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2019 年河北省中考数学试题
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形为正多边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
2. 规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（ ）
A. +3 B. ﹣3 C. ﹣ D. +
【答案】B
【解析】
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果（→2）
表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查相反意义的量，注意，通常我们定义“增加”、“向右”为正，但是也可以定义“增加”、
“向右”为负．
3. 如图，从点 观测点 的仰角是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据仰角的定义解答即可．
【详解】∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，∴从点C观测点D的仰角是∠DCE．
故选B．
【点睛】本题考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角
是向下看的视线与水平线的夹角．
4. 语句“ 的 与 的和不超过 ”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
x的 即 x，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可．
【详解】“x的 与x的和不超过5”用不等式表示为 x+x≤5．
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不
等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
5. 如图，菱形 中, ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°．
【详解】∵四边形 ABCD 是菱形，∠D=150°，∴AB∥CD，∠BAD=2∠1，∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠BAD=180°﹣150°=30°，∴∠1=15°．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
6. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝
的
a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立 个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据乘法分配律，除法分配律和去括号解题即可.
【详解】解：①a(b+c)＝ab+ac，正确；
②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正确；
③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正确；
④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，错误，无法分解计算．
故选C．
【点睛】本题考查的是去括号，熟练掌握乘法分配律，除法分配律是解题的关键.
7. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（ ）
A. ◎代表 B. @代表同位角
C. ▲代表 D. ※代表
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代
换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【详解】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．
故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．
8. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ,把 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其
所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】 0.00002=2×10﹣5．故选D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9. 如图，在小正三角形组成的网格中，已有 个小正三角形涂黑，还需涂黑 个小正三角形，使它们与原来涂
黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】如图所示，n的最小值为3．
故选C．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．
10. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直
尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
11. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→①
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题．
【详解】由题意可得：正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并
绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类．
故选D．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步
骤．
12. 如图，函数 的图象所在坐标系的原点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式可知函数关于y轴对称，当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即可求解．
【详解】由已知可知函数y 关于y轴对称，∴y轴与直线PM重合．当x＞0时，图象在一象限，当
x＜0时，图象在二象限，即图象在x轴上方，所以点M是原点．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数 的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
13. 如图，若 为正整数，则表示 的值的点落在（ ）
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵ 1 ．
又∵x为正整数，∴ 1，故表示 的值的点落在②．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
14. 图2是图1中长方体的三视图，若用 表示面积， 则 （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵S =x2+2x=x（x+2），S =x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S =（x+2）
主 左 俯
（x+1）=x2+3x+2．
故选A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上
面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
15. 小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时
发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x＝﹣1 D. 有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入，进而得出 的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故原方程中c＝4，
则b2﹣4ac＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程解的意义，根的判别式，正确得出 的值是解题关键．16. 对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为 、宽为 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过
移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 .”甲、乙、丙作了自认
为边长最小的正方形，先求出该边长 ，再取最小整数 ．
甲：如图2，思路是当 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 ．
乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．
丙：如图4，思路是当 为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 ．
下列正确的是（ ）
A. 甲的思路错，他的 值对
B. 乙的思路和他的 值都对
C. 甲和丙的 值都对
D. 甲、乙的思路都错，而丙的思路对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．
【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为 n=
≈14；
乙的思路与计算都正确，n= ≈14；
丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6）× = ≈13．
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：18～19小题各有2个空，每空2分，把答
案写在题中横线上）17. 若 则 的值为_____．
【答案】-3
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．
【详解】∵7﹣2×7﹣1×70=7p，∴﹣2﹣1+0=p，解得：p=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例： 即4+3＝7
则（1）用含x的式子表示m＝_____；
（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．
【答案】 (1). 3x； (2). 1
【解析】
【分析】
（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，直接写出m即可；（2）先转换成加法形式，表
示出m，n，y，再把y=-2代入解出x，即可求出n.
【详解】（1）根据上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则m=x+2x=3x；
（2）由题知m=3x，n=2x+3，y=m+n，则y=3x+2x+3=5x+3，把y=-2代入，-2=5x+3，解得x=-1，则n=2×（-1）+3=1.
【点睛】本题是对新定义的考查，熟练理解题上新定义内容和一元一次方程是解决本题的关键.
19. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁
路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为______km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间
的距离为______km．【答案】 (1). 20 (2). 13
【解析】
【分析】
（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，
AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．
故答案为（1）20；（2）13．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题
型．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 有个填写运算符号的游戏：在“ ”中的每个□内，填入 中的某一个（可重复使用），
然后计算结果．
（1）计算： ；
（2）若请推算 □内的符号；
（3）在“ ”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.【解析】
【分析】
（1）根据有理数的加减法法则解答即可；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；
（2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴1 6□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结
果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小
数是﹣20．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．
21. 已知：整式 ，整式 ．
尝试: 化简整式 ．
发现: ，求整式 ．
联想:由上可知， ，当n＞1时 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中
的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ / 8
勾股数组Ⅱ /
【答案】尝试： ；发现： ；联想：17，37.
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【
详解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
22. 某球室有三种品牌的 个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知 （一次拿
到 元球） ．
（1）求这 个球价格的众数；
（2）若甲组已拿走一个 元球训练，乙组准备从剩余 个球中随机拿一个训练．
①所剩的 个球价格的中位数与原来 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．
又拿
先拿
【答案】（1）这 个球价格的众数为 元；（2）①所剩的 个球价格的中位数与原来 个球价格的中位数相同；
②乙组两次都拿到 元球的概率为 ．【解析】
【分析】
（1）由概率公式求出8元球的个数，由众数的定义即可得出答案；
（2）①由中位数的定义即可得出答案；
②用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵P（一次拿到8元球） ，∴8元球的个数为4 2（个），按照从小到大的顺序排列为7，8，
8，9，∴这4个球价格的众数为8元；
（2）①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同．理由如下：
原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7，8，8，9，∴原来4个球价格的中位数为 8（元），所剩
的3个球价格为8，8，9，∴所剩的3个球价格的中位数为8元，∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球
价格的中位数相同；
②列表如图所示：共有9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，∴乙组两次都拿到8元球的
概率为 ．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解
题的关键．
23. 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重
合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即
可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵ ，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，AP AB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC ∠PAC，∠ICA ∠PCA，
∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180° （∠PAC+∠PCA）=180° （90°﹣α+60°） α+105°
∵0＜α＜90°，∴105° α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
24. 长为 的春游队伍，以 的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置 时，在排
尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为 ，当甲返回排尾后，他及
队伍均停止行进．设排尾从位置 开始行进的时间为 ，排头与 的距离为
（1）当 时，解答：
①求 与 的函数关系式（不写 的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 的距离为 ，求
与 的函数关系式（不写 的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为 ，求 与 的函数关系式（不写 的取值范围），并写出队伍在此过程
中行进的路程．
【答案】（1）① ；② ；（2） 与 的函数关系式为： ，此时队伍在此过
程中行进的路程为 ．
【解析】
【分析】
（1）①排头与O的距离为S （m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是（t s），速度是
头2m/s，可以求出S 与t的函数关系式；
头
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，
设甲与位置O的距离为S （m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶
甲
到排头的时间，于是可以求S 与t的函数关系式；
甲
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据
追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时
间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S =2t+300；
头
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S =2t+300=600 m，甲返回时间为：
头
（t﹣150）s，∴S =S ﹣S =2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
甲 头 甲回
因此，S 与t的函数关系式为S =2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程
头 头
中，S 与t的函数关系式为S =﹣4t+1200．
甲 甲
（2）T=t +t ，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v 400；
追及 返回
因此T与v的函数关系式为：T ，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变
化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
25. 如图1和2， 中，AB=3，BC=15， ．点 为 延长线上一点，过点 作 切
于点 ，设 ．（1）如图1， 为何值时，圆心 落在 上？若此时 交 于点 ，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当 时，如图2， 与 交于点 ，求 的度数，并通过计算比较弦 与劣弧 长度的
大小；
（3）当 与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧 长度；（3）
x≥18．
【解析】
【分析】
（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中， tan∠PBC=tan∠DAB ，设CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得
BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；
（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧
长度，再比较它与AP长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，
此时，BP有最小值，即x≥18．
【详解】（1）如图1，AP经过圆心O．
∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴ tan∠PBC=tan∠DAB ，设CP=4k，BP=3k，由
CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k=﹣3（舍去），k=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP
1 2
上；∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴ tan∠CBG=tan∠DAB ，设CG=4m，BG=3m，由勾股
定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，
AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP 1，∴∠CAP=45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PH AP ．
在Rt△CPG中， 13．
∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，
∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴ ，即PH×CP=CG×OP， 13=12OP，∴OP ，∴
劣弧 长度 ．
∵ 2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧 长度．
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，
此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于点A
时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．
∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB ，设CM=4k，BM=3k，由
CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k=﹣3（舍去），k=3，∴x=BM=3×3=9．
1 2
∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；
综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
26. 如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶
点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x≠0，点（x，y），（x，y），（x，y）分别在l，a和L上，且y 是y，y 的平均数，求点（x，0）与点D间的
0 0 1 0 2 0 3 3 1 2 0
距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019
和b=2019.5时“美点”的个数．
【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3） ；（4）当b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”
的个数为1010个．
【解析】
【分析】
（1）求出A、B 的坐标，由AB=8，可求出b的值．从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离 ，配方即可得出结论；
（3）由題意得y+y=2y，进而有b+x﹣b=2（﹣x2+bx）解得x 的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得
1 2 3 0 0 0 0
出结论；
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x直线解析式a：y=x﹣2019，美点”总计4040个点，②当
b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，“美点”共有1010个．
【详解】（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．
∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L
的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y=﹣（x ）2 ，∴L的顶点C（ ， ）．
∵点C在l下方，∴C与l的距离b （b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；
（3）∵y 是y，y 的平均数，∴y+y=2y，∴b+x﹣b=2（﹣x2+bx），解得：x=0或x=b ．
3 1 2 1 2 3 0 0 0 0 0
∵x≠0，∴x=b ，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x=0，x=b．
0 0 1 2
∵b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x，0）与点D间的距离b﹣（b ） ．
0
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019．
联立上述两个解析式可得：x=﹣1，x=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019
1 2
之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总
计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：
x=﹣1，x=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”
1 2
为
0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个
偶数，因此“美点”共有1010个．故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
