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2013年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）|﹣3|的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（4分）分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
3．（4分）已知 ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．100° ▱ B．160° C．80° D．60°
4．（4分）下列调查中，须用普查的是（ ）
A．了解某市学生的视力情况 B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．了解某市百岁以上老人的健康情况 D．了解某市老年人参加晨练的情况
5．（4分）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
6．（4分）如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB＝20°，过点C作 O的切线交AB的延长
线于点E，则∠E等于（ ） ⊙
A．50° B．40° C．60° D．70°
7．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份
平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
8．（4分）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形
又是轴对称图形的有（ ）
第1页（共26页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集
为（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
10．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分） 的平方根为 ．
12．（3分）3005000用科学记数法表示（并保留两个有效数字）为 ．
13．（3分）有5个从小到大排列的正整数，中位数是3，唯一的众数是8，则这5个数的和为
．
14．（3分）如图所示 O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为 ．
⊙
15．（3分）已知 ，则ab＝ ．
16．（3分）已知m＝1是一元二次方程m2+am+b＝0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是
第2页（共26页）．
17．（3分）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝
60°，则菱形的面积为 ．
18．（3分）因式分解2x4﹣2＝ ．
19．（3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为 cm，用它围成一个圆
锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 ．
20．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝
DE，则∠E＝ 度．
三、（每小题14分，共14分）
21．（14分）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
第3页（共26页）四、（本题共12分）
22．（12分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在 O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；⊙ ⊙
（2）若BC＝3，sin∠P＝ ，求 O的直径．
⊙
五、（本题共12分）
23．（12分）“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公
司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条
形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图
所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票
的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不
透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并
放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表
第4页（共26页）法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
六、解答题（共1小题，满分14分）
24．（14分）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小
黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820
元．
（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购
买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买
A、B种型号小黑板总数量的 ．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种
型号的小黑板有哪几种方案？
第5页（共26页）七、阅读材料题（本题共12分）
25．（12分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+
＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝ ，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ +
）2；
（3）若a+4 ＝ ，且a、m、n均为正整数，求a的值？
八、（本题共16分）
第6页（共26页）26．（16分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行
四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
第7页（共26页）2013 年贵州省黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）|﹣3|的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【考点】14：相反数；15：绝对值．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据绝对值的意义得到|﹣3|＝3，然后根据相反数的定义求解．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，
而3的相反数为﹣3，
∴|﹣3|的相反数为﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考
查了相反数．
2．（4分）分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，得
x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分
子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（4分）已知 ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．100° ▱ B．160° C．80° D．60°
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C＝200°，即
第8页（共26页）可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、
邻角互补的知识．
4．（4分）下列调查中，须用普查的是（ ）
A．了解某市学生的视力情况
B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．了解某市百岁以上老人的健康情况
D．了解某市老年人参加晨练的情况
【考点】V2：全面调查与抽样调查．
【专题】1：常规题型．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、了解某市学生的视力情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；
B、了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；
C、了解某市百岁以上老人的健康情况，人数比较少，适合采用普查，故本选项正确；
D、了解某市老年人参加晨练的情况，老年人的标准没有限定，人群范围可能较大，适合采
用抽样调查，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
第9页（共26页）查．
5．（4分）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【考点】KQ：勾股定理．
【专题】32：分类讨论．
【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 ，
故选：D．
【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
6．（4分）如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB＝20°，过点C作 O的切线交AB的延长
线于点E，则∠E等于（ ） ⊙
A．50° B．40° C．60° D．70°
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．
【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形
OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的
度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，
即可求出∠E的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，
∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，
∴∠BOC＝40°，
又∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，
则∠E＝90°﹣40°＝50°．
故选：A．
第10页（共26页）【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，
连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握
性质及定理是解本题的关键．
7．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份
平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】123：增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、
九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可
得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝
b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．（4分）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形
又是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．
【解答】解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
第11页（共26页）平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这
条直线叫做对称轴．
（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形，这个点叫做对称中心．
9．（4分）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集
为（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点
A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
【解答】解：∵函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3＝2m，
m＝ ，
∴点A的坐标是（ ，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜ ；
故选：A．
【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问
题的关键．
10．（4分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
第12页（共26页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；
（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；
（3）∵对称轴在﹣1的右边，∴﹣ ＞﹣1，又∵a＜0，∴2a﹣b＜0，正确；
（4）当x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确；
故错误的有1个．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的
关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分） 的平方根为 ± 3 ．
【考点】21：平方根．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：8l的平方根为±3．
故答案为：±3．
【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，掌握定义是关键．
12．（3分）3005000用科学记数法表示（并保留两个有效数字）为 3.0×1 0 6 ．
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
【分析】首先利用科学记数法表示，再保留有效数字，有效数字的计算方法是：从左边第一
个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只
第13页（共26页）与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：3005000＝3.005×106≈3.0×106，
故答案为：3.0×106．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的
确定方法．
13．（3分）有5个从小到大排列的正整数，中位数是3，唯一的众数是8，则这5个数的和为
22 ．
【考点】W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据题意以及众数和中位数的定义可得出这5个数字，然后求其和即可．
【解答】解：由题意得：这五个数字为：1，2，3，8，8，
则这5个数的和为：1+2+3+8+8＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，难度一般，解答本题的关键是根据题意分析出
这五个数字．
14．（3分）如图所示 O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为 50 ° ．
⊙
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】连接OA，根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的
度数．
【解答】解：连接OA，
由题意得，∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝80°，
∵OA＝OB（都是半径），
第14页（共26页）∴∠ABO＝∠OAB＝ （180°﹣∠AOB）＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等
于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（3分）已知 ，则ab＝ 1 ．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，a+b+1＝0，
解得a＝1，b＝﹣2，
所以，ab＝1﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．（3分）已知m＝1是一元二次方程m2+am+b＝0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是
1 ．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】将x＝1代入到x2+ax+b＝0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，
∴12+a+b＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+b2+2ab＝（a+b）2＝（﹣1）2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程
得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
17．（3分）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝60°，则菱
形的面积为 ．
【考点】L8：菱形的性质．
第15页（共26页）【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算
即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝4，
∵AE⊥BC于E，∠B＝60°，
∴sinB＝ ＝ ，
∴AE＝2 ，
∴菱形的面积＝4×2 ＝8 ，
故答案为8 ．
【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运
用．
18．（3分）因式分解2x4﹣2＝ 2 （ x 2 + 1 ）（ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式即可分解．
【解答】解：原式＝2（x4﹣1）
＝2（x2+1）（x2﹣1）
＝2（x2+1）（x+1）（x﹣1）．
故答案是：2（x2+1）（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19．（3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为 cm，用它围成一个圆
锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm ．
【考点】MP：圆锥的计算．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形．先求出扇形的半径，再求扇形的
弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系求底面半径．
【解答】解：设扇形OAB的半径为R，底面圆的半径为r，
第16页（共26页）则R2＝（ ）2+ ，
解得R＝2cm，
∴扇形的弧长＝ ＝2 r，
π
解得，r＝ cm．
故答案为 cm．
【点评】主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，
（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据
所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．
20．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝
DE，则∠E＝ 1 5 度．
【考点】K8：三角形的外角性质；KH：等腰三角形的性质；KK：等边三角形的性质．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等即可得
出∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度
适中．
三、（每小题14分，共14分）
第17页（共26页）21．（14分）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数
值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1×4+1+| ﹣2× |
＝4+1+| ﹣ |，
＝4+1+0，
＝5；
（2）原式＝
＝
＝
＝ ．
当x＝ ﹣3时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此
题的关键．
四、（本题共12分）
22．（12分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在 O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；⊙ ⊙
（2）若BC＝3，sin∠P＝ ，求 O的直径．
⊙
第18页（共26页）【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；T1：锐角三角函数的定义．
【专题】152：几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1＝∠P，根据 ＝ 可以确定∠C＝∠P，又知
∠1＝∠C，即可得∠1＝∠P；
（2）根据题意可知∠P＝∠CAB，则sin∠CAB＝ ，即 ＝ ，所以可以求得圆的直径．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠P
又∵∠1＝∠C
∴∠1＝∠P
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°
又∵CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠P＝∠CAB，
又∵sin∠P＝ ，
∴sin∠CAB＝ ，
即 ＝ ，
又知，BC＝3，
∴AB＝5，
∴直径为5．
第19页（共26页）【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．
五、（本题共12分）
23．（12分）“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，公
司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条
形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图
所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票
的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不
透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并
放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表
法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
【考点】VC：条形统计图；X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，用甲，乙，丙
车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为20张，即可求出所求的概率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否．
第20页（共26页）【解答】解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）＝100（张），
则D地车票数为100﹣（20+40+30）＝10（张），补全图形，如图所示：
（2）总票数为100张，甲地票数为20张，
则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为 ＝ ；
（3）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况数有16种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有6种：（1，2），
（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴P小王掷得的数字比小李小 ＝ ＝ ，
则P小王掷得的数字不小于小李 ＝1﹣ ＝ ，
则这个规则不公平．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
六、解答题（共1小题，满分14分）
24．（14分）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小
黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820
元．
（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
第21页（共26页）（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购
买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买
A、B种型号小黑板总数量的 ．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种
型号的小黑板有哪几种方案？
【考点】8A：一元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x﹣20）元，根据，购买一块A
型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需
820元可列方程求解．
（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60﹣m）块，根据需从荣威公司购买A、B
两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且
购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的 ，可列不等式组求解．
【解答】解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x﹣20）元，
5x+4（x﹣20）＝820，
x＝100，
x﹣20＝80，
购买A型100元，B型80元；
（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60﹣m）块，
，
∴20＜m≤22，
而m为整数，所以m为21或22．
当m＝21时，60﹣m＝39；
当m＝22时，60﹣m＝38．
所以有两种购买方案：方案一购买A21块，B 39块、
方案二 购买A22块，B38块．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板
的钱数，然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑
第22页（共26页）板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的 ，列出不等式组求解．
七、阅读材料题（本题共12分）
25．（12分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+
＝（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b ＝（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b ＝m2+2n2+2mn ．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ＝ ，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1
）2；
（3）若a+4 ＝ ，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】79：二次根式的混合运算．
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4＝2mn，首先确定m、n的值，通过分析m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，然后
即可确定好a的值．
【解答】解：（1）∵a+b ＝ ，
∴a+b ＝m2+3n2+2mn ，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m＝1，n＝1，
∴a＝m2+3n2＝4，b＝2mn＝2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
第23页（共26页）a＝m2+3n2，b＝2mn
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，
∴a＝22+3×12＝7，或a＝12+3×22＝13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完
全平方公式和二次根式的运算法则．
八、（本题共16分）
26．（16分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行
四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线
的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论， △AMP∽△BOC， PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比
相等可以求出点P的坐①标． ②
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得： ，
第24页（共26页）解得： ．
故函数解析式为：y＝x2+2x．
（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE＝AO，由A（﹣2，0）知：DE＝AO＝2，
由四边形AODE可知D在对称轴直线x＝﹣1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D（1，3）．
综上可得点D的坐标为：（1，3）．
（3）存在．
如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），
根据勾股定理得：BO2＝18，CO2＝2，BC2＝20，
∵BO2+CO2＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y＝x2+2x，
若△AMP∽△BOC，则 ＝ ，
①
即x+2＝3（x2+2x），
得：x ＝ ，x ＝﹣2（舍去）．
1 2
当x＝ 时，y＝ ，即P（ ， ），
若△PMA∽△BOC，则 ＝ ，
②
即：x2+2x＝3（x+2），
得：x ＝3，x ＝﹣2（舍去）
1 2
当x＝3时，y＝15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（ ， ）或（3，15）．
第25页（共26页）【点评】本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后
利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想
的运用，难度较大．
第26页（共26页）
