文档内容
专题 03 导数及其应用
易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系
A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 与时间t(天)的关系如图
所示，则一定有
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在 上的平均变化率比B机关单位的用电量在 上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
【错解】选C.
因为在(0，t)上， 的图象比 的图象陡峭，所以在(0，t)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机
0 0
关单位大．
【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等
要弄清．1．平均变化率
函数 从 到 的平均变化率为 ，若 ， ，则平均
变化率可表示为 .
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数 来描述，那么，物体在时刻 的瞬时速度v就是物体在
到 这段时间内，当 无限趋近于0时， 无限趋近的常数.学！科网
1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十
八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较
轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度
吗？
【答案】见解析.
【解析】山路从A到B高度的平均变化率为h ＝ ，
AB
山路从B到C高度的平均变化率为h ＝ ，
BC
∴h >h ，
BC AB
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．
易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． 或 D． 或
【错解】设 ，由定义得f ′(2)=12，
∴所求切线方程为 ，即 .
【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线
上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
【试题解析】①易知P点在曲线 上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为 .
②当P点不是切点时，设切点为A(x，y)，由定义可求得切线的斜率为 .
0 0
∵A在曲线上，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或x=2(舍去)，
0
∴ ，k=3，此时切线方程为y+1=3(x+1)，即 .
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为 或 .
【参考答案】D
1．导数的几何意义
函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 .
2．曲线的切线的求法若已知曲线过点 ，求曲线过点P的切线，则需分点P(x，y)是切点和不是切点两种情况求解：
0 0
（1）当点 是切点时，切线方程为 ；
（2）当点 不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x，f (x))；
1 1
第二步：写出过 的切线方程为 ；
第三步：将点P的坐标(x，y)代入切线方程求出x；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程 ，可得过点 的切线方程．
1
2．过点 作曲线 的切线，则切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
在求曲线 的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线 上）
的切线方程，前者的切线方程为 ，其中切点 ，后者一般先设出切点坐标，再求解.
易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则
求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
【错解】（1） ；
（2） .
【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求
导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.
本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.
1．导数计算的原则
先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．导数计算的方法
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
3．若函数 满足 ，则 的值为
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【解析】 令x=1,则
故答案为A.
（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数 与指数函数 且
的导数公式， 与 的导数， 与 的导数及积与商的导数公式记混弄错．
（2）本题中 要将其看作一个常数进行计算，否则无法求解．
易错点4 区分复合函数的构成特征
求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .【错解】（1） ；
（2） .
【错因分析】这是复合函数的导数，若 ，则 .如（1）中， ，
，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导
公式求导．
【试题解析】解法一： （1）∵ ，∴ .
（2）∵ ，∴ .
解法二：（1） ．
（2） .
【参考答案】（1） ；（2） .
1．求复合函数的导数的关键环节：
①中间变量的选择应是基本函数结构；
②正确分析出复合过程；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
④善于把一部分表达式作为一个整体；
⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.
2．求复合函数的导数的方法步骤：
①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
②求每一层基本初等函数的导数；
③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4．曲线 在点 处的切线方程是__________．
【答案】
【解析】 ，所以斜率为 ，切线方程为
易错点5 审题不细致误
设函数 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
【错解】（1）∵ ，∴ ，∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）∵ 在定义域上为增函数，∴ 恒成立，
∵ ，∴ 恒成立，
∴ ，∴ ，即实数a的取值范围是 .【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单
调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条
件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．
【试题解析】（1）由已知得x>0，故函数 的定义域为(0，+∞)．
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）若 在定义域上是增函数，则 对x>0恒成立，
∵ ，
∴需x>0时 恒成立，即 对x>0恒成立．
∵ ，当且仅当x=1时取等号，
∴ ，即实数a的取值范围是 .
【参考答案】（1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） .
用导数求函数 的单调区间的“三个方法”：1．当不等式 (或 )可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数 ；
③解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
④解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2．当方程 可解时，
①确定函数 的定义域；学科网
②求导数 ，令 ，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
③把函数 的间断点(即 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，
然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间；
④确定 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
3．当不等式 (或 )及方程 均不可解时，
①确定函数 的定义域；
②求导数并化简，根据 的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定 的符号；
③得单调区间．
5．已知函数 .
（1）若函数 在点 处切线的斜率为4，求实数 的值；（2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）6；（2）见解析；（3） .
【解析】（1） ，而 ，即 ，解得 .
（2）函数 的定义域为 .
①当 时， ， 的单调递增区间为 ；
②当 时， .
当 变化时， 的变化情况如下:
由此可知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（3） ，于是 .
因为函数 在 上是减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
又因为函数 的定义域为 ，所以有 在 上恒成立.
于是有 在 上恒成立，
设 ，则 ，
所以有 ， ，
当 时， 有最大值 ，
于是要使 在 上恒成立，只需 ，即实数 的取值范围是 .
若 的单调减区间为 ，则在 的两侧函数值异号，且 ；
若 在区间 上单调递减，则 在 上恒成立．
易错点6 极值的概念理解不透彻
已知 在 处有极值 ，则 ________.
【错解】 或
由题得， ，由已知得 解得 或 ，所
以 等于 或 .
【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“ 是
f(x)的极值点”的情况．【试题解析】由题得， ，由已知得 解得 或
，所以 等于 或 .
当 时， 在x=1两侧的符号相反，符合题意.
当 时， 在x=1两侧的符号相同，所以 不合题意，舍去.
综上可知， ，所以 .
【参考答案】
对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑 ，又要考虑在 两侧的导数值符号不同，否则
容易产生增根．
1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
2．求函数 极值的方法：
①确定函数 的定义域．
②求导函数 ．
③求方程 的根．
④检查 在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取得极
大值，如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值，如果 在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．
3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况，得关于参
数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
6．若函数 在 内有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
（1） 在 处有极值时，一定有 ， 可能为极大值，也可能为极小值，应检验 在
两侧的符号后才可下结论；
（2）若 ，则 未必在 处取得极值，只有确认 时， ，才可确
定 在 处取得极值．
（3）在本题中，不要遗漏掉 这种特殊情况.易错点7 被积函数与积分上、下限确定不准致误
由抛物线 与直线 及y=0所围成图形的面积为
A． B．
C． D．
【错解】D
由 得 ，由 得 ，
由 得 或 (舍去)．
∴所求面积 ，故选D.
【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区
间致误．
【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，
由 得 或 (舍去)，所以抛物线 与直线 的交点坐
标为(2,4)，
方法一：(选y为积分变量).
方法二：(选x为积分变量)
.
【参考答案】C
用定积分求较复杂的平面图形的面积时：
一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；
二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，
积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；
三要找准原函数．
1．利用定积分求平面图形面积的步骤
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
2．定积分与曲边梯形的面积的关系
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形
来确定：设阴影部分面积为S,则
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
7．如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，又 ，
， 豆子落在图中阴影部分的概率为 .
故选A.
在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主
要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，
否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线 ， ， 和曲线所围成的曲边梯形的面积是 ．
一、导数的概念及计算
1．导数的定义： .
2．导数的几何意义：函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线
的斜率 ，即 .
求曲线 的切线方程的类型及方法
（1）已知切点 ，求 过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x)，由点斜式写出方程；
0
（2）已知切线的斜率为k，求 的切线方程：设切点 ，通过方程 解得x，再由点
0
斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求 的切线方程：设切点 ，利用导数求得切线斜率 ，
再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x，最后由点斜式或两点式写出方程．
0
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由
求出切点坐标 ，最后写出切线方程．
（5）①在点 处的切线即是以 为切点的切线， 一定在曲线上.
②过点 的切线即切线过点 ， 不一定是切点．因此在求过点 的切线方程时，应首先检验点 是
否在已知曲线上．
3．基本初等函数的导数公式
函数 导数f (x)=C(C为常数) =
f (x)=sin x
f (x)=cos x
f (x)=ln x
4．导数的运算法则
（1） .
（2） .
（3） .
5．复合函数的导数
复合函数 的导数和函数 的导数间的关系为 ，即y对x的
导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
二、导数的应用
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，在某个区间(a,b)内：
①如果 ，函数f (x)在这个区间内单调递增;
②如果 ，函数f (x)在这个区间内单调递减;
③如果 ，函数f (x)在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( )是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条
件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 .
（3）函数 在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a,b)内恒成立，且 在(a,b)
的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有 ,不影响函数 在区间内
的单调性.
2．函数的极值与导数的关系
一般地，对于函数 ，
①若在点x= a处有f ′(a)= 0，且在点x= a附近的左侧 ，右侧 ，则称x= a为f(x)的极小
值点； 叫做函数f (x)的极小值.
②若在点x=b处有 =0，且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则称x= b为f(x)的极大
值点， 叫做函数f (x)的极大值．
③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
3．函数的最值与极值的关系
①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
②在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
③函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数 在(a,b)内的极值；
②将函数 的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最
小值．
三、定积分与微积分基本定理
1．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点 将区间[a,b]等分成
n个小区间，在每个小区间[x ,x]上任取一点 ，作和式 ；当
i−1 i
n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 ，即
= .
（2）在 中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数 叫做被积
函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．
2．定积分的性质
（1） (k为常数)；
（2） ；
（3） (其中a1，因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
又x=1时， ；x=2时，y=2；x= 0，y= 0，∴函数 ，x∈[0,2]的值域是 ，
故 ，∴ ，故选A.
10．两曲线 ， 与两直线 ， 所围成的平面区域的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出曲线 ， 与两直线 ， 所围成的平面区域，如图.根据对称性，可知曲线 ， 与两直线 ， 所围成的平面区域的面积为曲线
， 与直线 ， 所围成的平面区 域的面 积的两 倍，所以
，故选D.
11．设函数 ，若存在 ，使 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域是 ， ，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，故存在 ，使
；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 在 上单调
递增，在 上单调递减， ，解得 .
综上， 的取值范围是 .故选D.
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.求出函数的导数，通过讨论 的范围，确定函数的单调性，求出 的最大值，得到关于 的不等式，解
出即可.
12．[2018新课标全国Ⅱ理科]曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】 则所求的切线方程为 .
【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点
P不一定是切点，点P也不一定在已知的曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
13．[2018新课标全国Ⅲ理科]曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
【答案】
【解析】 ，则 ，所以 .
【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.
14．[2018新课标全国Ⅰ理科]已知函数 ，则 的最小值是_____________．
【答案】
【解析】 ，所以当 时函数单调
递减，当 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 ，函数的递
增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时
，所以 ，故答案是 .
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数
的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进
而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．[ 2016新课标全国Ⅲ卷理]已知f (x)为偶函数，当 时， ,则曲线y=f (x)在点(1,−3)
处的切线方程是_______________.
【答案】
【解析】当 时， ，则 ．
又因为 为偶函数，所以 ，所以 ，则切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ．
16．[2018新课标全国Ⅰ理科]已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
【答案】（1） 在 单调递减，在 单调
递增；（2）见解析.
【解析】（1） 的定义域为 ， .
（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.
（ii）若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时， .所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于
，
所以 等价于 .
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 时，
.
所以 ，即 .
17．[2018新课标全国Ⅱ理科]已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 ．
【答案】（1）见解析；（2） .（2）设函数 ．
在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点．
（i）当 时， ， 没有零点；
（ii）当 时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ， 在 没有零点；
②若 ，即 ， 在 只有一个零点；
③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，
由（1）知，当 时， ，所以 ．
故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
18．[2017新课标全国Ⅰ卷理]已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
（ⅰ）若 ，则 ，所以 在 单调递减.
（ⅱ）若 ，则由 得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
（2）（ⅰ）若 ，由（1）知， 至多有一个零点.
（ⅱ）若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；
③当 时， ，即 .
又 ，
故 在 有一个零点.
设正整数 满足 ，则 .
由于 ，因此 在 有一个零点.
综上， 的取值范围为 .【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数 有2个零点
求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断
与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调
性、极值、最值，注意点是若 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验
证最小值两边存在大于0的点.
19．设函数 .
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 上为减函数，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）求导得 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，即 .
当 时， ,故 ,
从而 在点 处的切线方程为 ,化简得 .
（2）由（1）得， ,
令 ，由 ，解得 .当 时， <0, ,故 为减函数；
当 时， >0, ,故 为增函数；
当 时， <0, ,故 为减函数；
由 在 上为减函数，知 ，解得 ，
故a的取值范围为 .
20．已知函数 ， 为自然对数的底数.
（1）求函数 的最小值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，证明： .
【答案】（1）函数 的最小值为 ；（2） ；（3）见解析.
（2） 对任意的 恒成立，即在 上， ．
由（1），设 ，所以 ．
由 得 ．易知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
∴ 在 处取得最大值，而 ．
因此 的解为 ，
∴ .
（3）由（2）得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ，则 即 ，
所以 ，累加得 .
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
