对于任意 有 ,故 在 上单调递增,
因此当 时, 有最小值为 成立.
②当 时,即 ,
对于任意 有 ,
故 在 上单调递减,
因为 ,所以 ,即 ,
综上, 的最大值为 .
【点睛】本题考查导函数的几何意义的应用,考查利用导函数求函数的最值,考查分类讨论思想和运算
能力.
30．【福建省福州市2019-2020学年高三4月份高考(文科)数学模拟试题】已知函数
， 为 的导函数．(1)设 ，求 的单调区间；
(2)若 ，证明： ．
【解析】(1)由已知， ，
所以 ， ，
令 ，得 ，解得 ，
令 ，得 ，解得 ，
故 的单调递增区间是 ；单调递减区间是
.
(2)要证 ，只需证： ．
设 ， ，则 ．
记 ，则 ．
当 时， ，又 ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
又 ， ，所以 ．
综上，当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增．所以， ，即 ，
所以， 在 上递增，则 ，证毕．
【点睛】本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素
养，是一道有一定难度的压轴题.
31．【2020·辽宁省高三二模(文)】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 在 上的零点个数.
【解析】(1)∵ ，
∴ ，
当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
当 时，
令 ，得 ，令 ，得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)令 ，得 ，
设 ，则 .令 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
当 时， 在 上无解，所以 在 上没有零点；
当 时， 在 上有且仅一个解，所以 在 上有一个零点；
当 时， 在 上有两个解，所以 在 上有两个零点.
综上，当 时， 在 上没有零点；
当 时， 在 上只有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点.
【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问
题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.
32．【2020·重庆市云阳江口中学校高三月考(文)】已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，其中 .证明： 的图象在 图象的下方．
【解析】(1)因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .(2)设 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以在区间 内，存在唯一的 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 的图象在 图象的下方.
【点睛】本题考查的是导数的几何意义及利用导数证明不等式，属于中档题.
33．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 ，其导函数为 .
(1)若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围：
(2)当 时，证明： 在区间 上有且只有两个零点.【解析】(1) ，
由题意得： 在 上恒成立 即 在 上恒成立，
由于函数 在 上单调递减，所以 ， ，
所以 .
(2)当 时， .
设 ，则 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 在 上单调递增；
当 时， ，即 ， 在 上单调递减；
又 ， ， ，
所以 在 和 上各有一个零点，从而 在 上有且仅有两个零点.
【点睛】本题考查根据不等式的恒成立求参数取值范围、证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、
转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.
34．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 的图象在 处切线与直线
平行.
(1)求实数 的值，并判断 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明 .
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
由 ，解得 ，
所以 ， ，
由 ，得 ，故 在 上单调递减；
由 ，得 ，故 在 上单调递增.
(2)证明： ，由 为函数 的两个零点，
得 ， ，
两式相减，可得 ，即 ， ，
因此 ， .
令 ，由 ，知 ，
则 .
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，故 ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
【点睛】本题考查导数的几何意义，函数单调区间的求解，以及利用导数证明不等式，属压轴题.
35．【2020·梅河口市第五中学高三月考(文)】已知函数 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，证明： ，当 时，函数 恒有两个不同零
点.
【解析】(1)由题意得： ，
①当 时， ， 在 上单调递增；②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调
递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
(2)由题意得： ，
令 ，解得 ，
令 ，则问题等价于当 时， 与 的图象恒有两个不同的
交点，
，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
又 时， ； 时， ，
当 时， 与 的图象恒有两个不同的交点，
即 ， 与 的图象恒有两个不同的交点，当 时， 在 上恒有两个不同的零点.
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、利用导数求解函数零
点个数问题；求解函数零点个数的关键是能够将问题转化为曲线与直线交点个数问题，利用导数求得
函数图象，通过数形结合的方式来进行求解.
