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专题 03 导数及其应用
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
.
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数 ．若 ，则a=_________．
3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的
关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．
4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f(x)=2lnx+1．
(1)若f(x)≤2x+c，求c的取值范围；
(2)设a>0时，讨论函数g(x)= 的单调性．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求 的取值范围．
7．【2020年高考天津】已知函数 ， 为 的导函数．
(Ⅰ)当 时，
(i)求曲线 在点 处的切线方程；
(ii)求函数 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
8．【2020年高考北京】已知函数 ．
(Ⅰ)求曲线 的斜率等于 的切线方程；
(Ⅱ)设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
9．【2020年高考浙江】已知 ，函数 ，其中e=2.71828…是自然对数的底数．(Ⅰ)证明：函数 在 上有唯一零点；
(Ⅱ)记x 为函数 在 上的零点，证明：
0
(ⅰ) ；
(ⅱ) ．
10．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平
线MN上，桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN
的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距
离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端
点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0)，问 为多少米时，桥墩CD与
EF的总造价最低？
11．【2020年高考江苏】已知关于x的函数 与 在区间D上恒有
．
(1)若 ，求h(x)的表达式；(2)若 ，求k的取值范围；
(3)若
求证： ．
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数 ．
(1)当 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
1．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知函数
，则函数 的单调递增区间为
A． B． C． D．
2．【2020·安徽省高三三模(文)】直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于
A．2 B．－1 C．1 D．－2
3．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学(文)试题】已知函数 是偶函数，
当 时， ，则曲线 在 处的切线方程为
A． B． C． D．
4．【2020·广西壮族自治区高三月考(文)】已知 为正实数，若函数 的极小值为
0，则 的值为
A． B．1 C． D．2
5．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考(文)】函数 的图象大致是A． B．
C． D．
6．【2020·云南省云南师大附中高三月考】已知函数 ，若 ，
， ，则
A． B．
C． D．
7．【2020·山东省高三三模】已知函数 ．则下面结论正确的是
A． 是奇函数 B． 在 上为增函数
C．若 ，则 D．若 ，则
8．【2020·山西省太原五中高三月考(文)】已知函数 ，若 ，
其中 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
9．【2020届河北省石家庄市高考模拟数学(文)试题】已知函数 对于任意 ，均满足，当 时， (其中 为自然对数的底数)，若存在实数
满足 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
10．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学(文科)试题】已知偶函数 在
上存在导函数 ，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为
A． B．
C． D．
11．【2020·安徽省淮北一中高三月考(文)】已知函数 ，若 ， ，使
得 ，且 ，则 的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．6
12．【2020·河北省高三一模(文)】已知定义域为 的函数 满足 ，其中
为 的导函数，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．13．【2020届广东省珠海市高三下学期学业质量监测数学(文)试题】函数 的零点的个数为
A．1 B．3 C．2 D．4
14．【2020·四川省泸县五中高三月考(文)】已知函数 ，若对任意的
在区间 上总存在唯一的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
15．【2020·山西省太原五中高三月考(文)】函数 在点 处的切线方程为
__________.
16．【2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(文)试题】若曲线 在 处的切线方
程为 ，则 __________
17．【2020·重庆八中高三月考(文)】曲线 在点 处的切线方程为 ，则
______．
18．【2020·山东省高三月考】函数 在点 处的切线方程为 ，
则 ______．
19．【2020·盐城市第一中学高三二模】函数 在 上的单调递减，则实数 的取值
范围为______.
20．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 ，若曲线 在 处的切线恰
好平分圆 ： 的周长，则实数 的值为______.21．【2020·江苏省高三月考】若函数 在区间[1，9]上的最小值为 ，则 的值为
_______.
22．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题】已知函数
．
(1)求 在 处的切线方程：
(2)已知实数 时，求证：函数 的图象与直线 ： 有3个交点．
23．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷 文科数学试题】设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，当 ，且 时， ，求 的取值范围．
24．【2020·重庆八中高三月考(文)】已知函数 ．( 为自然对数的底数)
(1)设 为 的导函数，求证：当 时， ；
(2)若 ，且 是 的极小值点，求实数 的取值范围．
25．【2020·河南省高三月考(文)】已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下(提示：可以用第(2)问的结论)，对任意的 ，证明： .
26．【2020·四川省棠湖中学高三一模(文)】已知函数 ， .
(1)若 的切线过 ，求该切线的方程；(2)讨论 与 图像的交点个数.
27．【2020·重庆巴蜀中学高三月考(文)】函数 .
(1)若函数 在 处的切线为 ，求函数 的单调递增区间；
(2)证明：对任意 时， .
28．【2020·云南省昆明一中高三月考(文)】已知函数 .
(1)若 ，求 的零点个数；
(2)若 ，证明： .
29．【2020·海南省海南中学高三月考】设函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值.
30．【福建省福州市2019-2020学年高三4月份高考(文科)数学模拟试题】已知函数
， 为 的导函数．
(1)设 ，求 的单调区间；
(2)若 ，证明： ．
31．【2020·辽宁省高三二模(文)】已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 在 上的零点个数.
32．【2020·重庆市云阳江口中学校高三月考(文)】已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 ，其中 .证明： 的图象在 图象的下方．
33．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 ，其导函数为 .
(1)若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围：
(2)当 时，证明： 在区间 上有且只有两个零点.
34．【2020·江西省高三月考(文)】已知函数 的图象在 处切线与直线
平行.
(1)求实数 的值，并判断 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ，且 ，证明 .
35．【2020·梅河口市第五中学高三月考(文)】已知函数 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，证明： ，当 时，函数 恒有两个不同零
点.
